2017春人教版数学选修4-4课后练 1.3 简单曲线的极坐标方程 课后 Word版含答案

第一讲
一、选择题
1．(2016·安徽高三质检)在极坐标系中，点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为
( D )
A ．2
B ．
4＋π2
9
C ．
1＋π
2
9
D ．3
解析：点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝
0，故圆心为(1,0)，点(1，3)到圆心(1,0)的距离为3，应选D ．
2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( C ) A ．两个圆
B ．两条直线
C ．一个圆和一条射线
D ．一条直线和一条射线
解析：由题意得ρ＝1，或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．应选C ．
3．(2016·北京东城一模)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4到直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0
的距离等于( A )
A ．
2
2
B ． 2
C ．322
D ．2
解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4的直角坐标为(1,1)，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0的直角坐标方程为x －y －1＝0，因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4到直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0的距离为12＝22
.
4．(2016·安徽一模)在极坐标系中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为
( D )
A ．2
B ．
4＋π2
9
C ．
9＋π
2
9
D ．7
解析：点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3化为直角坐标为x P ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，y P ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝－3，即
P (1，－3)．圆ρ＝－2cos θ化为ρ2＝－2ρcos θ，化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，
可得圆心C (－1,0)．∴|PC |＝22
＋
3
2
＝7.应选D ．
5．在极坐标系中有如下三个结论：
①点P 在曲线C 上，那么点P 的极坐标知足曲线C 的极坐标方程； ②tan θ＝1与θ＝π
4表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线． 在这三个结论中正确的选项是( D ) A ．①③
B ．①
C ．②③
D ．③
解析：点P 在曲线C 上要求点P 的极坐标中至少有一个知足C 的极坐标方程；tan θ＝1能表示θ＝π4和θ＝5
4π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的
圆，因此只有③成立．应选D ．
6．(2016·安徽安庆二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2sin θ上的两点A ，B 对应的极角别离为2π3，π
3
，那么弦长|AB |＝( C )
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．2
解析：A ，B 两点的极坐标别离为⎝
⎛⎭⎪⎫3，
2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，化为直角坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－32，32，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32. 故|AB |＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32
－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－322＝ 3.应选C ．
二、填空题
7．极坐标系下，直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2与圆ρ＝2的公共点个数是1. 解析：直线方程ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， 即ρ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22cos θ＋22sin θ＝2，
因此直角坐标方程为x ＋y －2＝0.
圆的方程ρ＝2，即ρ2
＝2，因此直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2. 因为圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－2|
2＝2＝r ，
因此直线与圆相切，即公共点个数是1.
8．(2016·湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成
立坐标系，圆C 1：ρ＝4sin θ，直线C 2：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－22，那么直线C 2截圆C 1所得的
弦长为
解析：由ρ＝4sin θ，得ρ2
＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝4y ，化为标准形式为x 2＋(y －2)2
＝4，该圆是以(0,2)为圆心，2为半径的圆．直线C 2：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－
22的直角坐标方程为x －y ＋4＝0.
设圆心到直线的距离为d ，那么d ＝|－2＋4|
2＝2，那么直线C 2截圆C 1所得的弦长为
24－2＝2 2.
9．(2016·广东珠海模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝8的距离的最大值是7.
解析：曲线ρ＝－4cos θ的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝－4x ，即(x ＋2)2
＋y 2
＝22
，圆心坐标为(－2,0)x ＋3yd ＝|－2－8|
2
＝5，，故圆上的点到直线的距离的最大值为5＋2＝7.
三、解答题
10．判定两圆ρ＝cos θ＋3sin θ和ρ＝2cos θ的位置关系． 解析：将圆的方程的两边同乘以ρ，
取得ρ2
＝ρcos θ＋3ρsin θ，ρ2
＝2ρcos θ， 再用互化公式ρ2
＝x 2
＋y 2
，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 代入以上两方程别离得x 2
＋y 2
－x －3y ＝0，x 2
＋y 2
－2x ＝0， 因此两圆的直角坐标方程别离为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，
(x －1)2＋y 2C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32，C 2(1,0)，半径都为1.
又∵||C 1C 2＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－02＝1， ∴0＝1－1<||C 1C 2<1＋1＝2. ∴两圆相交．
11．(2016·江苏高三模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程别离为ρ＝2，ρ2
－22ρ cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求通过两圆交点的直线的极坐标方程．
解析：由ρ＝2知ρ2＝4，因此圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2ρ2
－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝
2，整理得ρ2
－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.
因此圆O 2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得通过两圆交点的直线方程为x ＋yρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.
12．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，M 是曲线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－10上的一动点．
(1)试求||PQ 的最大值； (2)试求||PM 的最小值．
解析：(1)将曲线ρ＝12sin θ化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－12y ＝0，即x 2
＋(y －6)2
＝36.
将曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6两边同乘ρ， 取得ρ2
＝12ρ⎝
⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，
化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－63x －6y ＝0，化成标准形式为(x －33)2
＋(y －3)2
＝36. 因此|PQ |max ＝6＋6＋32
＋33
2
＝18.
(2)将曲线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－10，化为直角坐标方程为x ＋y ＋102x 2＋(y －6)2
＝36
的圆心到直线的距离d ＝|0＋6＋102|2＝10＋32>r ＝6，因此||PM 的最小值确实是圆x 2
＋(y
－6)2
＝36的圆心到直线x ＋y ＋102＝0的距离减半径．
因此|PM |min ＝(10＋32)－6＝4＋3 2.。