高考数学二轮专题复习 专题验收评估(六)复数、计数原理、概率、随机变量及其分布

专题验收评估(六) 复数、计数原理、概率、随机变量及其分布
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3
D. 3
解析：选A 法一：由题意可知z ＝a －3i ，
∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2
＋3＝4，故a ＝1或－1. 法二：z ·z ＝|z |2
＝a 2
＋3＝4，故a ＝1或－1.
2．甲、乙等4人在微信群中每人抢到1个红包，金额为3个1元，1个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为( )
A.14
B.12
C.13
D.34
解析：选B 甲、乙等4人在微信群中每人抢到1个红包，金额为3个1元，1个5元，基本事件总数为4，
甲、乙的红包金额不相等包含的基本事件有：甲、乙的红包金额分别为(1,5)，(5,1)， 所以甲、乙的红包金额不相等的概率为P ＝24＝1
2
.
3．若z ＝12＋32i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2
＋a 3x ＋a 4，则a 2＝( )
A ．－12＋32i
B ．－3＋33i
C ．6＋33i
D ．－3－33i
解析：选B ∵T r ＋1＝C r 4x
4－r
(－z )r ，由4－r ＝2得r ＝2，∴a 2＝C 2
4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12－32i 2＝－3＋33i.
4．(2017·成都模拟)若复数z 1＝a ＋i(a ∈R)，z 2＝1－i ，且z 1z 2
为纯虚数，则z 1在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选A
z 1z 2＝a ＋i 1－i ＝a ＋i 1＋i 2＝a －1＋1＋a i 2
为纯虚数，则a ＝1，所以
z 1＝1＋i ，z 1在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限．故选A.
5．(2017·山西临汾二中模拟)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有( )
A ．90种
B ．180种
C ．270种
D ．540种
解析：选D 法一：先把6名护士平均分成3组，有C 26C 24C 2
2
A 33
种分法，再把每组护士配1名医生，
有C 26C 24C 2
2A 33A 33种分法，然后分别分配到3所学校，有C 26C 24C 2
2A 33
A 33A 3
3＝540种分法，选D.
法二：设3所学校分别为甲、乙、丙，先由学校甲挑选，有C 13C 2
6种选法，再由学校乙挑选，有C 12C 2
4种选法，余下的到学校丙，只有1种选法，于是不同的分配方法共有C 13C 26C 12C 2
4＝540种．
6．(2017·云南昆明模拟)(1＋2x )3
(2－x )4
的展开式中x 的系数是( ) A ．96 B ．64 C ．32
D ．16
解析：选B (1＋2x )3
的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r
3(2x )r
＝2r C r 3x r
，(2－x )4
的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 42
4－k
(－x )k ＝(－1)k 2
4－k C k 4x k
，所以(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数为20C 0
3×(－
1)×23C 1
4＋2C 1
3×(－1)0
×24C 0
4＝64，故选B.
7．(2018届高三·宁波九校期末联考)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最小号码，则E (ξ)＝( )
A ．0.45
B ．0.5
C ．0.55
D ．0.6
解析：选B 由题意可得ξ＝0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 11C 2
4C 35＝35，P (ξ＝1)＝C 11C 2
3C 35＝3
10，P (ξ＝2)
＝1C 35＝1
10
.可得ξ的分布列如下：
∴E (ξ)＝0×35＋1×310＋2×10＝2.故选B.
8．(2017·广东汕头模拟)将二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋2x 6
展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相
邻的概率是( )
A.2
7
B.135
C.
835 D.724
解析：选A 由二项展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x r ＝2r C r 6x r
3
62-可知，当r ＝0,2,4,6时，T r ＋
1为有理项，则二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋
2x 6
展开式中有4项为有理项，3项为无理项．基本事件总数为A 7
7，无理项互不相邻的排列有A 4
4
·A 35
个．∴无理项互不相邻的概率是P ＝A 4
4·A 3
5A 77＝2
7
.故选A.
9．(2017·河北张家口模拟)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在平面直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )
A.112
B.19
C.536
D.16
解析：选A ∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6＝36(种)结果，满足条件的事件是以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上，即x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝5，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率P ＝336＝1
12
.故选A.
10．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2
，
f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不
放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为( )
A.74
B.54
C ．2
D.7740
解析：选A ∵6个定义域为R 的函数f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2
，f 3(x )＝x 3
，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2中偶函数有f 2(x )＝x 2
，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2，共3个，∴ξ的可能取值为1,2,3,4，P (ξ＝1)＝36＝12，P (ξ＝2)＝36×35＝310，P (ξ＝3)＝36×25×34＝320，P (ξ＝4)＝36×
25×14×33＝1
20
，∴ξ的分布列为
E (ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74
.故选A.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．把答案填在题中的横线上)
11．(2017·杭州六校联考)复数z 在复平面内的对应点是(1，－1)，则z －
＝________，z (2－i)＋3＋i z
－
＝________.
