用数学公式理解股票投资

2013年8月14日星期三阴由平均数引发的自由无极限理财中常用的几个统计量包括：
算术平均数、几何平均数、数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数。

刚接触这几个概念的时候，觉得数学真复杂，一个接一个的公式，而且很长很难记也不容易理解，但是当听的多了，慢慢就理解了，而且发现了他们之间的逻辑。

这个逻辑并是不是数理上的逻辑，而是人的逻辑。

要说清楚这个逻辑，先来看一看这几个统计量在选股票这件事情上的应用：
（一）在选择买哪只股票之前，先要对这种股票进行分析，要看一下股东对于这支股票的平均持股数，以此来判断股票是分散的被众多的中小散户持有，还是集中地被少数大机构持有。

平均持股数越多，说明股票集中地被少数大机构所持有，反之则分散与众多的小散户持有。

这是选股时很基本的参考统计量。

（二）如果买了两只股票，市值分别为70万元和30万元，由于当天大盘飞涨，收盘时两只股票分别涨了
7.5%和
6.8%，我想看一看我的股票今天平均涨了多少，这时就要用到加权平均数。

因为两只股票在总账户中的重要性不同，因此，不能简单的将
7.5%和
6.8%相加求平均数，那怎么体现出两个股票各自的重要性呢，我们就要用到“权重”这个概念。

权重，就是在计算平均数等指标时，对各个变量具有权衡轻重作用的数值。

加权平均数=
7.5%×70/(70+30)+
6.8%×70/(70+30)=
7.29%当天，股票平均上涨了
7.29%。

（三）通过加权平均数可以看到一天时间里多支股票平均的涨跌幅度，如果我们想知道一段时间内（比如一个月内、一年内）股票的平均收益率，用上述算法就有一个缺陷，上面的两种平均数采用的都是单利原理（银行存款采用的就是单利计息，利息没有再生息）进行计算，这相当于假定了每一期的当期收益率不进行再投资。

如果各期的当期收益率要进行再投资，需要用的是复利原理（即通俗所说的“利滚利”，利息也生息，如高利贷），这就要用到几何平均数啦。

一支股票5年来的增长率分别为：
15%，32%，5%，3%，2%，其年平均增长率是多少呢？假设这支股票市值10万元第一年股票的价值：
10（1+15%）第二年股票增值的起点不是10万元，而是10（1+15%），因此，第二年股票的价值：
10（1+15%）（1+32%）第三年同上：
10（1+15%）（1+32%）（1+5%）第四年股票的价值：
10（1+15%）（1+32%）（1+5%）（1+3%）第五年股票的价值：
10（1+15%）（1+32%）（1+5%）（1+3%）（1+2%）上面是实际的每年不等的增长率，我们想知道这5年期间每年的平均增长率是多少，可以设年平均增长率是Χ。

10（1+Χ）=10（1+15%）（1+32%）（1+5%）（1+3%）（1+2%）Χ=
（1+15%）（1+32%）（1+5%）（1+3%）（1+2%）-1Χ=
10.86%这支股票每年平均增长率是
10.86%。

（四）判断一支股票值不值得投资，要分析其历史数据，也要预测其未来的收益，看看预测的收益率是否满足自己想要的收益率，再决定是否买进，这就要用到另一个概念“数学期望”。

在股票投资中也就是这支股票未来可以期待的平均收益率。

理财规划师预计某股票将来有10％收益率的概率是
0.35，有20％收益率的概率是
0.5，而出现-10％的收益率的概率是
0.15，那么这支股票收益率的数学期望是多少？10%×
0.35+20%×
0.5+（-10%）×
0.15=12%这支股票未来可以期待的平均收益率为12%。

【数学期望的由来】
早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做布莱士·帕斯卡，一个叫做费马。

帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。

他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。

赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。

那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。

正确的答案是：
赢了4局的拿这个钱的3/4,赢了3局的拿这个钱的1/
4。

为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。

若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即
A、B各赢4局，这个钱应该对半分。

现在，A赢、输的可能性都是1/2,所以，他拿的钱应该是
1/2×1+1/2×1/2=3/4,当然，B就应该得1/
4。

数学期望由此而来。

（五）上面看的仅仅是一只股票的期望，如果有两支股票，而且数学期望一样，也就是未来可以期待的平均收益率是相同的，那么我们怎么来选择投资哪一只呢？还有什么指标我们需要参考呢？说起投资，有句警语：
“股市有风险，如市需谨慎！”股票的风险和和收益是正相关的，风险越大，收益越大；风险越小，收益越小。

