人教版2019学年高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义习题新人教A版选修2_2

第一章 导数的几何意义
A 级 基础坚固
一、选择题
1．(2018 ·海市校级期末
) 已知函数
y ＝ f ( x ) 的图象在点
M (1 ， f (1)) 处的切线方程是
1
y ＝2x ＋ 2，则 f (1) ＋ f ′ (1) 的值等于 (
C )
A ． 1
B ． 5
2
C ． 3
D ． 0
1
5
[剖析]
由已知点
M (1 ， f (1))
在切线上，所以
f (1) ＝ 2＋ 2＝2，
切点处的导数为切线斜率，所以
f ′( x ) ＝ 1，
2
即 f (1) ＋ f ′ (1) ＝3，应选 C ．
2．曲线 y ＝ x 3＋ x －2 在 P 点处的切线平行于直线 y ＝ 4x －1，则切线方程为 ( D )
A ． y ＝ 4x
B ． y ＝ 4x － 4
C ． ＝4 －8
D ． ＝ 4 x 或
y
＝4 －4
y
x
y
x
[剖析]
y ′＝ lim
y
x
x →0
＝ lim
＋
＋
＋－2]－
＋ x －
x
x →0
2
2
＝
lim [( x ) ＋ 3x x ＋ 3x ＋1]
＝ 3x 2＋ 1．
由条件知， 3x 2＋ 1＝4，∴ x ＝± 1，
当 x ＝ 1 时，切点为 (1,0) ，切线方程为 y ＝ 4( x － 1) ，即
y ＝ 4x － 4．
当 x ＝－ 1 时，切点为 ( － 1，－ 4) ，切线方程为 y ＋ 4＝ 4( x ＋ 1) ，
即 y ＝ 4x ．
3．已知曲线 y ＝ 2x 3 上一点 A (1,2) ，则点 A 处的切线斜率等于 ( D ) A ． 0 B ． 2 C ． 4
D ． 6
[剖析]y＝2(1＋x)3－2×13＝6x＋6(x)2＋ (x)3， lim y
＝ lim
x→0x x→0
[(
x ) 2＋6＋ 6]＝ 6，应选 D．
x
4．(2018 ·济宁高二检测 ) 设曲线
y ＝
2
在点(1，) 处的切线与直线 2－－6＝0 平ax a x y
行，则 a 等于( A)
1 A． 1B．2
1
C．－2D．－ 1
[剖析]∵ y′|x＝1＝lim＋－a×12
x
x→0
＝ lim
2a x＋＝ lim
(2a＋ a x)＝2a，
x
x→0x→0
∴ 2a＝ 2，∴a＝ 1．5． (2017 ·汉中高二检测A． 1
5π
C．4
[剖析]∵ y′＝lim
x→0
＝ lim[ x2＋ x x＋1
(
x→03
135
) 曲线y＝3x －2在点 1，－3处切线的倾斜角为 ( B )
π
B．4
π
D．－4
11
[ 3＋－2] －3x3－
x
x)2]＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1．
∴切线的倾斜角为π4，故应选B．
6．设f′ (x0)＝0，则曲线y＝ f ( x)在点( x0， f ( x0))处的切线( B )
A．不存在B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直D．与x轴斜交
[ 剖析 ]由导数的几何意义知 B 正确，故应选B．
二、填空题
7．已知f ( x) ＝x2＋3x，则f′ (2)＝7．
[剖析 ]
＋
＋
＋
－＋
f ′ ( x ) ＝ lim
x
x →0
x ＋ 3＝ 2x ＋3，
∴ f ′ (2) ＝ 7．
8．曲线 y ＝ x 3 在点 (3,27) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
[ 剖析 ] 因为 f
′(3) ＝ lim
＋
－ 33
＝ 27，
x →0
x
所以在点 (3,27)
处的切线方程为
y －27＝ 27( x － 3) ，
即 y ＝ 27x － 54．
此切线与 x 轴、 y 轴的交点分别为 (2,0) ， (0 ，－ 54) ．
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
1
S ＝ 2×2×54＝ 54．
三、解答题
1 7
9．求曲线 y ＝ x － x 上一点 P 4，－ 4 处的切线方程．
＝ lim 2x ＋
x →0
54．
1 －
1
x ＋
x x －x ＋ x － x
[ 剖析 ] ∵ y ′＝ lim
x
x →0
－ x
x
＋
－
x ＋ x
＝ lim
x ＋
x
x →0
＝ lim
－1
1
＋
－
x ＋ x
x →0
x ＋
1 1 ＝－ x2－
2 x ．
1
15
∴ y ′ | x ＝ 4＝－ 16－ 4＝－ 16，
7
∴曲线在点 P 4，－ 4 处的切线方程为：
7 5
y ＋ ＝－
( x － 4) ．
4 16
即 5x ＋16y ＋ 8＝ 0．
10．已知曲线
f ( ) ＝ ＋ 1 上一点 (2 ， 5 ) ，用导数定义求函数 f ( x
) ：
x x x A 2
(1) 在点 A 处的切线的斜率；
(2) 在点 A 处的切线方程．
[剖析] (1) ∵ y ＝ f (2 ＋ x ) － f (2)
1
1 － x ＝ 2＋ x ＋
x －(2＋ )＝
＋ x ，
2＋ 2
＋
－ x
