重庆市万州区甘宁中学2021-2021学年八年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版

重庆市万州区甘宁中学2021-2021学年八年级数学上学期期中试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷对应的表格中．
1．下列计算中，不正确的是（）
2下列实数：，3.14，﹣，，，﹣0.1010010001，，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
3．下列句子是命题的是（）
A．两条直线相交有几个交点
B．小林的哥哥可能被北京大学录取了
C．相等的两个角一定是对顶角
D．同位角是否一定相等
4．若x2+mx+16是一个完全平方式，则符合条件的m的值是（）
A．4 B．8 C．±4D．±8
5．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE（）
A．BC=EF B．∠A=∠D C．AC∥DF D．AC=DF
6．一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和4﹣3m，则这个数是（）
A．3 B．5 C．﹣5 D．25
7．（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，则m为（）
A．3 B．C．12 D．24
8．如图所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN经过点O，若AB=12，AC=18，则△AMN的周长是（）
A．15 B．18 C．24 D．30
9．从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．2=a2+2ab+b2D．a2+ab=a（a+b）
10．下列命题中，逆命题不成立的是（）
A．若x2=y2，则x=y
B．若x，y互为倒数，则xy=1
C．线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
D．全等三角形的对应角相等
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）
A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°12．已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2b﹣a）．则x、y的大小关系是（）
A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y
二、填空题（每题4分，共24分)
13．的平方根是；|﹣|= ．
14．若（x+1）（2x﹣3）=2x2+mx+n，则m= ，n= ．
15．已知3a=5，9b=10，则3a+2b= ．
16．已知AB⊥BD，ED⊥BD，EC⊥AC，且AC=CE，AB=6，DE=4，则BD= ．
17．若xy=，x﹣y=﹣3，则（x+1）（y﹣1）= ．
18．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：
①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DB．其中正确的结论是．（把你认为正确的结论的序号填上）
三．解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将答案书写在答题卡对应位置中．
19．计算下列各题
（1）计算：
（2）已知，求a2﹣3ab+b2的值．
20．解方程
（1）（x﹣1）2=49
（2）已知y=的值．
21．分解因式：
（1）3a4bc﹣12a3b2c+12a2b3c；
（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
22．（1）先化简，再求值（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x+2）2，其中x=3．
（2）已知如图：AB∥CD，EB∥FC，AF=DE．求证：△ABE≌△DCF．
23．已知△ABC分别作出∠ACB的角平分线，BC边上的中线和AC边上的高．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法．）
24．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．求证：
（1）AD=AG；
（2）AD⊥AG．
25．（1）已知：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）；a4﹣b4=（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；按此规律，则：
①a5﹣b5=（a﹣b）（）；
（2）观察下列各式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1
（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1
（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1
（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1
…
③能得到一般情况下（x n﹣1）÷（x﹣1）=
④根据公式计算：1+2+22+23+…+262+263= ．
26．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．
（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；
（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．
2015-2016学年重庆市万州区甘宁中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷对应的表格中．
1．下列计算中，不正确的是（）
A．3=a6，正确；
B、a2+a2=2a2，正确；
C、a6÷a2=a4，正确；
D、应为a5a5=a10，错误．
故选D．
【点评】本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握是解题的关键．
2．下列实数：，3.14，﹣，，，﹣0.1010010001，，无理数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．
【解答】解：﹣ =2，﹣ =﹣4，
实数：，3.14，﹣，，，﹣0.1010010001，中，
无理数有：，﹣，共2个．
故选A．
【点评】本题考查了无理数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
3．下列句子是命题的是（）
A．两条直线相交有几个交点
B．小林的哥哥可能被北京大学录取了
C．相等的两个角一定是对顶角
D．同位角是否一定相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据命题的定义分别进行判断即可．
【解答】解：“两条直线相交有几个交点”为疑问句，它不是命题；
“小林的哥哥可能被北京大学录取了”与“同位角是否一定相等”都不是判定的语句，所以它们都不是命题；
“相等的两个角一定是对顶角”是判断的语句，所以它是命题．
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
4．若x2+mx+16是一个完全平方式，则符合条件的m的值是（）
A．4 B．8 C．±4D．±8
【考点】完全平方式．
【分析】若x2+mx+16是一个完全平方式，则对应的判别式△=0，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
【解答】解：m2﹣4×16=0，
解得：m=±8，
故选D．
【点评】本题主要考查了完全平方式，正确理解一个二次三项式是完全平方式的条件是解题的关键．
5．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE（）
A．BC=EF B．∠A=∠D C．AC∥DF D．AC=DF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】要使△ABC≌△DEF，已知AB=ED，BE=CF，具备了两条边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解：可添加AC=DF，或AB∥DE或∠B=∠DEF，
证明添加AC=DF后成立，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
又AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF．
