导体棒在磁场中的运动问题

导体棒在磁场中的运动问题
近十年的高考物理试卷和理科综合试卷中，电磁学的导体棒问题复现率很高，且多为分值较大的计算题。

为何导体棒问题频繁复现，原因是:导体棒问题是高中物理电磁学中常用的最典型的模型，常涉及力学和热学问题，可综合多个物理高考知识点，其特点是综合性强、类型繁多、物理过程复杂，有利于考查学生综合运用所学的知识，从多层面、多角度、全方位分析问题和解决问题的能力;导体棒问题是高考中的重点、难点、热点、焦点问题。

导体棒问题在磁场中大致可分为两类:一类是通电导体棒，使之平衡或运动;其二是导体棒运动切割磁感线生电。

运动模型可分为单导体棒和双导体棒。

（一）通电导体棒问题
通电导体棒题型，一般为平衡型和运动型，对于通电导体棒平衡型，要求考生用所学的平衡条件(包含合外力为零0
F
=∑,合力矩为零0
M
=∑)
来解答，而对于通电导体棒的运动型，则要求考生用所学的牛顿运动定律、动量定理以及能量守恒定律结合在一起，加以分析、讨论，从而作出准确的解答。

【例8】如图3-9-8所示，相距为d 的倾角为α的光滑平行导轨（电源的电动势E 和内阻r ，电阻R 均为己知）处于竖直向上磁感应强度为B 的匀强磁场中，一质量为m 的导体棒恰能处于平衡状态，则该磁场B 的大小为 ;当
B 由竖直向上逐渐变成水平向左的过程中，为保持导体棒始终静止不动，则B 的大小应是 ，上述过程中，B 的最小值是 。

【解析】此题主要用来考查考生对物体平衡条件的理解情况，同时考查考生是否能利用矢量封闭三角形或三角函数求其极值的能力.将图3-9-8首先改画为从右向左看的侧
面图，如图3-9-9所示，分析
导体棒受力，并建立直角坐标系进行正交分解，也可采用共点力的合成法来做.根据题意0F =∑，即
0,
0x
y
F
F
==∑∑，即：
sin 0x B F F N α=-= ① c o s 0y F F m g α=-= ②
由①②得：
t a n B
F mg
α=
③ 由安培力公式：B F BId = ④
由闭合电路欧姆定律E
I R r
=
+⑤ 联立③④⑤并整理可得：()tan mg R r B Ed
α
+=
(2)借助于矢量封闭三角形来讨论，如图3-9-10所示在磁场由竖直向上逐渐变成水平的过程中，安培力由水平向右变成竖直向上，在此过程中，由图3-9-10看出B F 先减小后增大，最终0,B N F mg ==，因而磁感应强度B 也应先减小后增大.
(3)由图3-9-10可知，当B F 方向垂直于N 的方向时B F 最小，其B 最小，故：sin B F mg
α= ⑥
而：B F BId = ⑦ E
I R r
=
+ ⑧ 联立⑥⑦⑧可得：sin E
mg B
d R r
α=+， 即min ()sin mg R r B Bd
α
+=
【答案】()tan mg R r Ed
α
+,先减小后增大
()sin mg R r Bd
α
+
点评:该题将物体的平衡条件作为重点，让考生将公式和图象有机地结合在一起，以达到简单快速解题的目的，其方法是值得提倡和借鉴的。

