【数学】江苏省2017-2018学年高二下学期期末复习备考之精准复习模拟题(理)(B卷01)(解析版)

江苏省2017-2018学年 高二下学期期末复习备考之 精准复习模拟题（理）（B 卷01）
一、填空题
1．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进
行检验，则应从丙种
型号的产品中抽取________ 件.
2．记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则
的
概率是______.
3．直线为双曲线的一条渐近线，则的值为
__________． 4．函数在上的最大值是_______. 5．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，
则直线的斜率为__________．
6．已知，为椭圆（）的左、右焦点，若椭圆上存在点
使（为半焦距）且为锐角，则椭圆离心率的取值范围是
__________．
7．函数（）的极小值是__________．
8．己知函数，若存在实数，使得，成立，则实数的取值范围是____________.
()2
6f x x x =+-D []4,5-x x D ∈30x y -=()2
2
210y x b b
-=>b ()1sin 2f x x x =
-,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
2
4y x =F A B 2FA BF =
AB 1F 2F 22
221x y a b
+=0a b >>P 2PF c =c 12F PF ∠()3cos2f x x x =+0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
()cos sin f x x x x =-[]0,2x π∈()f x t <t
9．已知关于的方程在区间上有解，则整数的值为
__________ .
10．已知双曲线与有公共渐近线，且一个焦点为，则双曲线的标准方程为______．
11．已知椭圆的左焦点为，下顶点为．若平行于且在轴上截距为的直线与圆相切，则该椭圆的离心率为
______．
12．已知一组数据，8，7，9，7，若这组数据的平均数为8，则它们的方差为______．
13．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________.
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 (a ＞b ＞0) 的左、右焦点分
别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的
另一个交点为C ．若，则该椭圆的离心率为______． 二、解答题
15．如图，圆锥OO 1
的体积为π．设它的底面半径为x ，侧面积为S ． （1）试写出S 关于x 的函数关系式；
（2）当圆锥底面半径x 为多少时，圆锥的侧面积最小？
x ()224x
x x e x ++-=[],1t t +t C 22
153
x y -=()4,0C
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>F A AF
y 32-()2
2
31x y +-=S 22
221x y a b
+=222AF F C =
6
16．已知命题，命题点在圆
的内部．
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．
17．某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况．通过随机抽样，电力公司获得了50户居民的月平均用电量，分为六组制出频率分布表和频率分布直方图（如图所示）．
2:,0p x R x x m ∀∈+-≥:q ()1,2A -()
()2
2
1x m y m -++=p m p q
m
（1）求a ，b 的值；
（2）为了解用电量较大的用户用电情况，在第5、6两组用分层抽样的方法选取5户．
①求第5、6两组各取多少户？
②若再从这5户中随机选出2户进行入户了解用电情况，求这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率．
18．已知函数，，（其中是自然对数的底数）．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的
值；
（2）记函数，其中，若函数在内存在两个极值点，求实数的取值范围；
（3）若对任意，，且，均有成立，求实数的取值范围．
()2f x x ax a =--a R ∈()x g x e =e ()y f x =()()1,1f 1
2
y x =-a ()()()F x f x g x =⋅0a >()F x ()3,3-a 1x []20,3x ∈12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-a
19．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上. （1）求圆的方程；
（2）圆上有两点、关于直线：对称，求过点与直线平行的直线被圆截得的弦长．
20．某公司引进一条价值30万元的产品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低万元与技术改造投入万元之间满足：①与和的乘积成正
比；②当时，，并且技术改造投入比率，为常
数且．
（1）求的解析式及其定义域； （2）求的最大值及相应的值．
xOy 223y x x =--C C C P Q l 20x my +-=()2,3l 'l C y x y ()30x -2
x 15x =27000y =()
(]0,230x
t x ∈-t (]0,2t ∈()y f x =y x
参考答案
一、填空题
1．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进
