四川省绵阳市-高二数学3月月考 文

绵阳南山中学2013年春季高2011级3月月考
数学（文科）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 50分） 注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。

一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.命题“若p 则q ”的逆命题是 （ ）
A.若q
则
p B.若p ⌝则q ⌝ C.若q ⌝则p ⌝ D.若p 则q ⌝
2.命题“存在R x ∈0，020≤x ”的否定是 ( )
A.不存在
R x ∈0,020>x B.存在R x ∈0, 020≥x
C.对任意的R x ∈, 02≤x
D.对任意的R x ∈, 02>x
3.设R x ∈，则“
21
≥
x ”是“0122≥-+x x ”的 （ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.椭圆
63222=+y x 的焦距是 ( ) A. )23(2- B. 2 C.52 D.)23(2+
5.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直, l 与C 交于A 、B 两点且12=AB ,若
P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为 ( )
A.18
B.24
C.36
D.48
6.椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的范围是（ ) A.[]10,6
B.[]8,6
C.[]10,8
D.[]20,16
7.若椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0,0(12
2>>=-b a b y a x 有相同的焦点
1F 、2F ，点P 是两条曲线的一个交点，则2
1PF PF ⋅的值为 （ ）
A.a m -
B.)(21
a m - C.2
2a m - D.a m -
8.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2(--,则双曲线的焦距为 ( )
A.32
B.52
C.34
D.54
9.已知F 是抛物线
x y =2
的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点,3=+BF AF ,则线段AB 的中点到
y 轴的距离为 ( )
A.43
B.23
C.45
D.47
10.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线的右支
上且
2
14PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）
A.34
B.35
C.2
D.37
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意： 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

11.以双曲线19162
2=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_____
12.已知点)3,5(A ，动点P 在抛物线
x y 92=上移动，F 为抛物线的焦点，则PF PA +取得最小值时，点P 的坐标为
13.已知双曲线)0,0(1222
2>>=-b a b y a x 和椭圆19162
2=+y x 有相同的焦点，且双曲线的离心
率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
14.点M 到一个定点)2,0(F 的距离和它到一条定直线8=y 的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是_ _
15.下列命题：①动点M 到两定点A 、B 的距离之比为常数)10(≠>λλλ且，则动点M 的轨
迹是圆；②椭圆222212x y b b +=的离心率是22；③双曲线12222=-b y a
x )0,0(>>b a 的焦点到渐近线的距离是b ；④已知抛物线y2=2px 上两点A(x1, y1)、 B(x2, y2)，且OA ⊥OB (O 是坐标原点)，
则2
21p y y -=。

其中正确命题的序号是
三、解答题：本大题共6小题，其中16～19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，且经过两个点)2,0()和)0,1(；
(2)坐标轴为对称轴，并且经过两点)2,0(A ，)
3,21
(B
17．（本小题满分12分）如图，直线b x y l +=:与抛物线
y x C 4:2
=相切于点A (1)求实数b 的值；
(2) 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程。

18．（本小题满分12分）设
:p 实数x 满足
0342
2<+-a ax x ,其中0>a ,命题:q 实数x 满足2
2
60,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪
⎩； (1)若1=a 且
q p ∧为真，求实数x 的取值范围；.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)若q
是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围。

19．（本小题满分12分）已知过抛物线
)0(22>=p px y 的焦点且斜率为22的直线交抛物
线于),(11y x A 、),(22y x B )(21x x <两点，且9
=AB
（1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值。

20．（本小题满分13分）设双曲线C 与双曲线1
242
2=-x y 共渐近线且过点)2,2(M ，
（1）求双曲线C 的方程；
（2）是否存在过点)1,1(P 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点且点P 平分线段AB ，若存在求直线l 的方程，若不存在说明理由。

