反比例函数与面积

o
SΔPAP 12| AP AP|
P/
12|2m||2n|
2|k|
P(m,n)
x
A
4、如图:A、C是函数
y

1 x
的图象上任意两点，
过A作x轴的垂线, 垂足为B.过C作y轴的垂线,
垂足为D.记RtAOB的面积为S1,
RtOCD的面积为S2 ,则 __C_ .
y
A.S1>S2 B.S1<S2
论成立吗?
y A P(m,n)
o
x
1
1
1
1
SOAP 2 OA AP 2 | n | | m | 2 mn 2 | k |
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B, 则S矩形OAPB OA AP | m | | n || k | (如图所示).
面积性质（二）
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
(3)设P(m, n)关于原点的对称点是P(m, n),过P作x轴的垂线
与过P作y轴的垂线交于A点,则
SΔPAP

1 2
|
AP

AP
|
1 2
|
2m
|
|
2n
|
2
|
k
|
(如图所示).
y
面积性质（三）
o
P/
P(m,n)
x
A
y
o
P/
P(m,n)
反比例函数与面积有关的问题：
设P(m, n)是双曲线y k (k 0)上任意一点,有 : x
(1)过P作x轴的垂线,垂足为A,则 面积性质
SOAP

1 2
OA
AP

1 2
|
m
|

|
n
|
1 2
|
k
|
（一）
y
P(m,n)
y
oA
x
P(m,n)
oA
x
想一想
y P(m,n)
oA x
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结
o S1 A
C.S1 = S2
S2
B
x
D.S1和S2的大小关系不能确定.
C
D
8.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1, B1,C1三点,
边结OA,OB,OC,记OAA1, OBB1, OCC1的
面积分别为S1, S2, S3,则有 __A.
__________x__________x____.
3.如图,P,P是函数y

1 x
的图 像上关于原点O对称
的任意两点,PA平行于y轴 ,PA平行于x轴 ,ΔPAP的
面积 S,则_C__.
A.S = 1
B.1<S<2
y
C.S = 2
D.S>2
解:设P(m,n),则P(-m,-n).
AP |2m|，AP|2n|；

S2

S3 , 故选A.
6、如图所示.如果函数y=-kx(k≠0)与
y


4
x图像
交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足
为点C，则△BOC的面积为 .
2
S⊿AOC =∣-4 ∣= 2 S ⊿BOC =S ⊿AOC
D
7、四边形ADBC的面积=___2__
y
y
A
D
o
x
C
B
D
A
o
x
B
C
x
y
o
P/
P(m,n)
x
以上几点揭示了双曲线上的点构成的几 何图形的一类性质.掌握好这些性质,对 解题十分有益.(上面图仅以P点在第一象 限为例).
做一做(三)
1.如图,点P是反比例函数 y 图2象上的 x
一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为
.1
y
P (m,n)
oD
x
2.如图, P是反比例函数y k 图像上的一点,由P分别 x
向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3,则这个反比例
函数的解析式是 ____ .
解:由性质(2)可得
S矩形APCO | k |,| k | 3.
y
又图像在二,四象限,
PC
k 3 解析式为y 3 .
x
A ox
提高篇:(1)如图,点P是反比例函数
图象上的一点,过点P分别向x轴、y y
y
A.S1 = S2 . S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
解:由性质(1)得
S1
B C
S2 S3
o A1 B1 C1
x
S AOA1

1 2
|
k
|
1 2 , SBOB1

1 2
|k
|
1, 2
S OOC1

1 2
|k
|
1 2
,即S1
轴作垂线,若阴影部分面积为3,则
这个反比例函数的关系式
N
p
是提示：S.矩形=y|xy|=3x |k|
oM
x
(1)若则点k则=P是3或反|k-比|3=例3函数图象上的一点,过点P分别向x
轴、y轴作垂线,垂足分别为点M、N，若四边形PMON面
积为3,则这个反比例函数的关系式是
y -3 或 y 3