复数的加、减、乘、除的运算法则 2019高考绝密资料

复数的加、减、乘、除的运算法则
主标题：复数的加、减、乘、除的运算法则
副标题：为学生详细的分析复数的加、减、乘、除的运算法则的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：复数的加、减、乘、除，运算法则，知识总结
难度：3
重要程度：5
考点剖析：本考点包括复数的加、减、乘、除的运算，要会进行复数代数形式的四则运算。

命题方向：
1.复数的代数运算是近几年高考的热点．
2.题型以选择题和填空题为主，比较简单.
规律总结：
1.复数的运算规律总结
设12,z a bi z c di =+=+，(a ，b ，c ，d ∈R)，则
(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ；
(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi)·(c＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；
(4)除法：z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝ a ＋bi c －di c ＋di c －di ＝ ac ＋bd ＋ bc －ad i c 2＋d 2(c ＋di≠0)． 复数的代数运算中常用的结论：
()212i i ±=±；11i i i +=-；11i i i
-=-+ 复数的运算律：
复数的加法满足：对任意123,,z z z C ∈，
(1)交换律：1221z z z z +=+
(2) 结合律:()()123123z z z z z z ++=++
复数的乘法满足：
(1)交换律：1221z z z z =
(2) 结合律:()()123123z z z z z z =
(3)分配律：()1231213z z z z z z z +=+
导数在研究函数中的应用
主标题：导数在研究函数中的应用备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：导数，极值，最值，备考策略
难度：4
重要程度：5
内容
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2.
(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．
解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，
∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)．
令f ′(x )>0，即x (e x －2)>0，
∴x >ln 2或x <0.
令f ′(x )<0，即x (e x －2)<0，∴0<x <ln 2.
因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)；
递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．
(2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )．
∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，
∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立．
∴e x －2k ≥0，即2k ≤e x 恒成立．
由于e x ≥1，∴2k ≤1，则k ≤12.
又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0当且仅当x ＝0时取等号．
因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，12. 【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
考点二 利用导数研究函数的极值
【例2】 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的
切线垂直于y 轴．
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的极值．
审题路线 (1)由f ′(1)＝0⇒求a 的值．
(2)确定函数定义域⇒对f (x )求导，并求f ′(x )＝0⇒判断根左，右f ′(x )的符号⇒确定极值．
解 (1)由f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，
∴f ′(x )＝a x －12x 2＋32.
由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，
∴该切线斜率为0，即f ′(1)＝0.
从而a －12＋32＝0，∴a ＝－1.
(2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，
∴f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝(3x ＋1)(x －1)2x 2
. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或－13(舍去)．
当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.
∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，f (x )无极大值．
【备考策略】 (1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．
(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
考点三 利用导数求函数的最值
【例3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.
(1)求a ，b 的值；
(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．
审题路线 (1)⎩⎨⎧
f ′(2)＝0，f (2)＝c －16
⇒a ，b 的值； (2)求导确定函数的极大值⇒求得c 值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．
解 (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，
由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，
故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩
⎨⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16. 化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－12.
(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12.
令f ′(x )＝0，得x ＝－2或2.
当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表： f (2)＝c －16.
由题设条件知，16＋c ＝28，解得c ＝12，
此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.
【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。