2021_2020学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.2不等式的解集教师用书新人教B版必修第

2．2.2 不等式的解集
考点
学习目标
核心素养 不等式的解集与不等式组的解集
会求解一元一次不等式及一元一次不等式组的解集 数学运算
绝对值不等式
能借助绝对值的几何意义求解含绝对值的不等式的解集
数学运算
问题导学
预习教材P64－P67的内容，思考以下问题： 1．什么是不等式的解集？ 2．什么是不等式组的解集？ 3．绝对值不等式的概念是什么？ 4．|a |的几何意义是什么？
5．假设A 、B 是数轴上不同的两点，线段AB 的长度及A 、B 的中点分别是什么？
1．不等式的解集与不等式组的解集
(1)一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
(2)对于由假设干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
■名师点拨 假设不等式中所含不等式解集的交集为∅时，那么不等式组的解集为∅. 2．绝对值不等式 (1)绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． (2)数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式
一般地，如果实数a ，b 在数轴上对应的点分别为A ，B ，即A (a )，B (b )，那么线段AB 的长为|AB |＝|a －b |，线段AB 的中点M 对应的数x ＝
a ＋b
2
．
■名师点拨 (1)求线段AB 的长|AB |时，不要无视绝对值； (2)线段AB 的中点坐标与A 、B 两点的顺序无关．
判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)
(1)不等式2x ＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.( ) (2)不等式ax ＋b ＞0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b
a
，＋∞.( )
(3)不等式|x |＜12的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.( )
(4)不等式|x |＜a 的解集为(－a ，a )．( ) (5)假设|a |＞|b |，那么a ＞b .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，
x ＋1＜3的解集为________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2 不等式|x －1|＜1的解集为________． 答案：(0，2)
不等式|x －2|＞3的解集为________． 答案：(－∞，－1)∪(5，＋∞)
假设A ，B 两点在数轴上的坐标分别为A (2)，B (－4)，那么|AB |＝________，线段AB 的中点M 的坐标为________．
答案：6 M (－1)
不等式组的解法
解以下不等式组：
(1)⎩
⎪⎨⎪⎧x －5＞1＋2x ，①3x ＋2≤4x ；② (2)⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5＞1－x ，①x －1≤34x －1
8.②
【解】 (1)解不等式①，得x ＜－6，解不等式②，得x ≥2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知，解集没有公共局部，不等式组无解，即不等式组的解集为∅.
(2)解不等式①，得x ＞－125，解不等式②，得x ≤7
2，把不等式①和②的解集在数轴上表
示出来：
由图可知不等式组的解集为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－125，72.
解不等式组的三个步骤
(1)求出不等式组中每个不等式的解集． (2)借助数轴找出各解集的公共局部． (3)写出不等式组的解集．
关于x 的不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧5－2x ≥－1，①
x －a ＞0②无解，求a 的取值范围．
解：解不等式①，得x ≤3.
解不等式②，得x ＞a .因为该不等式组无解， 所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如下图．
所以a ＞3.
当a ＝3时，代入不等式组，得x ≤3，且x ＞3， 此时，不等式组也无解，满足题意， 所以a 的取值范围为a ≥3.
含有一个绝对值号不等式的解法
解以下不等式： (1)|2x ＋5|＜7； (2)|2x ＋5|＞7＋x ； (3)2≤|x －2|≤4.
【解】 (1)原不等式等价于－7＜2x ＋5＜7. 所以－12＜2x ＜2， 所以－6＜x ＜1，
所以原不等式的解集为(－6，1)． (2)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，
可得2x ＋5＞7＋x 或2x ＋5＜－(7＋x )， 所以x ＞2或x ＜－4.
所以原不等式的解集为(2，＋∞)∪(－∞，－4)．
(3)原不等式等价于⎩
⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2，①
|x －2|≤4.②
由①得x －2≤－2，或x －2≥2， 所以x ≤0，或x ≥4. 由②得－4≤x －2≤4， 所以－2≤x ≤6.