（二）棒生电类
棒生电类型是电磁感应中最典型的模型，生电方式分为平动切割和转动切割，其模型可分为单导棒和双导棒。

要从静态到动态、动态到终态加以分析讨论，其中分析动态是关键。

对于动态分析，可从以下过程考虑:闭合电路中的磁通量发生变化→导体棒产生感应电流→导体棒受安培力和其他力作用→导体加速度变化→速度变化→感应电流变化→周而复始地循环最后加速度减小至零→速度达到最大→导体做匀速直线运动.我们知道，电磁感应现象的实质是不同形式能量的转化过程，因此，由功能观点切入，分清楚电磁感应过程中能量的转化关系，往往是我们解决电磁感应问题的关键，当然也是我们处理这类题型的有效途径. 1.单导棒问题 【例9】如图3-9-11所示，一对平行光滑轨道
放置在水平面上，
图
3-9-10 图 3-9-11
图 3-9-12
图
3-9-8 图
3-9-9
两轨道间距0.20L m =，电阻 1.0R =Ω,有一导体棒静止地放在轨道上，与两轨道垂直，棒及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感应强度0.50B T =的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下.现用一外力F 沿轨道方向拉棒，使之作匀加速运动，测得力F 与时间t 的关系如图3-9-12所示。

求棒的质量m 和加速度a .
【解析】此题主要用来考查学生对基本公式掌握的情况，是否能熟练将力电关系式综合在一起，再根据图象得出其加速度a 和棒的质量m 的值。

从图中找出有用的隐含条件是解答本题的关键。

解法一:导棒在轨道上做匀加速直线运动，用v 表示其速度,t 表示时间，则有v at =① 导体棒切割磁感线，产生感应电动势：E BLv = ② 闭合电路中产生感应电流：E
I R
=
③ 杆所受安培力：B F BId = ④
再由牛顿第二定律得：B F F ma -= ⑤
联立①～⑤式得：22
B L F ma at R
=+ ⑥ 在图线上取两点代入⑥式，可得： 210/,0.1a m s m kg ==.
解法二:从F t -图线可建立方程0.11F t =+，①
导体棒受拉力F 和安培力B F 作用，做匀加速直线运动，其加速度恒定。

其合力不随时间t 变化，并考
虑初始状态0B F =，因而B F 的大小为0.1F t = ②
再由牛顿第二定律: B F F ma -= ③
联立①②③可得：1ma = ④
又因为： B F BId = ⑤
而： E
I R
= ⑥ E BLv = ⑦ 联立⑤⑥⑦式得：22B B L v F R
= ⑧
而v at =，故22B B L at
F R = ⑨
由②⑨得：22222
0.10.1 1.0
10/(0.50)(0.20)R a m s B L ⨯===⨯ ⑩ 再由④与⑩式得：1
0.1m kg a
=
= 【答案】0.1m kg = 210/a m s =
点评:解法一采用了物理思维方法，即用力学的观点，再结合其F t -图象将其所求答案一一解出。

解法二则采用了数学思维方法，先从F t -图象中建立起相应的直线方程，再根据力学等知识一一求得，此解法不落窠臼，有一定的创新精神。

此题不愧为电磁学中的经典习题，给人太多的启发，的确是一道选拔优秀人才的好题。

【例10】如图3-9-13所示，两根竖直
放置在绝缘地面上的金属框架上端接有一电容量为C 的电容器，框架上有一质量为m ，长为L 的金属棒，平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦，棒离地面的高度为h ，磁感应强度为B 的匀强磁场与框架平面垂直，开始时电容器不带电，将棒由静止释放，问棒落地时的速度多大?落地时间多长? 【解析】此题主要用来考查考生对匀变速直线运动的理解，这种将电容和导棒有机地综合在一起，使之成为一种新的题型。

