四川省凉山州2013届高三第三次诊断数学文(附答案)

四川省凉山州2013届高三第三次诊断性测试
数学（文）试题
本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0．5毫米的黑色签字笔填写在答卡 上，并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0．5毫米黑色签字笔写 在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效曰在草稿纸、试卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题，50分）
一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
符合要求）
1．集合A= {x|lgx>0},B= {x|x 2－x>0}，则A B= A ．（,0-∞） B ．（,0-∞）(1,)+∞
C ．（1,+∞）
D ．（0，1）
2．命题2:,10o o
o p x R x x ∃∈++≤,命题q:函数y=x 12
是单调递增函数，则下面命题为真命
题的是
A ．p q ∧
B ．()p q ∨⌝
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ⌝∨
3．一个正三棱柱的正视图如图所示,已知它的体积为3,则该正三棱柱的高为
A ．1 B
C ．3
D ．
4．若y=2x 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线,则该双曲线的离心率为
A B
C ．2 D
5．程序框图如右图所示，若运行结果输出s=120，则判断框内应填入 A ．5?n ≥ B ．5?n ≤ C ．4?n ≥ D ．4?n ≤
6．设抛物线y 2=16x 上一点P 到直线x=-1的距离为3，则点P 到该抛物线焦点的距离为 A ．8 B ．6 C ．5 D ．3
7．若点A (
,0)6π、(,0)3B π是函数y =f
（x ）=sin （x ωϕ+）的两个相邻零点，则()3
f π
-= A ．-1 B ．0 C ．1
2 D ． 1
8．在等比数列{a n }中，s 1 =1，公比 |q|≠1，若a k =a 1a 2a 3a 4a 5，则k= A ．9 B ．10 C ．11 D ． 12 9．若函数f （x ）=x 3－3x+a 有三个不同的零点，则a 的取值范围是 A ．（-2，2） B ．[-2，2] C ．（2，+∞） D ．（-∞，2）
10．在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，给出以下命题： ①平面A 1BD ∥平面D 1B 1C ；
②存在无数条直线，它与该正方体的六个表面所在平面所成的角都相等；
③不存在平面，与该正方体的六个表面所在平面所成的锐二面角的大小都相等；
④AD 1与平面A 1BD
其中真命题的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）
11．若复数z 满足zi=1－i （i 是虚数单位），则 |z|=_____________． 12．若ab= -2，则a 2+b 2－1的最小值为_____________．
13．在边长为3的正方形ABCD 中，点P ，Q 分别在边CD 、BC 上，满足DP= 1，CQ=QB ． 则∠PAQ 的大小是_____________．
14．集合A= 0(,)210,220
x x y x y x y ⎧≤⎧⎪⎪
-+≥⎨⎨⎪⎪++≥⎩⎩
{}229,)|1B x y x y =+≤，从集合B 中任选一个元
素，
也是A 的元素的概率是_____________．
15．在△ABC 中，∠ACB=90o ，AC=1，点I 是△ABC 的内心，则CI ·
CA 的取值范围为___________．
三、解答题（共6个小题，共75分） 16． （12分）已知f （x ）=sin （x+
)3
π
sin （x 6
π
-
）
（1）求f （x ）的最小正周期； （2）求f （x ）的单调递增区间．
17．（12分）在某校，一学科的学习由必修、选修两门课程组成，对某层次学生调查统计
知，有且仅有一门课程获得学分概率为
512，至少一门课程获得学分的概率为1112
．规定两门课程都获得学分该学科才能结业．已知必修课程获得学分的概率大于选修课程
获得学分的概率且互不影响．
（1）对该层内的A 同学，该学科能结业的概率是多少？
（2）在该层次的同学中随机抽取5名，求恰有2名同学能结业的概率．
18．（12分）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是相应棱的中点（如图）． （1）判断并证明截面EFCA 的形状； （2）证明：平面BDD 1B 1⊥平面EFCA ．
19．（12分）已知数列{a n }前n 项和Sn ，数列{b n }，满足 1+2Sn=3n ，3+2log 3a n =b n 。

（1）求{a n }、{b n }的通项公式：
（2）设向量a =（-1，a n ）， b =（c n ，b n ） ，当 a ⊥b 时，求数列 {c n } 的前n 项和Tn ．
20．（13分）已知圆心为F 1的圆：（2216,y +=点F 2，点P 是圆F 上任意一点线段
PF 2的垂直平分线与线段F 1P 相交于点Q ．
（1）求动点Q 的轨迹E 的方程；
（2）若直线x=m （-1<m ≤0）与圆x 2+y 2=4及轨迹E 分别相交于C 、D （C 、D 两点纵
坐标都为正数）， 定点M （-8，0），直线MC 与圆x 2+y 2=4相交于另一点A ；直线MD 与轨迹E 相交于另一点B ．
求证：AB ·
12F F 为定值．
21．（14分）设f （x ）=
1
1(0)x a nx x x
++>． （1）求f （x ）的单调区间；
（2）证明：01a ≤≤时，函数f （x ）在（0，+∞）上没有零点； （3）设F （x ）=f （x ）1
x
-
（a>0，x>0）．A （x 1y 1）B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）依次是函数F （x ）的图象上从左至右的三点． 证明：△ABC 是钝角三角形．。