所以原不等式的解集为[－2，0]∪[4，6]．
含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法
(1)形如|f (x )|＜a (a ＞0)和|f (x )|＞a (a ＞0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解．
(2)形如|f (x )|＜g (x )和|f (x )|＞g (x )型不等式的解法如下：
①等价转化法：|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )，|f (x )|＞g (x )⇔f (x )＜－g (x )或
f (x )＞
g (x )．
(这里g (x )可正也可负) ②分类讨论法：
|f (x )|＜g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕≥0f 〔x 〕＜g 〔x 〕或⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕＜0－f 〔x 〕＜g 〔x 〕， |f (x )|＞g (x )⇔⎩
⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕≥0f 〔x 〕＞g 〔x 〕或⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕＜0－f 〔x 〕＞g 〔x 〕. 解不等式：1＜|x －2|≤3.
解：原不等式等价于不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＞1|x －2|≤3，即⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＜1或x ＞3，－1≤x ≤5， 解得－1≤x ＜1或3＜x ≤5，
所以原不等式的解集为[－1，1)∪(3，5]．
含有两个绝对值号不等式的解法
解以下不等式： (1)|x －1|＞|2x －3|； (2)|x －1|＋|x －2|＞2；
(3)|x ＋1|＋|x ＋2|＞3＋x . 【解】 (1)因为|x －1|＞|2x －3|，
所以(x －1)2
＞(2x －3)2
，即(2x －3)2
－(x －1)2
＜0， 所以(2x －3＋x －1)(2x －3－x ＋1)＜0， 即(3x －4)(x －2)＜0， 所以4
3
＜x ＜2.
即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，2. (2)原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤11－x ＋2－x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜2x －1＋2－x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x －1＋x －2＞2⇔⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤1
x ＜12
或⎩⎪⎨
⎪
⎧1＜x ＜2－1＞0
或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＞52
⇔x ＜12或x ＞5
2，
所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.
(3)原不等式⇔⎩⎪⎨
⎪
⎧x ≤－2－x －1－x －2＞3＋x
或⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜－1－x －1＋x ＋2＞3＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1x ＋1＋x ＋2＞3＋x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2x ＜－2或⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜－1x ＜－2或⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥－1
x ＞0⇔x ＜－2或x ＞0.
所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
(1)含绝对值不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法
①|x |＜a ⇔⎩
⎪⎨⎪⎧－a ＜x ＜a 〔a ＞0〕，∅〔a ≤0〕.
②|x |＞a ⇔⎩⎪⎨⎪
⎧x ∈R 〔a ＜0〕，x ∈R 且x ≠0〔a ＝0〕，x ＞a 或x ＜－a 〔a ＞0〕.
(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c .
②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .
(3)求解|f (x )|＞|g (x )|或|f (x )|＜|g (x )|型不等式的方法为平方法，如本例(1)． (4)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的2种解法 ①利用绝对值不等式的几何意义．
②利用x －a ＝0，x －b ＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之．
1．不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )
A.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ＞32
B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |32＜x ≤3 C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3＜x ≤0}
解析：选A.当x ＜－3时，－(x ＋3)＋(x －3)＞3，－6＞3，无解．当－3≤x ≤3时，x ＋
3＋x －3＞3，所以x ＞32，故3
2＜xx ＞3时，x ＋3－(x －3)＞3，6＞3，所以x
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32. 2．解不等式|2x －1|＜|x |＋1.
解：当x ＜0时，原不等式可化为－2x ＋1＜－x ＋1，解得x ＞0，又因为x ＜0， 所以这样的x 不存在．
当0≤x ＜1
2时，原不等式可化为－2x ＋1＜x ＋1，解得x ＞0，
又因为0≤x ＜12，所以0＜x ＜1
2
.
当x ≥12时，原不等式可化为2x －1＜x ＋1，解得x ＜2，又因为x ≥12，所以1
2≤x ＜2.
综上所述，原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．
1．不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1≥5，8－4x ＜0的解集在数轴上表示为( )
解析：选C.解不等式2x －1≥5，得x ≥3，解不等式8－4x ＜0，得x ＞2，故不等式组的解集为[3，＋∞)．选C.
2．不等式3≤|5－2x |＜9的解集为( ) A ．[－2，1)∪[4，7) B ．(－2，1]∪(4，7] C ．[－2，1]∪[4，7)
D ．(－2，1]∪[4，7)
解析：选D.因为|5－2x |＝|2x －5|，那么原不等式等价于3≤2x －5＜9或－9＜2x －5≤－3，解得4≤x ＜7或－2＜x ≤1，故解集为(－2，1]∪[4，7)．
3．不等式|x －2|≤|x |的解集是________．
解析：|x －2|≤|x |⇔(x －2)2
≤x 2
⇔4－4x ≤0⇔x ≥1.