从另一个侧面来寻找电流的关系式，更有一种突破常规思维的创新，因而此题很具有代表性.金属棒在重力作用下下落，下落的同时产生了感应电动势。

由于电容器的存在，在金属棒上产生充电电流，金属棒将受安培力的作用，因此，金属棒在重力和安培力B F 的合力作用下向下运动，由牛顿第二定律得：B mg F ma -= ① B F BiL = ②
由于棒做加速运动，故B v a E F 、、、均为同一时刻的瞬时值，与此对应电容器上瞬时电量为Q CE =，而E B L v =，设在时间t ∆内，棒上电动势的变化量为E ∆，电容器上电量的增加量为Q ∆, 显然:E BL v ∆=∆ ③ Q C E ∆=∆ ④
再根据电流和加速度的定义式,Q v i a t t
∆∆==∆∆ ⑤ 联立①～⑤式得:22mg
a m B L C
=+ ⑥
由⑥式可知，a 与运动时间无关，且是一个恒量，
故金属棒做初速度为零的匀加速直线运动，其落地
速度为v
，则：v ⑦
将⑥式代入⑦式得：v =⑧ 落
地
时间可由212
h at =
得
：
t =
=
点评:本题应用了微元法求出Q ∆与v ∆的关系，又利用电流和加速度的定义式，使电流i 和加速度a 有机地整合在一起来求解，给人一种耳目一新的感觉，读后使人颇受启示.
【例11】如图3-9-14所示，倾角为030θ=，宽度
为1L m =的足够长的U 型平行光滑金属导轨固定在磁感应强度1B T =，范围充分大的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面斜向上，现用平行导轨，功率恒为6W 的牵引力F ，牵引一根质量0.2m kg =，电阻1R =Ω
，
图
3-9-14
放在导轨上的导棒ab ，由静止沿导轨向上移动(ab 棒始终与导轨接触良好且垂直)。

当金属导棒移动2.8S m =时，获得稳定速度，在此过程中金属导棒产生的热量为 5.8Q J =,(不计导轨电阻及一切摩擦，取210/g m s =)。

问:
(1)导棒达到稳定速度是多大?
(2)导棒从静止达到稳定速度所需时间是多少? 【解析】此题主要考查考生是否能熟练运用力的平衡条件和能量守恒定律来巧解此题。

当金属导棒匀速沿斜面上升有稳定速度v 时，金属体棒受力如图3-9-15所示，由力的平衡条件则有： sin 0B F F mg θ--= ①
B F BIL = ②E I R =
③ E BLv = ④ P
F v
= ⑤
由①～⑤可得：22sin 0P B L v
mg v R
θ--=
整理得：222sin 0PR mgvR B L v θ--=
代入有关数据得：260v v --=
解得：2/,3/v m s v m s ==-(舍去)。

（2）由能量守恒得：21
sin 2
Pt mg S mv Q θ=⨯++,
代入数据可得： 1.5t s =
【答案】2/v m s = 1.5t s =
点评:此题较一般电磁感应类型题更能体现能量转化和守恒过程，因此，在分析和研究电磁感应中的导体棒问题时，从能量观点去着手求解，往往更能触及该问题的本质，当然也是处理此类问题的关键. 2.双导体棒问题
在电磁感应现象中，除了单导体棒问题外，还存在较多的双导体棒问题，这类问题的显著特征是:两导棒在切割磁感线时，相当于电池的串联或并联，组成闭合回路，而且，求解此类型问题的最佳途径往往从能量守恒、动量守恒的角度出发，用发展、变化的眼光，多角度、全方位地发散思维，寻求相关物理量和公式，挖掘隐含条件，采用“隔离法”或“整体法”(系统法)快捷作出解答。

因此，双导体棒问题更能反映考生的分析问题和解决问题的能力，特别是方法、技巧、思路均反映在解题中，是甄别考生层次、拉大差距的优秀试题.
【例12】如图3-9-16所示，两金属导棒ab 和cd 长均为L ，电阻均为R ,质
量分别为M 和m ，(M >m )。

