四川省南充市高三数学第一次适应性考试试卷 理(含解析)

2016年四川省南充市高考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项在，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，则A∩B=（）
A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜3}
2．设i是虚数单位，则复数=（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．已知命题P：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，则￢P是（）
A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＜0 B．∃x0∈R，e﹣x0﹣1≤0
C．∃x0∈R，e﹣x0﹣1＜0 D．∀x∈R，e x﹣x﹣1≤0
4．下列函数中，满足“f（xy）=f（x）+f（y）”的单调递减函数是（）
A．f（x）=lnx B．f（x）=﹣x3C．f（x）=log x D．f（x）=3﹣x
5．如图的程序图的算法思路中是一种古老而有效的算法﹣﹣辗转相除法，执行改程序框图，若输入的m，n的值分别为30，42，则输出的m=（）
A．10 B．12 C．13 D．16
6．为了得到函数y=sin4x﹣cos4x的图象，可以将函数y=sin4x的图象（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）
A．45 B．36 C．30 D．6
8．春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是（）
A．B．C．D．
9．已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⊥OB（其中O为坐标原点），则△AOB与△AOF面积之和的最小值是（）
A．16 B．8 C．8 D．18
10．函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．在（3﹣x）5的展开式中，含x3的项的系数是（用数字作答）
12．已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα=，cos（α+β）=﹣，则sinβ=．13．已知实数x，y满足，则x2+y2的最大值为．
14．设四边形ABCD为平行四边形，||=8，||=3，若点M，N满足=3， =2，则•= ．
15．设S为复数集C的非空子集．如果
（1）S含有一个不等于0的数；
（2）∀a，b∈S，a+b，a﹣b，ab∈S；
（3）∀a，b∈S，且b≠0，∈S，那么就称S是一个数域．
现有如下命题：
①如果S是一个数域，则0，1∈S；
②如果S是一个数域，那么S含有无限多个数；
③复数集是数域；
④S={a+b|a，b∈Q，}是数域；
⑤S={a+bi|a，b∈Z}是数域．
其中是真命题的有（写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．
17．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名学生在随机抽取4名参赛，记X表示参赛的男生人数，求X的分布列与数学期望．
18．已知函数f（x）=sinx（sinx+cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=1，a=2，求三角形ABC面积的最大值．
19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，SD=DC=2AD，侧棱SD⊥底面ABCD，点E是SC的中点，点F在SB上，且EF⊥SB．
（1）求证：SA∥平面BDE；
（2）求证SB⊥平面DEF；
（3）求二面角C﹣SB﹣D的余弦值．
20．已知圆F1：（x+1）2+y2=1，圆F2：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆F1外切并且与圆F2内切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若曲线C与x轴的交点为A1，A2，点M是曲线C上异于点A1，A2的点，直线A1M与A2M 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．
（Ⅲ）过点（2，0）作直线l与曲线C交于A，B两点，在曲线C上是否存在点N，使+ =？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
21．设函数f（x）=+k（+lnx）（k为常数）．
（1）当k=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k≥0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
2016年四川省南充市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项在，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，则A∩B=（）
A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜3}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．
【分析】利用不等式性质和集合定义求解．
【解答】解：（1）∵集合A={x|1＜x＜4}，
集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
∴A∩B={x|1＜x＜3}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．
2．设i是虚数单位，则复数=（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；方程思想；数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的除法与乘方运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数==i（1+i）=﹣1+i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．
3．已知命题P：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，则￢P是（）
A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＜0 B．∃x0∈R，e﹣x0﹣1≤0
C．∃x0∈R，e﹣x0﹣1＜0 D．∀x∈R，e x﹣x﹣1≤0
【考点】命题的否定．
【专题】计算题；规律型；简易逻辑．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，则￢P是∃x0∈R，e﹣x0﹣1≤0．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
4．下列函数中，满足“f（xy）=f（x）+f（y）”的单调递减函数是（）
A．f（x）=lnx B．f（x）=﹣x3C．f（x）=log x D．f（x）=3﹣x