答案：{x |x ≥1}
4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2x 3－4－3x 6≥x －22，
2x －7≤3〔x －1〕的解集为________．
解析：记原不等式组为 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2x 3－4－3x 6≥x －22，①
2x －7≤3〔x －1〕.② 解不等式①，得x ≤1. 解不等式②，得x ≥－4.
故原不等式组的解集为[－4，1]． 答案：[－4，1]
5．关于x 的不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧2x －3a ＜7b ，6b －3x ＜5a 的解集是(5，22)，那么a ＝________，b ＝________．
解析：记原不等式组为
⎩
⎪⎨⎪⎧2x －3a ＜7b ，①
6b －3x ＜5a ，② 解不等式①，得x ＜3a ＋7b 2.
解不等式②，得x ＞6b －5a
3.
因为原不等式组的解集为(5，22)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋7b 2＝22，6b －5a 3＝5.
解这个关于a ，b 的二元一次方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5.
答案：3 5
[A 根底达标]
1．在一元一次不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，
x －5≤0的解集中，整数解的个数是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选C.解不等式2x ＋1＞0，得x ＞－1
2
.解不等式x －5≤0，得x ≤5，所以不等式组
的解集为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－12，5，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个． 2．假设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧1＋x ＜a ，x ＋92＋1≥x ＋13－1有解，那么实数a 的取值范围是( )
A ．a ＜－36
B ．a ≤－36
C ．a ＞－36
D ．a ≥－36
解析：选C.解不等式1＋x ＜a ，得x ＜a x ＋9
2
＋1≥
x ＋1
3
－1，得x ≥－37，因为不等式组
有解，所以a －1＞－37，即a ＞－36.
3．不等式1≤|2x －1|＜2的解集为( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |－12＜x ＜0或1≤x ≤32
B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |－12＜x ≤0或1≤x ≤32
C.
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ≤0且1＜x ≤32 D.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |－12＜x ≤0或1≤x ＜32
解析：选≤|2x －1|＜2那么1≤2x －1＜2或－2＜2x －1≤－1，因此－1
2＜x ≤0或1≤x
＜32
. 4．使
3－|x |
|2x ＋1|－4
有意义的x 满足的条件是( )
A ．－3≤x ＜3
2
B ．－5
2＜x ≤3
C ．－3≤x ＜－52或3
2
＜x ≤3
D ．－3≤x ≤3
解析：选C.依题意应有⎩
⎪⎨⎪⎧3－|x |≥0
|2x ＋1|－4＞0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤32x ＋1＞4或2x ＋1＜－4，解得－3≤x ＜－52或3
2＜x ≤3.
5．不等式|x －1|＋|x －2|≤3的最小整数解是( ) A ．0 B ．－1 C ．1
D ．2
解析：选
A.原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －1＋x －2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2
x －1－〔x －2〕≤3
或
⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＜1－〔x －1〕－〔x －2〕≤3， 解得0≤x ≤3，所以最小整数解是0，应选A.
6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －13－5x －12≤1，
5x －2＜3〔x ＋2〕
的所有正整数解的和为________．
解析：解原不等式组，得不等式组的解集是－5
11≤x ＜4，所以不等式组的正整数解是1，
2，3，故它们的和为1＋2＋3＝6.
答案：6
7．关于x 的不等式|mx －2|＜3的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |－56＜x ＜16，那么m ＝________．
解析：|mx －2|＜3⇔－3＜mx －2＜3⇔－1＜mx ＜5， ①假设m ＞0，那么－1m ＜x ＜5
m
，
由题意得－1m ＝－56且5m ＝1
6，无解．
②假设m ＜0，那么5m ＜x ＜－1
m
，
由题意得5m ＝－56且－1m ＝1
6，
所以m ＝－6， 综上可得m ＝－6. 答案：－6
8．对于任意实数x ，不等式|x ＋7|≥m ＋2恒成立，那么实数m 的取值范围是________． 解析：令y ＝|x ＋7|，要使任意x ∈R ，|x ＋7|≥m ＋2恒成立，只需m ＋2≤y min ， 因为y min ＝0，所以m ＋2≤0，
所以m ≤－2，所以m 的取值范围是(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] 9．解以下不等式： (1)x ＋|2x ＋3|≥2； (2)|x ＋1|＋|x －1|≥3.