用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回
路，并悬挂于水平、光滑、不导电的圆棒两侧，两金属导体棒都处于水平位置，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B ,若金属导体棒ab 正好匀速向下运动，求运动的速度. 【解析】此题主要用来考查考生对力学中的受力分析、力的平衡、电磁感应、欧姆定律和安培力公式的掌握,此题也可用多种方法去解答.
解法一:采用隔离法，假设磁场B 的方向是垂直纸面向里，ab 棒向下匀速运动的速度为v ，则ab 棒切割磁感线产生的感应电动势大小：1E BLv =，方向由a →b ，
cd 棒以速度v 向上切割磁感线运动产生感应电动势，其大小为：2E BLv =，方向由d →c .回路中的电流方向由a →b →d →c ，大小为:
12222E E BLv BLv
I R R R
+=
== ① ab 棒受到的安培力向上，cd 棒受到安培力向下，
大小均为：22B B L v
F BIL R
== ②
当ab 棒匀速下滑时，设棒受到的导线拉力为T ，则对ab 棒有：B T F mg += ③ 对cd 棒有: B T F mg =+ ④ 由③④解得：2()B F M m g =- ⑤
再由②⑤可得：222()B L v
M m g R
=-
故22
()2M m gR v B L -=.
解法二:采用整体法，把ab 、cd 柔软导线视为一个整体，因为M m >,整体动力为()M m g -，ab 棒向
下，cd 棒向上，整体所受安培力与整体动力相等时正好做匀速向下运动，则有：22()2B L v M m g R
-=,
所以得：22
()2M m gR
v B L -=
解法三:采用能量守恒法，将整个回路视为一个整体系统，因其速度大小不变，故动能不变。

ab 棒向下，cd 棒在向上运动的过程中，因Mg mg >，系统的重力势能减少，将转化为回路的电能，由能量守
恒定律得: 20
2E Mgv mgv R
-= ①
02E E = ② E BLv = ③
联立①②③可得: 22
()2M m gR
v B L -=
【答案】22
()2M m gR
v B L -=
点评:此题为典型的双导体棒在磁场中运动的问题。

并且两根棒都切割磁感线产生感应电动势，对整个
回路而言，相当于电池组的串联，整个回路中有电流流过，两棒都受安培力，在末达到稳定速度前，两棒均做变加速运动，当加速度减为零时，速度为
图 3-9-16
最大。

从以上三种解法来看，解法三更显简便，思维灵活.
【例13】如图3-9-17所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间距为L 导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路。

两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计。

在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感
应强度为B ，这两根导体棒可沿
导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度0v ，若两导体棒在运动中始终不接触，求:
(1)在运动中产生的焦耳热最多是多少?
(2)当ab 棒的速度变为初速度的3
4时，cd 棒的加速
度是多少?
【解析】此题主要用来考查考生对双导体棒运动的动态分析和终态推理以及两个守恒定律的熟练掌握情况。

此题是一道层次较高的典型水平面双导体棒试题。

ab 棒向cd 棒运动时，ab 棒产生感应电动势，由于通过导轨和cd 棒组成回路，于是回路中便产生感应电流，ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，而cd 棒则在安培力作用下作加速运动。

在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路中总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速，两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，即不产生感应电流，两棒以相同的速度v 作匀速直线运动.
(1)从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒组成的系统动量守恒，则有：02mv mv = ①
再根据能量守恒有：2
20
11(2)22mv m v Q =+ ② 联立①②两式得:2
014
Q mv =
(2)设ab 棒的速度变为初速的3
4
时，cd 棒的速度为
'v ，
则再次由动量守恒定律可知：003
'4
mv m v mv =+③
此时回路中的感应电动势和感应电流分别是:
03(')4E BL v v =- ④ 2E
I R
= ⑤
此时cd 棒所受安培力: B F BIL = ⑥
cd 棒的加速度:B
F a m =
⑦ 联立③～⑦得：220
4B L v a mR
=.
【答案】（1）2
014Q mv = （2）2204B L v a mR =
点评:此题将分析双棒的初态、过渡态、终态以及整个过程的运动情况，各个物理量的变化情况和动量守恒、能量守恒仍然联系在一起，确实达到了命题人综合考查考生分析问题能力和解决问题能力的目的。