解析：∵z ＝1－i ，∴z －
＝1＋i ，z (2－i)＋3＋i z
－＝(1－i)(2－i)＋3＋i 1＋i
＝1－3i ＋2－i ＝3－
4i.
答案：1＋i 3－4i
12．(2017·浙东北三校联考)⎝
⎛⎭
⎪⎫ax 2＋1x 6
(a <0)展开式的常数项为15，则实数a ＝________，
其中二项式系数最大的项为________．
解析：T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
r ·(ax 2)6－r ＝a 6－r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴a 2C 4
6＝15，解得a ＝
－1(a ＝1舍去)．∴二项式系数最大的项为T 4＝－C 36x 3＝－20x 3
.
答案：－1 －20x 3
13．(2018届高三·温州九校联考)将四位同学等可能的分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同学的概率是________，用随机变量ξ表示分到丙班级的人数，则E (ξ)＝________.
解析：由题意，四位学生中至少有一位选择甲班级的概率为1－24
34＝65
81；随机变量ξ＝
0,1,2,3,4，则P (ξ＝0)＝24
34＝1681，P (ξ＝1)＝4×23
34＝3281，P (ξ＝2)＝C 2
4×22
34＝827，P (ξ＝3)＝C 3
4×2
34
＝881，P (ξ＝4)＝1
81
，ξ的分布列为
所以E (ξ)＝0＋1×81＋2×27＋3×81＋4×81＝3.
答案：6581 4
3
14．袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小、质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这3个球中恰有2个黑球和1个白球的方法总数是________．设摸
取的这3个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．
解析：因为从6个黑球中摸出2个黑球有C 2
6种方法，从3个白球中摸出1个白球有C 1
3种方法，所以摸出的3个球中恰有2个黑球和1个白球的方法数是C 26C 1
3＝15×3＝45；设摸出的3个球中所含的黑球数为X ，则X ＝0,1,2,3.所以P (X ＝0)＝C 3
3C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 2
3C 39＝1884，P (X ＝2)＝C 26C 1
3C 39＝4584，
P (X ＝3)＝C 3
6C 39＝20
84
，即P (X ＝2)最大．
答案：45 2
15．(2017·四川成都七中模拟)设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能的取－22，－3，－
52，0，5
2
，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.
解析：设直线l 的方程为kx －y ＋1＝0， 则原点到l 的距离ξ＝
1
k 2＋1
，
将题中所述l 的斜率代入，可得ξ的可能取值为13，12，2
3，1.
则P ⎝
⎛⎭⎪⎫ξ＝13＝P (k ＝－22)＋P (k ＝22)＝27； P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ξ＝12
＝P (k ＝－3)＋P (k ＝3)＝27
； P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
ξ＝23
＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝－
52＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝52＝27； P (ξ＝1)＝P (k ＝0)＝17
.
则随机变量ξ的分布列如下，
则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝3×7＋2×7＋3×7＋1×17＝4
7.
答案：4
7
16．(2018届高三·安徽阶段联考)国庆节放假，2个三口之家结伴乘火车外出，每人均实名购票，上车后随意坐所购票的6个座位，则恰好有2人是对号入座(座位号与自己车票相符)的坐法有________种．(用具体数字作答)
解析：根据题意，6人中恰好有2人是对号入座，需要在6个人中任取2人，使他们的座位号与自己车票相符，有C 2
6 ＝15(种)坐法，另外的4人不是对号入座，假设这4人为A ，B ，C ，D .其座位号与自己车票都不相符的坐法有：
BADC ，CADB ，DABC ，BDAC ，CDAB ，DCAB ，BCDA ，DCBA ，CDBA ，共9种坐法，
故6人中恰好有2人是对号入座的坐法有15×9＝135(种)． 答案：135
17．(2017·上海虹口模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 6
，x ≥1，
－2x －1，x ≤－1，则当x ≤－1时，f (f (x ))
表达式的展开式中含x 2
项的系数是________．
解析：由函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 6
，x ≥1，－2x －1，x ≤－1，
当x ≤－1时，f (x )＝－2x －1，此时f (x )min ＝
f (－1)＝2－1＝1，
∴f (f (x ))＝(－2x －1)6
＝(1＋2x )6
，
∴T r ＋1＝C r 62r x r ，当r ＝2时，系数为C 26×22
＝60. 答案：60
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)(2017·广东佛山一中模拟)有6名同学，求下列情况下的分配方法数：
(1)分给数学组3人，物理组2人，化学组1人； (2)分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；
(3)分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人． 解：(1)分三步完成：第一步，从6名同学中选3人到数学组，有C 3
6种方法； 第二步，从剩下的3人中选2人到物理组，有C 2
3种方法； 第三步，剩下的1人到化学组，有1种方法． 于是，共有C 36C 2
3＝60种分配方法．
(2)分三步完成：第一步，从6名同学中选2人到数学组，有C 2
6种方法； 第二步，从剩下的4人中选2人到物理组，有C 2
4种方法； 第三步，剩下的2人到化学组，有1种方法． 于是，共有C 26C 2
4＝90种分配方法．
(3)分两大步骤：第一步，将6人分成三组，其人数分别为3,2,1；第二步，将这三组人分到数学、物理、化学这三个组．
第一步分三组的步骤：从6名同学中选3人，有C 3
6种方法，从剩下的3人中选2人，有C 2
3种方法，于是，共有C 36C 2
3＝60种方法．
第二步，分给数学、物理、化学这三组共有A 3
3＝6种方法．
于是，共有60×6＝360种不同的分配方法．
19．(本小题满分15分)(2017·河北衡水中学模拟)已知⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中的有理项； (2)求展开式中系数最大的项．