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】构造法；函数的性质及应用．
【分析】根据条件可知，对数函数符合条件，f（xy）=f（x）+f（y），再给出证明，最后根据函数的单调性确定选项．
【解答】解：对数函数符合条件f（xy）=f（x）+f（y），证明如下：
设f（x）=log a x，其中，x＞0，a＞0且a≠1，
则f（xy）=log a xy=log a x+log a y=f（x）+f（y），
即对数函数f（x）=log a x，符合条件f（xy）=f（x）+f（y），
同时，f（x）单调递减，则a∈（0，1），
综合以上分析，对数函数f（x）=符合题意，
故答案为：C．
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及抽象函数的运算和函数模型的确定，以及对数的运算性质，属于基础题．
5．如图的程序图的算法思路中是一种古老而有效的算法﹣﹣辗转相除法，执行改程序框图，若输入的m，n的值分别为30，42，则输出的m=（）
A．10 B．12 C．13 D．16
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
m=30，n=42，30÷42=0，余数是30，r=30，不满足条件r=0，
m=42，n=30，42÷30=1，余数是12，r=12，不满足条件r=0，
m=30，n=12，30÷12=2，余数是6，r=6，不满足条件r=0，
m=12，n=6，12÷6=2，余数是0，r=0，满足条件r=0，退出循环，输出m的值为12．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．
6．为了得到函数y=sin4x﹣cos4x的图象，可以将函数y=sin4x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；三角函数的图像与性质．
【分析】化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后平移平移关系判断选项即可．【解答】解：函数y=sin4x﹣cos4x=sin（4x﹣），
∵si n（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
∴为了得到函数y=sin4x﹣cos4x的图象，可以将函数y=sin4x的图象向右平移个单位．
故选：A．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的图象平移，考查计算能力．
7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）
A．45 B．36 C．30 D．6
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】该几何体为长方体切去一个三棱锥剩下的几何体．
【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体ABCD﹣A1B1C1D1切去一个三棱锥B1﹣A1BC1剩下的几何体．
∴V=4×3×3﹣=30．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图与体积计算，属于基础题．
8．春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计．
【分析】作出基本事件对应的平面区域和符合条件的平面区域，求出对应的几何度量．【解答】解：设两串彩灯分别在通电后x秒，y秒第一次闪亮，
则所有的可能情况对应的平面区域为正方形OABC，
作出直线x﹣y=3和直线y﹣x=3，则两灯在第一次闪亮时刻不超过3秒对应的平面区域为六边形ODEBGF，
∴P===．
故选B．
【点评】本题考查了几何概型的概率计算，作出对应的平面区域是关键．
9．已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⊥OB（其中O为坐标原点），则△AOB与△AOF面积之和的最小值是（）
A．16 B．8 C．8 D．18
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=0，消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．
【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，
点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x=ty+m代入y2=4x，可得y2﹣4ty﹣4m=0，
根据韦达定理有y1•y2=﹣4m，
∵OA⊥OB，
∴•=0，
∴x1•x2+y1•y2=0，从而（y1•y2）2+y1•y2=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y1•y2=﹣16，故m=4．
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，
又F（1，0），
∴S△ABO+S△AFO=×4×（y1﹣y2）+×y1=y1+
≥8，
当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是8，
故选：C．
【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．
10．函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．
【专题】数形结合；构造法；转化法；导数的概念及应用．
【分析】根据题意构造函数g（x）=xf（x），由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出
g（x）是偶函数，将不等式进行转化，由图象求出不等式成立时x的取值范围．
【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+f（x），
∵当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0，
∴则当x＜0时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）[﹣f（x）]=xf（x）=g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
由f（1）=0得，g（1）=0，函数g（x）的图象大致如右图：
∵不等式f（x）＜0⇔＜0，
∴或，
由函数的图象得，﹣1＜x＜0或x＞1，
∴使得f（x）＜0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：B．
【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．在（3﹣x）5的展开式中，含x3的项的系数是﹣90 （用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
【专题】对应思想；转化法；二项式定理．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，确定r的值，即可求出含x3的项的系数．
【解答】解：（3﹣x）5的展开式中，通项公式是T r+1=•35﹣r•（﹣1）r•x r，
令r=3，得含x3的项的系数是•32•（﹣1）3=﹣90．
故答案为：﹣90．