通过数学期望，我们可以预测股票未来可能的平均收益率，那么通过什么我们能知道股票的风险如何呢？——这里就需要用到一个新的统计量“方差”。

概率X股票Y股票（％）熊市
0.2-20%-10%正常
0.518%20%牛市
0.350%40%期望20%20%55X股票和Y股票的预期收益率是多少？X：
-20%×
0.2+18%×
0.5+50%×
0.3=20%Y：
-10%×
0.2+20%×
0.5+40%×
0.3=20%这两支股票未来可能的平均收益相同，如果让你只购买一支股票，你愿意持有哪一支股票呢？自然是风险小的那一支！风险就是一种不确定性。

我们来看一下如何用数值表示风险？股票的数学期望是未来平均的收益率，而实际的情况是股票的收益率在平均收益率上下波动，波动越大，说明风险越大；波动越小，说明风险越小。

实际收益率偏离平均收益率的值有正有负，如果进行求和运算则有时恰好相互抵消。

要测量实际收益率与平均收益率波动的幅度，就要解决上述问题。

比较方便的方法是选用各个偏差的平方和来描述实际收益率偏离平均收益率的大小。

根据上面的表格，计算X、Y两只股票的方差：
222（-20%-20%）×
0.2+（18%-20%）×
0.5+（50%-20%）×
0.3=
0.16×
0.2 +
0.0004×
0.5+
0.09×
0.3=
0.05922（-10%-20%）×
0.2+（20%-20%）×
0.5+（40%-20%）×
0.3=
0.09×
0.2+0+
0.04×
0.3=
0.03方差越小，说明股票的风险越小。

因此，在未来可以期待的平均收益率相同的情况下，Y股票的风险比X股票小，说明投资的价值更大。

理性的投资者会购买Y股票。

（六）方差衡量的是股票的风险，让我们可以在多支股票中进行比较，选择收益稳定、风险小的股票。

如果我想了解两支股票之间有没有联动关系（一荣俱荣、一损俱损；或者一个涨，另一个就跌），那还需要引入新的统计量——“协方差”。

如果想分散风险、稳定收益，我们可以采用投资组合的方式，也就是通俗所说的“不要把鸡蛋放在同一个篮子里！”在投资组合管理中，为了测量投资组合的风险，需要知道组合中股票X的价格如何影响股票Y的价格，也就是他们之间的联动关系。

协方差只能表示两支股票联动的方向：
如果股票X的价格通常随股票Y的价格一起升，协方差为正；如果股票X 的价格通常随股票Y的价格上升（下降），反而下降（上升），协方差就是负的；如果两支股票独立运动，互不影响，则协方差为
0。

如果要测量两支股票联动程度的大小，还要引入新的统计量——“相关系数”。

如果你能坚持看到这里，说明你的耐心惊人，哈哈！我把这些艰涩的数学统计量那么详细的说一遍，其实并不是想告诉你如何去投资，我是想让你发现人们在解决这样一个接一个，一个比一个深入的问题时所表现出来的耐心、创造力和对真知的求索与执着。

这也是为什么我在听到这个内容时感动的原因。

数学、统计本身是纯理性的学科，带不得半点感情。

我常常感觉数学像一个冷峻的王子，行事斩钉截铁、干净利落、黑白分明，但是他拒人于千里之外的同时却有散发出致命的诱惑力，昭示着生生不息，无穷无尽的张力。

这种张力，不仅仅是数学的张力，也是运用数学的人的张力。

在运用一个又一个统计量解决现实问题的过程中，我看到了一种不断挑战未知、不断突破、一直勇往直前的强劲生命力；也看了一山放过一山拦，超越一山又一山的执着和坚持。

遇到问题，遇到不完美、不严谨，那么就积极想办法，这种直面问题，寻找最佳解决途径的积极向上的正能量就蕴含在这几个统计量中。

《士兵突击》中，高城连长说：
“日子就是问题连着问题。

”对于生活中遇到的所有问题，要始终抱着勇敢面对的心态。

请相信，在那些阻碍、台阶之后，我们就能站在一个独特的高度上去欣赏一片读一无二的风景。

今天的领悟是：
世间万物都是相通的，看似风马牛不相及的事物之间，其实有着千丝万缕的联系。

只要一个契机、一个灵感，找到他们之间的连接点，就能发现天地万物和合统一的大规律。

这样的体验是一种忘我的融合、是一种皈依、是一种思想的自由无极限！。