解：由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0
n ，12C 1n ，14C 2n ，由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n
＝8(n ＝1舍去)．
(1) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫124x r ＝2－r C r
8x 4－r 2－r 4＝2－r C r 8x 4－3r 4
(r ＝0,1，…，8)，
要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4
，T 5＝358x ，T 9
＝1
256x
2. (2)设第r ＋1项的系数为a r ＋1，则a r ＋1＝2－r C r
8，
则a r ＋1a r ＝2－r C r 82－r －1C r －18≥1，a r ＋1a r ＋2＝2－r C r
82－r ＋1C r ＋18
≥1，解得2≤r ≤3. 当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 3
8＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T 3＝7x 52，T 4＝7x 7
4
.
20．(本小题满分15分)(2017·山东烟台二中模拟)现有7名数理化成绩优秀者，其中A 1，
A 2，A 3的数学成绩优秀，
B 1，B 2的物理成绩优秀，
C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、
化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．
(1)求C 1被选中的概率；
(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．
解：从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，总的基本事件有：
(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，
B 2，
C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，共12种．
(1)记“C 1被选中”为事件M ，事件M 包含的基本事件有：
(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，共6种．
所以P (M )＝612＝1
2
.
因而C 1被选中的概率为1
2
.
(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N －
表示“A 1，B 1全被选中”， 由于N －
＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，
所以事件N －由两个基本事件组成，所以P (N －
)＝212＝16，
由对立事件的概率公式，得
P (N )＝1－P (N －
)＝1－16＝56
.
故A 1和B 1不全被选中的概率为5
6
.
21．(本题满分15分)(2017·山东聊城模拟)以“赏中华诗词、寻文化基因，品生活之美”为基本宗旨的《中国诗词大会》，是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为10场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场擂主之间进行，一共备有9道抢答题，选手抢到并答对获得1分，答错对方得1分，当有一个选手累计得分达到5分时比赛结束，该选手就是本场的擂主．在某场比赛中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率为34，乙答对的概率为5
12，每道题目都有人抢
答，且每人抢到答题权的概率均为1
2
，各题答题情况互不影响．
(1)求抢答一道题目，甲得1分的概率；
(2)现在前5题已经抢答完毕，甲得2分，乙得3分，在接下来的比赛中，设甲的得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．
解：(1)设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A ，则事件A 发生的情况有甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错．∴P (A )＝12×34＋12×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－512＝23
.
(2)在接下来的比赛中，甲的得分ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝1
9
，P (ξ＝
1)＝C 1
2·23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝427，P (ξ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝427，P (ξ＝3)＝1－19－427－427＝1627
. ∴ξ的概率分布列如下：
E (ξ)＝0×19＋1×427＋2×427＋3×1627＝209
.
22．(本题满分15分)(2017·广东中山实验高中模拟)某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝2
3，乙的命中率为P 2，在射击活动中，每人射击两发子弹完成一次检测，在一次检
测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．
(1)若P 2＝1
2
，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值范围．
解：(1)设该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”为事件A ，
则P (A )＝⎝
⎛⎭⎪⎫C 12×23×13⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12×12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫C 22×23×23⎝ ⎛⎭⎪⎫C 22×12×12＝1
3.
(2)该小组在1次检测中荣获“先进和谐组”的概率
P ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫C 12×23
×13[C 12×P 2×(1－P 2)]＋C 22
×23×23()C 2
2×P 22＝89P 2－49
P 22， 由题意可知，12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ服从二项分布ξ～B (12，P )， 于是E (ξ)＝12P ，即E (ξ)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫8
9P 2－49P 22，
由E (ξ)≥5，P 2≤1知，12⎝ ⎛⎭⎪⎫8
9
P 2－49P 22≥5⇒34≤P 2≤1.。