江苏省盐城市伍佑中学高三数学10月情调研测试试题 理

盐城市伍佑中学2017-2018学年度第一学期高三年级学情调研测试
数学（理科）试卷
时间：120分钟 总分：160分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1. 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则非p 为 ▲ ．
2. 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝ ▲ .
3. 已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝ ▲ .
4. “lg x ＞lg y ”是“x ＞y ”的 ▲ 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．
5. 函数f (x )＝
x ＋
x －1
的定义域是 ▲ ．
6. 若f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是 ▲ ．
7. 设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )=2x +2x +m (m 为常数)， 则f (1)= ▲ ．
8. y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为 ▲ ．
9. 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a x
，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1
是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为
▲ ．
10. 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为
▲ ．
11. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，
f (x )＝x ，则f (105.5)＝ ▲ ．
12. 若函数f (x )＝1
2x 2
－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
13. 已知函数2ln ,
1()2,1
x x f x x x a x ≥⎧=⎨++<⎩（a 为常数）的图象在点(1,0)A 处的切线与该函数
的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
14. 若不等式bx ＋c ＋9ln x ≤x 2对任意的x ∈(0，＋∞)，b ∈(0,3)恒成立，则实数c 的取
值范围是 ▲ ．
二． 解答题：本大题共6小题，共计90分
15.（本小题满分14分）
已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x
为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2时，函数f (x )＝x ＋1x
＞1
c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围．
16.（本小题满分14分）
设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2
＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2
＋(m ＋1)x ＋m ＝0}， 若(∁U A )∩B ＝∅，求m 的值.
17.（本小题满分14分）
已知f (x )＝x 2＋2x ＋a
x
，x ∈[1，＋∞)．
(1)当a ＝1
2时，求函数f (x )的最小值；
(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．
18.（本小题满分16分）
如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ， AD 为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t(单位:km)，△BEF 的面积为S(单位: 2km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;
(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过3 2km ?并说明理由.
19. （本小题满分16分）
已知函数f (x )＝x ln x －(x －1)(ax －a ＋1)(a ∈R )． (1)若a ＝0，判断函数f (x )的单调性；
(2)若x ＞1时，f (x )＜0恒成立，求a 的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知函数()ln (0)m
f x x x m x
=
+>，()ln 2g x x =-． （1）当1m =时，求函数()f x 的单调增区间；
（2）设函数()()()h x f x xg x =--0x >．若函数(())y h h x = 求m 的值；
（3）若函数()f x ，()g x 的定义域都是[1,e]，对于函数()f x 的图象上的任意一点A ，
在函数()g x 的图象上都存在一点B ，使得OA OB ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点．求m 的取值范围．
参考答案
1. ∃x 0∈R ，x 20
＋1≤0 2. {x |0＜x ＜1} 3. 19
3 4. 充分不必要
5. (－1,1)∪(1，＋∞)
6. [1，＋∞)
7.
2
5
8. (－∞，－1]，[0,1] 9. [4,8) 10. (－∞，4] 11. 2.5 12. [2，＋∞) 13. 33,4⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭ 14. (－∞，－9ln 3]
15. 解析 由命题p 为真知，0＜c ＜1，
由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤5
2，
要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞1
2， 若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，
当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤1
2； 当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.
综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤
0，12∪[1，＋∞)．
16. 解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，
∵方程x 2
＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2
－4m ＝(m －1)2
≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；
②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B ≠{－2}；
③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.
经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2.
17. 解析 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋1
2x ＋2，任取1≤x 1＜x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2x 1－12x 2＝x 1－x 2x 1x 2－2x 1x 2，
∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，
∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝7
2.
(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a
x
＞0恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2x ＋a ＞0，x ≥1
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞－
x 2＋2x ，
x ≥1，
等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )
在[1，＋∞)上的最大值．
只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值． φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，
∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞).