充分体现了命题专家以综合见能力的命题意图，即“着眼综合，立足基础，突出能力”.此题的确是一道经典考题。

通过对以上例题的分类处理、解析，从中发现，电磁学中的导体棒问题内涵的确丰富、灵活、新颖，涉及面广，易于拓展和延伸，的确不愧为电磁学中的精华部分。

【活学巧练】
1.两根相距为L 的足够长的金属直角导轨如图3-9-18所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面，
质量均为m 的金属细杆ab 、
cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，
杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R ，整个装置处于磁感应强度大小为B .方向竖直向上的匀强磁场中，当ab 杆在平行于水平导轨的拉力F 作用下以速度1v 沿导轨匀速运动时，cd 杆也正好以速度2v 向下匀速运动.重力加速度为g ,以下说法正确的是 ( )
A.ab 杆所受拉力F 的大小为221
2B L v mg R
μ+
B.cd 杆所受摩擦力为零
C.回路中的电流为
12()
2BL v v R
+ D.μ与1v 大小的关系为221
2Rmg
B L v μ=
2.如图3-9-19所示，矩形裸导线框长边的长度为
2l ，
，短边的长度为l ，在两个短边上均接有电阻R ，其余部分电阻不计，导线框一长边与x 轴重合，左边的坐标0x =，线框内有一垂直于线框平面的磁场，磁场的磁感应强度满足关系
0sin()2x
B B l
π=，一光滑导体棒AB 与短边平行且与
长边接触良好，电阻也是R .开始时导体棒处于0x =处，从0t =时刻起，导体棒AB 在沿x 方向的F 作用下做速度为v 的匀速运动，求:导体棒AB 从0x =运动到2x l =的过程中F 随时间t 变化的规律.
3.如图3-9-20所示，在水平面上有两条平行导电导轨MN 、PQ ，导轨间距离为l ，匀强磁场垂直于导轨所在的平面(纸面)
向里，
图
3-9-18 图 3-9-20
图
3-9-19 图
3-9-17
磁感应强度的大小为B ,两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为12m m 、和12R R 、，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数均为μ,己知杆1被外力拖动，以恒定的速度
0v 沿导轨运动;达到稳定状态时，
杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率.
4..一个边长为L 、质量为m 、电阻为R 的金属丝方框，竖直放置，以初速度0v 水平抛出，框在重力场中运动，并且总是位于垂直于框面(即水平方向的磁场中，如图3-9-21所
示，己知磁感应强度的大小随方框
下降高度y 的变化规律是0B B ky =+，式中k 为恒定系数，同一水平面上磁感应强度相同，设重力加速度为g .
(1)试分析方框水平方向和竖直方向的运动情况; (2)试确定方框的最终运动状态. 5. 如图3-9-22所示，竖直平面内有一半径为r 、内阻为1R 、粗细均匀的光滑半圆形金属球，在M 、N 处与相距为2r 、电阻不计的平行光滑金属轨道ME 、NF 相接，EF 之间接有电阻2R ，已知112R R =，24R R =,在MN 上方及CD 下方有水平方向的匀强磁场I 和II ，磁感
应强度大小均为B 。

现有质量为
m 、电阻不计的导体棒ab ，从半圆环的最高点A 处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，平行轨道足够长。

已知导体棒ab 下落/2r 时的速度大小为1v ，下落到MN 处的速度大小为2v 。

（1）求导体棒ab 从A 下落/2r 时的加速度大小。

（2）若导体棒ab 进入磁场II 后棒中电流大小始终不变，求磁场I 和II 之间的距离h 和2R 上的电功率2P . （3）若将磁场II 的CD 边界略微下移，导体棒ab 刚进入磁场II 时速度大小为3v ，要使其在外力F 作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a ，求所加外力F 随时间变化的关系式。