y ＝ ＋
＋
x － 1
＝
＋ 1，
x
＋
x
∴ lim
y
＝ lim
[
－ 1 ＋1] ＝ 3 ，
x →0
x
x →0
＋
4
3
故点 A 处的切线的斜率为
4．
5 3 (2) 切线方程为 y － ＝ ( x －2) ，
2 4
即 3x －4y ＋ 4＝ 0．
B 级 修养提升
一、选择题
1． (2018 ·开封高二检测 ) 已知 y ＝f ( x ) 的图象如图，则
f ′ ( x A ) 与 f ′( x B ) 的大小
关系是(
B )
A ． f ′ ( x A )> f ′ ( x
B ) B ． f ′ ( x A )< f ′ ( x B )
C ． f ′ ( x A ) ＝ f ′ ( x B )
D ．不能够确定
[剖析] 由图可知，曲线在点 A 处的切线的斜率比曲线在点
B 处的切线的斜率小，
结合导数的几何意义知 f ′ ( x )< f ′ ( x ) ，选 B ．
A
B
2．设
P 为曲线 ： ＝ x
2＋ 2 ＋ 3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围
C y x
为 [0 ， π
] ，则点 P 横坐标的取值范围为 ( A )
4
1
A ．[ －1，－ 2]
B ． [ － 1,0]
1 C ． [0,1]
D ． [ 2，1]
[剖析]
察看导数的几何意义．
由导数的定义可得
y ′＝ 2 ＋ 2，且切线倾斜角θ ∈[0 ，
π
] ，x4
∴切线的斜率k 知足0≤ k≤1，即0≤2x＋2≤1，
1
∴－ 1≤x≤－2．
二、填空题
3．如图，函数
f () 的图象是折线段，其中，，的坐标分别为(0,4) ，(2,0)，x ABC A B C
(6,4) ，则 lim＋－＝－ 2．
x
x→0
[ 剖析 ] 由导数的见解和几何意义知，
lim＋－＝ f ′(1)＝ k ＝0－ 4＝－ 2．
x→0x AB2－ 0
4． (2018 ·全国卷Ⅱ理， 13) 曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x．
[剖析] ∵
y ＝ 2ln(
x
＋1)，∴
y
′＝2．令＝ 0，得
y
′＝ 2，由切线的几何意
x＋ 1x
义得切线斜率为2，又切线过点 (0,0)，∴ 切线方程为 y＝2x．
三、解答题
5．(2016 ·天津联考 ) 设函数f ( x) ＝x3＋ax2－ 9x－ 1( a<0) ，若曲线y＝f ( x) 的斜率最小的切线与直线12x＋y＝ 6 平行，求a的值．
[剖析] ∵
y ＝(
x0
＋)－
f
(
x0
) f x
32
＝ ( x ＋ x) ＋ a( x ＋ x) － 9( x ＋ x) － 1－( x03＋ ax02－ 9x － 1)
0000＝ (3 x20＋2ax0－ 9)x＋(3 x0＋a)(x)2＋(x)3，
∴y
＝ 3x02＋ 2ax0－9＋ (3 x0＋a)x＋( x)2．x
当x 无量趋近于零时，y0
无量趋近于3x02＋2ax － 9．
x
即 f ′( x0)＝3x02＋2ax0－9，
∴f ′( x0)＝3( x0＋a
)2－9－
a2
．
33
a
′( x0) 取最小值－ 9－a2
当 x0＝－时， f．
33
∵斜率最小的切线与12x＋y＝ 6 平行，
∴该切线斜率为－12．
a2
∴－ 9－3＝－ 12．
解得 a＝±3．又 a<0，∴ a＝－3．
6．已知直线l ： y＝4x＋ a 和曲线 C：y＝ f ( x)＝x3－2x2＋3相切，求 a 的值及切点坐标．
[剖析]设直线
l 与曲线
C
相切于点(0，0)，
P x y
∵ f ′( x)＝lim＋－
x
x→0
＝ lim＋－＋＋ 3－－ 2x2＋
x
x→0
＝3x2－ 4x，
∴k＝ f ′( x0)＝3x02－4x0．
由题意可知 k＝4，即3x02－4x0＝4，
2
解得 x0＝－3或 x0＝2，
249
∴切点的坐标为 ( －3，27) 或 (2,3) ．
249492
a 121
当切点为 (－，) 时，有＝4×(－ )＋，解得＝．327273a27当切点为 (2,3)时，有 3＝4× 2＋a，解得a＝－ 5．
121249
∴当 a＝27时，切点坐标为 ( －3，27) ；
当 a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
C级能力拔高
已知曲线
f (
x
) ＝2＋1和 () ＝3＋
x
在其交点处两切线的夹角为θ，求 cos θ ．x g x x
[剖析] 由y＝ x2＋ 1，
得 x3－ x2＋ x－1＝0，y＝ x3＋ x，
即 ( x－ 1)( x2＋ 1) ＝ 0，解得x＝ 1，所以交点 P(1,2)．
因为 f ′(1)＝ lim
＋＋1－2
x ＝ 2，
x→0
所以其切线
l 1 的方程为
y
－ 2＝2(
x
－1)，即
y
＝ 2 ．
x
因为 g′(1)＝ lim
＋＋ 1＋x－＋＝ 4，
x
x→0
所以其切线 l 2的方程为 y－2＝4( x－1)，
即
y ＝4 －2．
x
取切线 l 1的方向向量为a＝(1,2)，切线 l 2的方向向量为b＝(1,4)，
则 cos θ＝
a·b999
85．＝＝
85
＝
|a||b|5× 1785。