21．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

绵阳南山中学2013年春季高2011级3月月考 数学试题（文科） 参考答案
选择题答案：1～5 ADABC 6～10 CDBCB
填空题答案：11.x y 162
= 12.)3,1( 13.13422=-y x 14.112162
2=+x y
15.①②③
解答题答案：
16．解：(1)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2
b2＝1(a>b>0)，由于椭圆经
过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧
4a2＋0
b2＝1，
0a2＋1
b2＝1.
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a2＝4，b2＝1
故所求椭圆的方程为y24＋x2＝1…..6分 (2)设所求椭圆的方程为x2m ＋y2n ＝1(m>0，n>0)，∵椭圆过A(0,2)，B(1
2，3)，
∴⎩⎨⎧
0m ＋4
n ＝1，14m ＋3
n ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1，n ＝4.
∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1…………………....12分
17．解：（1）由2
4y x b x y =+⎧⎨=⎩得2440x x b --= (*)
因为直线l 与抛物线C 相切,所以2
(4)4(4)0b ∆=--⨯-=,解得1b =-…………..5分
（2）由（1）可知1b =-,故方程(*)即为2
440x x -+=,解得2x =,将其代入24x y =,得
y=1,故点A(2,1)……………………………………………………………………………..8分
因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆心A 到抛物线C 的准线y=-1的距离等于圆A 的半径r,
即r=|1-(-1)|=2,所以圆A 的方程为
22
(2)(1)4x y -+-=……………………....12分 18．解: 由22
430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<，又0a >,所以3a x a <<…………….2分 由22
60280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩
,得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤…… …..….4分 (1)当1a =时，1<3x <,即
p 为真时实数x 的取值范围是1<3x <.若p q ∧为真，则p 真且q
真，所以实数x 的取值范围是23x <<………………………………………………...6分 (Ⅱ)q
是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ,
设
{}32<<=x x A ,
{}
a x a x B 3<<=,则
A
B ,
则0<2a ≤,且33a >所以实数a 的取值范围是12a <≤…………………………...12分
19．解：（1）由题意知直线AB 的方程是
)2(22p
x y -
=联立px y 22
=，消去y 得：
05422=+-p px x 所以：
4521p
x x =
+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，
所以p=4，故抛物线方程为：
x y 82=…………………………….…………………...6分 (2) 由p=4带入05422=+-p px x ，化简得0452
=+-x x ，从而,4,121==x x
24,2221=-=y y ,所以A(1,22-),B(4,24)………………………………….9分
设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→
y x OC =)2422,41(λλ+-+，又
32
38x y =， 即
()[]
=-2
1222λ8（41+λ），即
14)12(2
+=-λλ，解得2,0==λλ或………12分 20．解：（1）因为双曲线C 与双曲线1
242
2=-x y 共渐近线，所以可设C ：)0(2422≠=-λλx y 又C 过点)2,2(M ，带入C 得21-=λ，故C ：1
222=-y x ……………….…..6分
(2) 假设存在直线l ，并设),(11y x A 、),(22y x B 则
0))(())((221212121=-+--+∴y y y y x x x x ,又A 、B 的中点为点)1,1(P
2
2
12
1=--=
∴x x y y k l ，故直线)1(21:-=-x y l 即：12-=x y ……………………...10分
带入椭圆方程得：03422
=+-x x
由于02416<-=∆所以这样的直线不存在。

………………………………………..13分
21．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，
2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-= ∴椭圆的标准方程为22
1
43x y +=………..…4分
（2）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22
1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，
得
222
(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 222121=-y x
222
222=-y x
222222122
2122
6416(34)(3)03408344(3)
.34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧
⎪∆=-+->+->⎪
⎪
+=-⎨+⎪
⎪-⋅=⎪+⎩，即，则，………………8分 又
222
2
1212121223(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=
+， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，
，1AD BD k k ∴=-，
即12
121
22y y x x =---，
1212122()40y y x x x x ∴+-++=， 222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k --∴+++=+++，2271640m mk k ∴++=
解得：12m k =-，
227k
m =-
，且均满足22340k m +->，……………………….12分
当
12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾；
当
227k m =-
时，l 的方程为
27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫ ⎪⎝⎭，
所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝
⎭， …………………………………………….14分。