【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．
12．已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα=，cos（α+β）=﹣，则sinβ=．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinβ=sin[（α+β）﹣α]的值．
【解答】解：∵已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα=，cos（α+β）=﹣，∴sinα==，sin（α+β）==，
则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα
=•﹣（﹣）•=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
13．已知实数x，y满足，则x2+y2的最大值为13 ．
【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．
【专题】计算题．
【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
而z=x2+y2，
表示可行域内点到原点距离OP的平方，
点P在黄色区域里运动时，点P跑到点C时OP最大
当在点C（2，3）时，z最大，最大值为22+32=13，
故答案为：13
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．
14．设四边形ABCD为平行四边形，||=8，||=3，若点M，N满足=3， =2，则•= 9 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】用表示出，代入数量积计算．
【解答】解：∵ =3， =2，∴ ==，=， ==﹣=﹣，
∴==， ==．
•=（）•（）=﹣=×82﹣×32=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．
15．设S为复数集C的非空子集．如果
（1）S含有一个不等于0的数；
（2）∀a，b∈S，a+b，a﹣b，ab∈S；
（3）∀a，b∈S，且b≠0，∈S，那么就称S是一个数域．
现有如下命题：
①如果S是一个数域，则0，1∈S；
②如果S是一个数域，那么S含有无限多个数；
③复数集是数域；
④S={a+b|a，b∈Q，}是数域；
⑤S={a+bi|a，b∈Z}是数域．
其中是真命题的有①②③④（写出所有真命题的序号）．
【考点】命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断；复数的基本概念．
【专题】简易逻辑；推理和证明；数系的扩充和复数．
【分析】根据已知中数域的概念，逐一分析5个命题的真假，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：由已知中（1）S含有一个不等于0的数；
（2）∀a，b∈S，a+b，a﹣b，ab∈S；
（3）∀a，b∈S，且b≠0，∈S，那么就称S是一个数域．
令a=b≠0，
则a﹣b=0∈S； =1∈S，故①正确；
na∈S，n∈Z，故②正确；
复数集C满足3个条件，故复数集是数域，故③正确；
S={a+b|a，b∈Q，}满足3个条件，故S是数域，故④正确；
S={a+bi|a，b∈Z}不满足条件（3），故S不是数域，故⑤错误；
故答案为：①②③④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数域的概念，正确理解数域的概念，是解答的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）通过对a n+1=2a n+1变形可知a n+1+1=2（a n+1），进而可知数列{a n+1}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b n=n•2n﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论．
【解答】解：（1）∵a n+1=2a n+1，
∴a n+1+1=2（a n+1），
又∵a1=1，
∴数列{a n+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a n+1=2n，
∴a n=﹣1+2n；
（2）由（1）可知b n=n（a n+1）=n•2n=n•2n﹣1，
∴T n=1•20+2•2+…+n•2n﹣1，
2T n=1•2+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
错位相减得：﹣T n=1+2+22…+2n﹣1﹣n•2n
=﹣n•2n
=﹣1﹣（n﹣1）•2n，
于是T n=1+（n﹣1）•2n．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
17．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名学生在随机抽取4名参赛，记X表示参赛的男生人数，求X的分布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．
【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）求出文学院至少有一名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；
（2）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．
【解答】解：（1）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从理学院中抽出（等价于文学院中没有学生入选代表队）的概率为： =，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1﹣=；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3，
P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．
X的分布列：
X 1 2 3
P
和数学期望EX=1×+2×+3×=2．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．
18．已知函数f（x）=sinx（sinx+cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=1，a=2，求三角形ABC面积的最大值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；解三角形．
【分析】（1）利用二倍角公式化简f（x）；
（2）求出A，根据余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式即可．
【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π，f（x）的最大值是．
（2）∵f（）=sin（A﹣）+=1，∴sin（A﹣）=，∴A=．
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴12=b2+c2﹣bc，∴b2+c2=12+bc≥2bc，∴bc≤12．
∴S==bc≤3．
