第九届全国大学生数学竞赛(非数学)决赛试卷
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y y
f (0, 0) = 0 ，则 f ( x, y ) = ＿＿＿＿＿＿＿. 1 du (t ) 4.满足 = u (t ) + ∫ u (t )dt 及 u (0) = 1 的可微函数 u (t ) = ＿＿＿＿＿＿＿. 0 dt
5. 设 a, b, c, d 是互不相同的正实数，x, y, z , w 是实数， 满足 a = bcd ，b = cda ，
(x ) 在闭区间 [0,1] 上连续且 ∫0 f ( x)dx ≠ 0 ， 证明：在区间 [ 0,1] 上存在三个不同的点 x1， x 2， x 3 ，使得
设函数 f
1
得分 评阅人
四 (本题满分 12 分) 求极限： lim n +1 ( n + 1)! − n n ! .
n →∞
x1 1 π 1 = c (x )dx c (t ) d t + c (x1 ) arctan x1 x 3 2 ∫ ∫ 8 0 1 + x 1 0 x2 1 = ( ) d ( ) arctan + c t t c x x 2 2 (1 − x 3 ). 2 ∫ 1 + x 2 0
3 当题空白不够,可写在当页背面,并注明题号.
得分 评阅人
一 (填空题，本题满分 30 分, 共 5 小题, 每小题 6 分) 1. 极限 lim
x →0
tan x − sin x = ＿＿＿＿＿＿＿. x ln(1 + sin 2 x)
2. 设一平面过原点和点 (6, −3, 2) ，且与平面 4 x − y + 2 z = 8 垂直，则此平面方程 为＿＿＿＿＿＿＿. 3. 设 f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数，满足 df ( x, y= ) ye dx + x(1 + y )e dy ，及
.
密封线密封线密封线
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-4
得分
七 (本题满分 12 分)
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________考场号______座位号______
评阅人
1 an 设 0 < an < 1 , n = 1, 2, ，且 lim = q (有限或 + ∞ ). n →∞ ln n ln
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-1
第九届全国大学生数学竞赛决赛试卷
省市____________学校____________准考证号_____________姓名____________考场号______座位号______
得分 评阅人
二 (本题满分 11 分)
设函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内连续， 且存在两两互 异的点 x1 , x2 , x3 , x4 ∈ (0,1) ，使得
(非数学类, 2018 年 3 月)
题号 满分 得分
一 30 分
二 11 分
三 11 分
四 12 分
五 12 分
六 12 分
七 12 分
总分 100 分
α=
f ( x1 ) − f ( x2 ) f ( x3 ) − f ( x4 ) < =β ， x1 − x2 x3 − x4 f ( x5 ) − f ( x6 ) . x5 − x6
(1) 证明：当 q > 1 时级数
∑ an 收敛，当 q < 1 时级数 ∑ an 发散；
n =1 n =1
n
∞
∞
(2) 讨论 q = 1 时级数
∑a
n =1线密封线密封线
证明： 对任意 λ ∈ (α , β ) ， 存在互异的点 x5 , x6 ∈ (0,1) ， 使得 λ =
注意：本试卷共七大题，满分 100 分,考试时间为 180 分钟. 1 所有答题都须写在此试题纸密封线右边,写在其他纸上无效. 2 密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.
密封线密封线密封线
密封线密封线密封线
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-3
得分
五 (本题满分 12 分)
T n 设 x ( x1 , x2 , , xn ) ∈ R ，定义 =
得分 评阅人
六 (本题满分 12 分) 设 函 数 f ( x , y ) 在 区= 域D
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________考场号______座位号______
评阅人
{( x, y) x
2
+ y2 ≤ a2 上 具
2
}
= H ( x)
n −1 2 i = i 1= i 1 n
∑x −∑x x
i i +1
，n ≥ 2.
有一阶连续偏导数，且满足 f ( x, y ) x2 + y 2 = = a ，以及 a2
(1) 证明：对任一非零 x ∈ R ， H ( x) > 0 ；
n
(2) 求 H ( x) 满足条件 xn = 1 的最小值.