行检验，则应从丙种
型号的产品中抽取________ 件. 【答案】18
【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．
300
60181000
⨯
=
2．记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则
的概率是______. 【答案】
点睛:（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．
（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
3
．直线为双曲线的一条渐近线，则的值为
__________． 【答案】
【解析】由双曲线方程可得双曲线的渐近线满足：，
整理可得：，即：， 则双曲线的一条渐近线为：， 结合题意可得：. 4．函数在上的最大值是_______. 【答案】 ()2
6f x x x =+-D []4,5-x x D ∈5
9
30x y -=()2
2
210y x b b
-=>b 32
2
20y x b
-=y bx =±0bx y ±=0bx y -=3b =()1sin 2f x x x =
-,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
36
2
π
-
+
5．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，
则直线的斜率为__________． 【答案】
【解析】∵抛物线 C ：y 2=4x 焦点F （1，0），准线x=﹣1，则直线AB 的方程为y=k （x ﹣1）， 联立方程可得k 2x 2﹣2（2+k 2）x+k 2=0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=
，x 1
•x 2
=1，y 1
+y 2
=k （x 1
+x 2
﹣2）
=①， ∴=（1﹣x 1，﹣y 1），=（x 2﹣1，y 2） ∵即 ①②联立可得，x 2=，y 2=﹣，
代入抛物线方程y 2=4x 可得k 2=8， ∵k=。

故答案为：。

2
4y x =F A B 2FA BF =
AB 22±()
2
1{
4y k x y x
=-=(
)2
2
22k k +4
k FA BF
2FA BF = ()12121212
32121{
{ 22x x x x y y y y =--=-⇒=-=-224
k k
-4k 22±22±
6．已知，为椭圆（）的左、右焦点，若椭圆上存在点
使（为半焦距）且为锐角，则椭圆离心率的取值范围是
__________．
【答案】
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质．求解椭圆的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,求椭圆离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
7．函数（）的极小值是__________．
【答案】
【解析】对函数求导得到 当函数单调减，当函数增，故此时函数的极小值为。

1F 2F 22
221x y a b
+=0a b >>P 2PF c =c 12F PF ∠1,312⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
,,a b c ,a c e ,,a b c b ,a c a 2
a e ()3cos2f x x x =+0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭1323
π
-+()332sin20sin223
f x x x x π
=-=⇒=
⇒=',63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,32x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
31332f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
故答案为：.
8．己知函数，若存在实数，使得，成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】
【解析】，当时，，故在为减函数；当，，故在为增函数，所以在上，
，因为在有解，故，所以实数的取值范围，填.
9．已知关于的方程在区间上有解，则整数的值为
__________ . 【答案】或
【解析】令，，当时，
恒成立且也恒成立，故的图像始终在轴上方且函数为上的增函数，其图像如下：
因，故两个函数图像有两个不同的交点，其中一个交点的横坐标在内，另一交点的横坐标在内，因， 故，故一个交点的横坐标在
1323
π
-+()cos sin f x x x x =-[]0,2x π∈()f x t <t ()π,+-∞()'sin f x x x =-()0,x π∈()'0f x <()f x ()0,π(),2x ππ∈()'0f x >()f x (),2ππ[]0,2π()()min f x f ππ==-()f x t <[]0,2π()min t f x π>=-(),π-+∞(),π-+∞x ()224x
x x e x ++-=[],1t t +t 4-0()()()22,4x f x x x e g x x =++=+()()2'33x f x x x e =++x R ∈()0f x >()'0f x >()f x x ()f x
R ()()0204f g =<=()4,0-()0,+∞()()3
8
3,31f g e -=-=()()33f g -<-
内，
此时，又，，，，故另一个交点的横坐标在内，此时，故填或. 点睛：对方程的根的估计，可以转化为两个函数图像的交点去判断，必要时需借助导数去刻画函数的图像.