∴三角形ABC面积的最大值是3．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，解三角形，属于中档题．
19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，SD=DC=2AD，侧棱SD⊥底面ABCD，点E是SC的中点，点F在SB上，且EF⊥SB．
（1）求证：SA∥平面BDE；
（2）求证SB⊥平面DEF；
（3）求二面角C﹣SB﹣D的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】数形结合；空间角；立体几何．
【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE．然后利用三角形中位线的性质可得OE∥SA，再由线面平行的判定定理证得SA∥平面BDE；
（2）由SD=DC，E是SC的中点可得DE⊥SC，再由面面垂直的判定和性质得到BC⊥平面SDC，从而得到BC⊥DE，进一步得到SB⊥DE，结合已知EF⊥SB，由线面垂直的判定得结论；（3）根据二面角的定义得到∠EFD是二面角C﹣SB﹣D的平面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．
【解答】（1）证明：如图，
连接AC交BD于点O，连接OE．
∵点O、E分别为AC、SC的中点，
∴OE∥SA，又OE⊂平面BDE，SA⊄平面BDE，
∴SA∥平面BDE；
（2）证明：∵SD=DC，E是SC的中点，∴DE⊥SC，
又SD⊥底面ABCD，∴平面SDC⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥平面SDC，
∴BC⊥DE，
又SC∩BC=C，∴DE⊥平面SBC，
又SB⊂平面SBC，∴SB⊥DE，
又EF⊥SB，
EF∩ED=E，
∴SB⊥平面EFD；
（3）∵EF⊥SB，SB⊥平面EFD，
∴∠EFD是二面角C﹣SB﹣D的平面角，
设AD=1，则SD=CD=2，
则SC=2，SB==3，BD===，DE=，
在三角形SDB中，SB•DF=SD•BD，即DF===，
在三角形SBC中，sinCSB=，即EF=SE=，
在三角形DEF中，cosEFD==
===，
即二面角C﹣SB﹣D的余弦值是．
【点评】本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，综合性较强，运算量较大．
20．已知圆F1：（x+1）2+y2=1，圆F2：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆F1外切并且与圆F2内切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若曲线C与x轴的交点为A1，A2，点M是曲线C上异于点A1，A2的点，直线A1M与A2M 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．
（Ⅲ）过点（2，0）作直线l与曲线C交于A，B两点，在曲线C上是否存在点N，使+ =？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）通过设P（x，y）、动圆P的比较为r，利用圆与圆的位置关系可知|PF1|=1+r、|PF2|=5﹣r，进而化简可知动圆圆心P的轨迹是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）为焦点、长轴长为6的椭圆，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知A1（﹣3，0）、A2（3，0），通过设M（x，y），利用+=及k1k2=
•化简计算即得结论；
（Ⅲ）通过设过点（2，0）的直线l方程为x=my+2，并与曲线C方程联立，利用韦达定理及N（x1+x2，y1+y2）在曲线C上化简计算即得结论．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），
设P（x，y），动圆P的比较为r，则|PF1|=1+r，|PF2|=5﹣r，
∴|PF1|+|PF2|=6，
∴动圆圆心P的轨迹是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，
则b2=a2﹣c2=9﹣1=8，
于是曲线C的方程为： +=1；
（Ⅱ）由（I）可知A1（﹣3，0），A2（3，0），
设M（x，y），则+=1，
于是k1k2=•
=
=
=﹣；
（Ⅲ）结论：在曲线C上存在点N，使+=．
理由如下：
设过点（2，0）的直线l方程为：x=my+2，
联立直线l与曲线C的方程，消去x，整理得：
（9+8m2）y2+32my﹣40=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，
∵+=，
∴N（x1+x2，y1+y2）在曲线C上，
∴+=1，
又∵x1+x2=m（y1+y2）+4=4﹣=，
∴•+•=1，
整理得：9+8m2=16，
解得：m=±，
于是在曲线C上存在点N，使+=．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．设函数f（x）=+k（+lnx）（k为常数）．
（1）当k=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k≥0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；作图题；数形结合；导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）求导f′（x）=，从而可得f（1）=e，f′（1）=﹣e，从而确定切线方程；
（2）求导f′（x）=（x﹣2），从而判断导数的正负以确定函数的单调性；
（3）求导f′（x）=（x﹣2），从而可得h（x）=e x+kx在（0，2）内存在两个零点，从而化为y=e x与y=﹣kx的图象在（0，2）内有两个交点，从而利用数形结合求解．
【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=，f′（x）=，
故f（1）=e，f′（1）=﹣e，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=﹣e（x﹣1），
即切线方程为：ex+y﹣2e=0；
（2）f（x）=+k（+lnx）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=+k（﹣+）=（x﹣2），
∵k≥0，且x∈（0，+∞），∴＞0，
故当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；
故函数f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）；
（3）由（2）知，f′（x）=（x﹣2），
∵＜0在（0，2）上恒成立，
又∵函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，
∴h（x）=e x+kx在（0，2）内存在两个零点，
∴y=e x与y=﹣kx的图象在（0，2）内有两个交点，
作y=e x与y=﹣kx的图象如图，
相切时，设切点为（x，e x），
则=e x，
故x=1；
故k1=e；
k2==，
故e＜﹣k＜，
故﹣＜k＜﹣e．
【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了导数的几何意义的应用．。