【参考答案】
1.【解析】cd 杆的速度方向与磁场方向平行，只有
ab 杆运动时使回路内的磁通量发生变化，
根据法拉第电磁感应定律。

回路中的电动势：1E BLv = ① 根据闭合电路的欧姆定律：2E
I R
=
② ab 杆所受安培力: B F BIL = ③
ab 杆匀速运动有：1B F F f =+ ④
又1f mg μ= ⑤
由①～⑤得：221
2B L v F mg R μ=+
回路中的电流: 1
2BLv I R
= ⑥
cd 杆匀速运动: 2f mg = ⑦ 又: 221
22B B L v f F R μμ== ⑧
由⑦⑧得：221
2Rmg
B L v μ=，所以，A 、D 正确
【答案】A D
2【解析】由于磁感应强度随空间坐标变化，导体棒虽做匀速运动，其电动势仍是变化的，t 时刻AB 棒的坐标为x vt = ①
感应电动势：0sin()2x
E Blv B lv l
π== ②
回路总电阻为1 1.52
R R R R =+=总 ③ 回路感应电流:E
I R =
总
④ 棒做匀速运动，F F BIl ==安 ⑤ 联立①～⑤解得：22202sin (
)
22(0)3x
B l v l l
F t R
v
π=
≤≤ 【答案】22202sin (
)
22(0)3x
B l v l l
F t R
v
π=
≤≤
3.【解析】设杆2的运动速度为v ，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势0()E Bl v v =- 感应电流
E
I R R =
+12 杆2做匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，即2BIl m g μ=
故导体杆2克服摩擦力做功的功率2P m gv μ=，
解得：2201222[()]m g
P m g v R R B l μμ=-+
【答案】2201222[()]m g
P m g v R R B l
μμ=-+
4.【解析】（1）方框水平方向的合力为零，做初速度为0v 的匀速直线运动；竖直方向受重力和安培力作用，由于安培力是逐渐增大，故竖直方向上做初速度为零，加速度逐渐减小的加速运动.
（2）最终当竖直方向上加速度为零时，方框运动达到稳定状态，此时有：21B IL B IL mg =+ ① 回路中的电动势为：21E B Lv B Lv ⊥⊥=- ②
回路电流为：E
I R
=
③ 由已知条件得:2121B B ky ky kL -=-= ④
联立①～④得方框在竖直方向上的最大速度为：24
mgR
v k L ⊥=
⑤ 图 3-9-21 图
3-9-22
所以方框最终做匀速直线运动，其速度大小为：
v =速度方向与水平方向（x 轴正方向）的夹角为：
240arctan()mgR
v k L
α=
【答案】（1）水平方向上匀速直线运动；竖直方向上做初速度为零，加速度逐渐减小的加速运动.
（2
）最终做匀速直线运动v =5.【解析】（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I 中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒
ab 从A 下落/2r 时，
导体棒在策略与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得：mg BIL ma -=，式
中L =，1
Blv I R =
总
式中
8444844
R R R
R R R R R ⨯=+总（＋）＝
（＋）
由以上各式可得到221
34B r v a g mR
=-
（2）当导体棒ab 通过磁场II 时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即:
222422t t
B r v B r v mg BI r B r R R ⨯⨯=⨯=⨯⨯=并并 式中1243124R R
R R R R
⨯并＝
＝＋，解得2222344t mgR mgR v B r B r =
=并 导体棒从MN 到CD 做加速度为g 的匀加速直线运
动，有：222
2t
v v gh -=，得： 2
222
449232v m gr h g
B r =-
此时导体棒重力的功率为：2222
34G t m g R
P mgv B r ==
根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即:
221222
34G m g R
P P
P P B r =+==电 所以： 22222
39416G m g R
P P B r ==
（3）设导体棒ab 进入磁场II 后经过时间t 的速度
大小为t v '，此时安培力大小为2243t B r v F R
'
'=
由于导体棒ab 做匀加速直线运动，有3t v v at '=+ 根据牛顿第二定律，有: 'F mg F ma +-= 即:2234()
3B r v at F mg ma R
++-=
由以上各式解得：
22
34()()3B r F at v m g a R
=+--
22223
4433B r v B r a t ma mg R R
=++-
【答案】（1）22134B r v a g mR -=（2）22222916m g R
P B r =
（3）22223
4433B r v B r a F t ma mg R R
=++-。