解：(1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，
3x ＋3≥2.
解得x ≤－5或x ≥－1
3
.
综上，原不等式的解集是
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13. (2)当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3，解得x ≤－3
2.
当－1＜x ＜1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3. 所以x ≥32
.
综上，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 10．如果关于x 的不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧3x －a ≥0，2x －b ≤0的整数解仅有1，2，试求整数a ，b 的所有可能
的值．
解：原不等式组的解集可利用a ，b 表示为a 3≤x ≤b
2.根据不等式组的整数解仅有1，2，可
确定a ，b 的范围为0＜a 3≤1，2≤b
2＜3，即0＜a ≤3，4≤ba ，b 均为整数．所以a 的值可能为
1或2或3，b 的值可能为4或5.
[B 能力提升]
11．不等式⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪ax －1x ＞a 的解集为M ，且2∉M ，那么a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 解析：选B.因为2∉M ，所以2∈∁R M ，所以⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪2a －12≤a ，即－a ≤2a －12≤a ，解得a ≥14.
12．在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．
解析：由于||x －2|－1|≤1，即－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，所以－2≤x －2≤2，所以0≤x ≤4.
答案：[0，4]
13．对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T (x ，y )＝ax ＋by
2x ＋y
(其中a ，b 均为非零常数)，这里等式右边是普通的四那么运算，例如：T (0，1)＝a ×0＋b ×1
2×0＋1
＝b .T (1，－1)＝－2，T (4，
2)＝1.
(1)求a ，b 的值；
(2)假设关于m 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧T 〔2m ，5－4m 〕≤4，T 〔m ，3－2m 〕＞p 恰好有3个整数解，求实数p 的取值范
围．
解：(1)由T (1，－1)＝－2，T (4，2)＝1，得
⎩⎪⎨⎪⎧a ×1＋b ×〔－1〕2×1－1＝－2，a ×4＋b ×22×4＋2＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－2，4a ＋2b ＝10， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. (2)由(1)，得T (x ，y )＝x ＋3y 2x ＋y ，那么不等式组⎩⎪⎨⎪⎧T 〔2m ，5－4m 〕≤4，T 〔m ，3－2m 〕＞p 可化为⎩
⎪⎨⎪⎧3－2m ≤4，－5m ＞3p －9， 解得－12≤m ＜9－3p 5
. 因为不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧T 〔2m ，5－4m 〕≤4，T 〔m ，3－2m 〕＞p 恰好有3个整数解，所以2＜9－3p 5≤3，解得－2≤p ＜－13
. [C 拓展探究]
14．为了抓住某艺术节的商机，某商店决定购进A ，B 两种艺术节纪念品．假设购进A 种纪念品8件，B 种纪念品3件，需要950元，购进A 种纪念品5件，B 种纪念品6件，需要800元．
(1)求购进A ，B 两种纪念品每件分别需要多少钱；
(2)假设该商店决定购进A ，B 两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购置这100件纪念品的资金不少于7 500元，但不超过7 650元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)假设销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案可获利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)设购进A 种纪念品每件x 元，B 种纪念品每件y 元．
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋3y ＝950，5x ＋6y ＝800，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝50. 所以购进A ，B 两种纪念品每件分别需要100元、50元．
(2)设购进A 种纪念品x 件，那么购进B 种纪念品(100－x )件．根据题意，得
7 500≤100x ＋50(100－x )≤7 650，
解得50≤x ≤53.
因为x是正整数，
所以x可以取50，51，52，53.
所以共有四种进货方案，
方案一：购进A种纪念品50件，B种纪念品50件；方案二：购进A种纪念品51件，B种纪念品49件；方案三：购进A种纪念品52件，B种纪念品48件；方案四：购进A种纪念品53件，B种纪念品47件．(3)方案一获利：50×20＋50×30＝2 500(元)；
方案二获利：51×20＋49×30＝2 490(元)；
方案三获利：52×20＋48×30＝2 480(元)；
方案四获利：53×20＋47×30＝2 470(元)；
所以方案一可获利润最大，最大利润为2 500元．。