10．已知双曲线与有公共渐近线，且一个焦点为，则双曲线的标准方程为______．
【答案】 【解析】设双曲线：,则 11．已知椭圆的左焦点为，下顶点为．若平行于且在轴上截距为的直线与圆相切，则该椭圆的离心率为
______． 【答案】
【解析】设
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于
的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关
于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12．已知一组数据，8，7，9，7，若这组数据的平均数为8，则它们的方差为______． 【答案】
()4,3--4t =-()()14,15f e g ==()()11f g >()()02,04f g ==()()00f g <()0,10t =4-0()()0f x g x -=()(),y f x y g x ==C 22
153
x y -=()4,0C
22
1106
x y -
=C 2253x y t -
=222
534,21106
x y t t t +==∴-=22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>F A AF
y 32-()2
2
31x y +-=22
222:32(0)11,1,21b b l y kx k k e c c k
-=+-=
<∴=∴=-==+,,a b c ,,a b c b ,a c ,,a b c
【解析】因为平均数为，所以方差为
13．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________.
【答案】10
【解析】执行循环得结束循环，输出
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 (a ＞b ＞0) 的左、右焦点分
别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的
另一个交点为C ．若，则该椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】
由题意, ，
∵,∴,.
S =2,3;=5,5;=10,5;S i S i S i ====10S 22
221x y a b
+=222AF F C =
5
5
2,b A c a ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭222AF F C = 2
2C b y a
=2C x c =
∴代入椭圆 (a >b >0)，
得,即解得.
故答案为：. 二、解答题
15．如图，圆锥OO 1
的体积为π．设它的底面半径为x ，侧面积为S ． （1）试写出S 关于x 的函数关系式；
（2）当圆锥底面半径x 为多少时，圆锥的侧面积最小？
【答案】(1) (2) 当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小．
【解析】试题分析：（1）设圆锥OO 1的高为h ，母线长为l ，根据体积为π
得π，解得h ，进而得l ＝，从而得； （2）令f (x )＝，求导，利用函数的单调性求最值即可. 22,,2b C c a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭22
221x y a b +=22
22414c b a a
+=225c a =55e =5
5
64
254
(0)S x x x
π=+
>362163x h π=22
x h +4254(0)S x x x
π=+>42
54
x x +
（2）令f (x )＝x 4＋，则f ′(x )＝4x 3－，(x ＞0)．
由f ′(x )＝0，解得x ＝．
当0＜x ＜时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(0，
)上单调递减；
当x ＞
时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在区间(，＋∞)上单调递增．
所以当x ＝时，f (x )取得极小值也是最小值．
答：当圆锥底面半径为
时，圆锥的侧面积最小．
16．已知命题，命题点在圆
的内部．
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）先根据二次不等式恒成立得,解得命题为真时的取值范围（2）根据点在圆内得命题为真时的取值范围,由“”为假命题，得为假命题，为假命题．根据补集得命题为假时的取值范围,最后根据交集得实数的取值范围．
2:,0p x R x x m ∀∈+-≥:q ()1,2A -()
()2
2
1x m y m -++=p m p q m 1,4⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦][1,12,4⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
0∆≤p m q m p q 或p q ,p q m m
（2）因为“”为假命题，所以为假命题，为假命题． 当为真命题时，，解得， 所以为假命题时 由（1）知，为假命题时 从而，解得
所以实数的取值范围为
17．某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况．通过随机抽样，电力公司获得了50户居民的月平均用电量，分为六组制出频率分布表和频率分布直方图（如图所示）．
p q 或p q q ()()2
2
121m m -+-+<12m <<q 12m m ≤≥或p 14
m >-
1
{ 421
m m m >-
≥≤或1
124
m m -<≤≥或m ]1
(,1[2,) 4
-⋃
+∞
（1）求a ，b 的值；
（2）为了解用电量较大的用户用电情况，在第5、6两组用分层抽样的方法选取5户．
①求第5、6两组各取多少户？
②若再从这5户中随机选出2户进行入户了解用电情况，求这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率． 【答案】(1) (2) ①3,2②
（2）①因为第5、6两组的频数比为，
所以在第5、6两组用分层抽样的方法选取的5户中， 第5、6两组的频数分别为3和2．
6,0.12a b ==7
10
3:2