18. 解析(1)如图，以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则C 点
坐标为(2,4)．………………………………………………………1分
设边缘线AC 所在抛物线的方程为2
y ax =，
把(2,4)代入，得242a =?，解得1a =，
所以抛物线的方程为2
y x =．…………………………3分
因为2y x ¢=，……………………………4分
所以过2(,)P t t 的切线EF 方程为2
2y tx t =-．………………………5分
令0y =，得(,0)2
t E ；令2x =，得2
(2,4)F t t -，………………7分
所以21(2)(4)22t
S t t =--，……………………………………8分 所以32
1(816)4S t t t =-+，定义域为(0,2]．……………………9分
(2)2134
(31616)(4)()443
S t t t t '=-+=--，……………………12分
由()0S t '>，得4
03
t <<，
所以()S t '在4
(0,)3上是增函数，在4(,2]3
上是减函数，……………14分
所以S 在(0,2]上有最大值464
()327
S =．
又因为6417332727
=-<， 所以不存在点P
2．……………16分
（第18题）
19. 解 (1)若a ＝0，则f (x )＝x ln x －x ＋1，f ′(x )＝ln x ，
x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．
(2)依题意知x ln x －(x －1)(ax －a ＋1)＜0在(1，＋∞)上恒成立． ①若a ＝0，则f (x )＝x ln x －x ＋1，
f ′(x )＝ln x ，
x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，
∴f (x )为增函数，∴f (x )＞f (1)＝0， 即f (x )＜0不成立， ∴a ＝0不合题意． ②若a ≠0，∵x ＞1，
∴ln x －
x －
ax －a ＋x
＜0
在(1，＋∞)上恒成立，不妨设h (x )＝ln x －
x －
ax －a ＋x
，x ∈(1，＋∞)，
h ′(x )＝－ax 2－x －a ＋1
x 2
＝
－
x －
ax ＋a －
x 2
，x ∈(1，＋∞)，
令h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－a
a .
若a ＜0，则x 2＝1－a
a ＜1，x ＞1时h ′(x )＞0，h (x )为增函数，h (x )＞h (1)＝0，不合题意； 若0＜a ＜12，则x 2＞1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，1－a a 时h ′(x )＞0，
h (x )为增函数，h (x )＞h (1)＝0，不合题意；
若a ≥1
2，则x 2≤1，x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )为减函数，
h (x )＜h (1)＝0，符合题意．
综上所述，a ≥1
2.
20.（1）当1m =时，1()ln f x x x x =
+，21
'()ln 1f x x x
=-++．……………………2分 因为'()f x 在(0,)+∞上单调增，且'(1)0f =，
所以当1x >时，'()0f x >；当01x <<时，'()0f x <．
所以函数()f x 的单调增区间是(1,)+∞．……………………………………4分
（2）()2m h x x x =+，则222
2'()2m x m
h x x x -=-=，令'()0h x =得x =
当0x <<'()0h x <，函数()h x 在上单调减；
当x >
'()0h x >，函数()h x 在)+∞上单调增．
所以min [()]h x h ==6分
1)，即49m ≥时，
函数(())y h h x =的最小值1)1]
h =-
即1790m -=1=9
17
=（舍），所以1m =；………8分
②当01)<
，即1449m <<时，
函数(())y h h x =的最小值1)h ==54=（舍）．
综上所述，m 的值为1．………………………………………………………10分 （3）由题意知，2ln OA m k x x =
+，ln 2
OB x k x
-=． 考虑函数ln 2x y x -=，因为2
3ln '0x
y x -=
>在[1,e]上恒成立， 所以函数ln 2x y x -=
在[1,e]上单调增，故1
[2,]e
OB k ∈--．…………………12分 所以1[,e]2OA k ∈，即21ln e 2m
x x
+≤≤在[1,e]上恒成立，
即2
22ln (e ln )2
x x x m x x --≤≤在[1,e]上恒成立． 设2
2()ln 2
x p x x x =-，则'()2ln 0p x x x =-≤在[1,e]上恒成立， 所以()p x 在[1,e]上单调减，所以1
(1)2
m p =≥． …………………………14分 设2()(e ln )q x x x =-，
则'()(2e 12ln )(2e 12lne)0q x x x x =---->≥在[1,e]上恒成立， 所以()q x 在[1,e]上单调增，所以(1)e m q =≤．
综上所述，m 的取值范围为1
[,e]2
． ………………………………………16分。