∂f 2 ∂f 2 a 2 ，其中 a > 0 . 证明： max + = ( x , y )∈D ∂x ∂y
∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ 3 π a
D
4
4
x y
−x 1 1 1 1 −y 1 1 c z = dab ， d w = abc ，则行列式 = ＿＿＿＿＿＿＿. 1 1 −z 1 1 1 1 −w
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-2
得分 评阅人
三 (本题满分 11 分)
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________考场号______座位号______
f (0, 0) = 0 ，则 f ( x, y ) = ＿＿＿＿＿＿＿. 1 du (t ) 4.满足 = u (t ) + ∫ u (t )dt 及 u (0) = 1 的可微函数 u (t ) = ＿＿＿＿＿＿＿. 0 dt
5. 设 a, b, c, d 是互不相同的正实数，x, y, z , w 是实数， 满足 a = bcd ，b = cda ，
(x ) 在闭区间 [0,1] 上连续且 ∫0 f ( x)dx ≠ 0 ， 证明：在区间 [ 0,1] 上存在三个不同的点 x1， x 2， x 3 ，使得
设函数 f
1
得分 评阅人
四 (本题满分 12 分) 求极限： lim n +1 ( n + 1)! − n n ! .
n →∞
x1 1 π 1 = c (x )dx c (t ) d t + c (x1 ) arctan x1 x 3 2 ∫ ∫ 8 0 1 + x 1 0 x2 1 = ( ) d ( ) arctan + c t t c x x 2 2 (1 − x 3 ). 2 ∫ 1 + x 2 0
3 当题空白不够,可写在当页背面,并注明题号.
得分 评阅人
一 (填空题，本题满分 30 分, 共 5 小题, 每小题 6 分) 1. 极限 lim
x →0
tan x − sin x = ＿＿＿＿＿＿＿. x ln(1 + sin 2 x)
2. 设一平面过原点和点 (6, −3, 2) ，且与平面 4 x − y + 2 z = 8 垂直，则此平面方程 为＿＿＿＿＿＿＿. 3. 设 f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数，满足 df ( x, y= ) ye dx + x(1 + y )e dy ，及
.
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全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-4
得分
七 (本题满分 12 分)
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________考场号______座位号______
评阅人
1 an 设 0 < an < 1 , n = 1, 2, ，且 lim = q (有限或 + ∞ ). n →∞ ln n ln
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-1
第九届全国大学生数学竞赛决赛试卷
省市____________学校____________准考证号_____________姓名____________考场号______座位号______
得分 评阅人
二 (本题满分 11 分)
设函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内连续， 且存在两两互 异的点 x1 , x2 , x3 , x4 ∈ (0,1) ，使得
(非数学类, 2018 年 3 月)
题号 满分 得分
一 30 分
二 11 分
三 11 分
四 12 分
五 12 分
六 12 分
七 12 分
总分 100 分
α=
f ( x1 ) − f ( x2 ) f ( x3 ) − f ( x4 ) < =β ， x1 − x2 x3 − x4 f ( x5 ) − f ( x6 ) . x5 − x6
(1) 证明：当 q > 1 时级数
∑ an 收敛，当 q < 1 时级数 ∑ an 发散；
n =1 n =1
n
∞
∞
(2) 讨论 q = 1 时级数
∑a
n =1线密封线密封线
证明： 对任意 λ ∈ (α , β ) ， 存在互异的点 x5 , x6 ∈ (0,1) ， 使得 λ =
注意：本试卷共七大题，满分 100 分,考试时间为 180 分钟. 1 所有答题都须写在此试题纸密封线右边,写在其他纸上无效. 2 密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.
密封线密封线密封线
密封线密封线密封线
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-3
得分
五 (本题满分 12 分)
T n 设 x ( x1 , x2 , , xn ) ∈ R ，定义 =
得分 评阅人
六 (本题满分 12 分) 设 函 数 f ( x , y ) 在 区= 域D
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________考场号______座位号______
评阅人
{( x, y) x
2
+ y2 ≤ a2 上 具
2
}
= H ( x)
n −1 2 i = i 1= i 1 n
∑x −∑x x
i i +1
，n ≥ 2.
有一阶连续偏导数，且满足 f ( x, y ) x2 + y 2 = = a ，以及 a2
(1) 证明：对任一非零 x ∈ R ， H ( x) > 0 ；
n
(2) 求 H ( x) 满足条件 xn = 1 的最小值.
∂f 2 ∂f 2 a 2 ，其中 a > 0 . 证明： max + = ( x , y )∈D ∂x ∂y
∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ 3 π a
D
4
4
x y
−x 1 1 1 1 −y 1 1 c z = dab ， d w = abc ，则行列式 = ＿＿＿＿＿＿＿. 1 1 −z 1 1 1 1 −w
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-2
得分 评阅人
三 (本题满分 11 分)
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________考场号______座位号______