答：这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率为． 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
18．已知函数，，（其中是自然对数的底数）．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的
值；
（2）记函数，其中，若函数在内存在两个极值点，求实数的取值范围；
（3）若对任意，，且，均有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）．
【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）先求导数
710
()2f x x ax a =--a R ∈()x g x e =e ()y f x =()()1,1f 1
2
y x =-a ()()()F x f x g x =⋅0a >()F x ()3,3-a 1x []20,3x ∈12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-a 0a =03a <<[]2ln22,1-()12f '=a
，再根据存在两个极值点条件可得实数的取值范围；（3）设，先根据函数单调性去掉绝对值
，再移项构造函数：，，最后根据导数研究新函数单调性，由单调性转化不等式恒成立条件，解得实数的取值范围．
试题解析：（1）因为，所以，
因为在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（3）因为函数在上单调递增，所以，
所以对任意的，，且恒成立，等价于
对任意的，，且恒成立，等价
于
对任意的，，且恒成立， 即对任意，，且恒成立，
()()()'2x F x x a x e =-+a 12x x >()()()()()()211212g x g x f x f x g x g x -<-<-()()f x g x +()()f x g x -a ()'2f x x a =-()'12f a =-()y f x =()()1,1f 1
2
y x =-22a -=0a
=()g x []0,3()()120g x g x ->()()()()1212f x f x g x g x -<-1x []20,3x ∈12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-1x []20,3x ∈12x x >()()()()()()211212g x g x f x f x g x g x -<-<-1x []20,3x ∈12x x >()()()()()()()()11221122,{
,
f x
g x f x g x f x g x f x g x +>+-<-1x []20,3x ∈12x x >
所以在上是单调递增函数，
在上是单调递减函数， 由在上恒成立，
得在恒成立，即在恒成立， 而在上为单调递增函数，且在上取得最小值1，
所以，
由在上恒成立，
得在上恒成立，即在上恒成立，
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
19．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上. （1）求圆的方程；
（2）圆上有两点、关于直线：对称，求过点与直线平行的直线被圆截得的弦长．
【答案】（1）（2
）．
()()f x g x +[]0,3()()f x g x -[]0,3()()''0f x g x +≥[]0,3()20x x a e -+≥[]0,32x
a e x ≤+[]0,32x
e x +[]0,3[]0,31a ≤()()''0
f x
g x -≤[]0,3()20x x a e --≤[]0,32x
a x e ≥-[]0,3xOy 223y x x =--C C C P Q l 20x my +-=()2,3l 'l C 222230x y x y +-+-=2
【解析】试题分析：（1）先求曲线交点，再代入圆一般方程解得D,E,F （2）由题意得直线过圆心，解得m ，再根据点斜式得直线方程，最后根据垂径定理求弦长
又圆心到直线的距离为
， 所以直线被圆截得的弦长为．
点睛：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
(2)圆的切线问题的处理要抓住
圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
20．某公司引进一条价值30万元的产品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低万元与技术改造投入万元之间满足：①与和的乘积成正
比；②当时，，并且技术改造投入比率，为常
数且．
l C 'l C 'l ()()
2
211132
2
11d --+=
=
+-'l C 2
322522⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭()
2
22
121212114AB k x x k x x x x =+-=++-y x y ()30x -2
x 15x =27000y =()
(]0,230x
t x ∈-t (]0,2t ∈
（1）求的解析式及其定义域；
（2）求的最大值及相应的值．
【答案】（1），定义域是（2）见解析 【解析】试题分析：（1）先求比例系数，再比率范围得定义域（2）先求导数，再求定义区间上导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最大值
试题解析：（1）设，
当时，，即，解得，
所以，
因为，所以函数的定义域是．
当，即，； 当，即时，， 综上可得，当时，的最大值为，的值为20；
当时，的最大值为
，的值为． ()y f x =y x ()()2830f x x x =⨯-600,21t t ⎛⎤ ⎥+⎝⎦
()()230y f x k x x ==-15x =27000y =2270001515k =⨯⨯8k =()()2830f x x x =⨯-()0230x t x <≤-600,21t t ⎛⎤ ⎥+⎝
⎦
602021
t t ≥+12t ≤≤()max 2032000y f ==602021t t <+01t <<()
2min 3608640002121t t y f t t ⎛⎫== ⎪+⎝⎭+12t ≤≤y 32000x 01t <<y ()2386400021t t +x 6021
t t +。