故选D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
6．一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和4﹣3m，则这个数是（）
A．3 B．5 C．﹣5 D．25
【考点】平方根．
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出2m﹣1+4﹣3m=0，求出即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和4﹣3m，
∴2m﹣1+4﹣3m=0，
解得：m=3，
2m﹣1=5，
即这个数是25，
故选D．
【点评】本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
7．（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，则m为（）
A．3 B．C．12 D．24
【考点】多项式乘多项式．
【分析】乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（﹣3x），再由展开后不含x的一次项可得出关于m的方程，解出即可．
【解答】解：由题意得，乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（﹣3x），
又∵（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，
∴2m﹣24=0，
解得：m=12．
故选C．
【点评】此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，难度一般．
8．如图所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN经过点O，若AB=12，AC=18，则△AMN的周长是（）
A．15 B．18 C．24 D．30
【考点】等腰三角形的性质；角平分线的定义；平行线的性质．
【分析】由BO平分∠ABC知道∠ABO=∠CBO，由MN∥BC得到∠MOB=∠CBO，然后得到
∠MOB=∠ABO，再根据等腰三角形的性质得到OM=BM，同理得到ON=NC，然后就可以求出△AMN 的周长．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠CBO，
∴∠MOB=∠ABO，
∴OM=BM，
又CO平分∠ACB，MN∥BC，
同理得到ON=NC，
∴△AMN的周长=AM+AN+OM+ON
=AM+AN+BM+CN
=AB+AC
=12+18
=30．
故选D．
【点评】此题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识来解题，关键是利用它们把所求线段转换成已知线段从而求出结果．
9．从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．2=a2+2ab+b2D．a2+ab=a（a+b）【考点】平方差公式的几何背景．
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2，
矩形的面积=（a+b）（a﹣b），
故a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选A．
【点评】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
10．下列命题中，逆命题不成立的是（）
A．若x2=y2，则x=y
B．若x，y互为倒数，则xy=1
C．线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
D．全等三角形的对应角相等
【考点】命题与定理．
【分析】交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别根据乘方的意义、倒数的定义、线段垂直平分线定理的逆定理和三角形全等的判定方法判断它们的真假．
【解答】解：A、逆命题为若x=y，则x2=y2，此逆命题为真命题；
B、逆命题为若xy=1，则x，y互为倒数，此逆命题为真命题；
C、逆命题到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，此逆命题为真命题；
D、逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题．
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）
A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】分类讨论．
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．
故选D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．
12．已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2b﹣a）．则x、y的大小关系是（）
A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解．
【分析】判断x、y的大小关系，把x﹣y进行整理，判断结果的符号可得x、y的大小关系．
【解答】解：x﹣y=a2+b2+20﹣8b+4a=（a+2）2+（b﹣4）2，
∵（a+2）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴x﹣y≥0，
∴x≥y，
故选B．
【点评】考查比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大．
二、填空题（每题4分，共24分)
13．的平方根是±2；|﹣|= ﹣．
【考点】实数的性质；平方根；算术平方根．
【分析】首先化简二次根式，进而利用平方根的定义得出答案，再利用绝对值的性质求出答案．
【解答】解：∵ =4，
∴的平方根是：±2，
|﹣|=﹣．
故答案为：±2，﹣．
【点评】此题主要考查了平方根以及绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
14．若（x+1）（2x﹣3）=2x2+mx+n，则m= ﹣1 ，n= ﹣3 ．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】先根据多项式乘多项式的法则展开，再根据对应项的系数相等求解即可．
【解答】解：∵（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2+（2﹣3）x﹣3，
又∵（x+1）（2x﹣3）=2x2+mx+n，
∴m=﹣1，n=﹣3．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则，根据对应项的系数相等求解是解题的关键．
15．已知3a=5，9b=10，则3a+2b= 50 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】由3a=5，9b=10，根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵3a=5，9b=10，
∴3a+2b=3a×32b=3a×9b=5×10=50．
故答案为：50．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方．此题难度不大，注意掌握公式的逆用．16．已知AB⊥BD，ED⊥BD，EC⊥AC，且AC=CE，AB=6，DE=4，则BD= 10 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据垂直的定义得到∠D=∠B=∠ACE=90°，根据余角的性质得到∠E=∠ACB，推出△CDE≌△ABC，根据全等三角形的性质得到CD=AB=6，BC=DE=4，即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，EC⊥AC，
∴∠D=∠B=∠ACE=90°，
∴∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠CAB=90°，
∴∠E=∠ACB，
在△CDE与△ABC中，，
∴△CDE≌△ABC，
∴CD=AB=6，BC=DE=4，
∴BD=CD+BC=10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，证得△CDE≌△ABC 是解题的关键．
17．若xy=，x﹣y=﹣3，则（x+1）（y﹣1）= 2 ．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将xy与x﹣y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵xy=，x﹣y=﹣3，
∴（x+1）（y﹣1）=xy﹣（x﹣y）﹣1=﹣+3﹣1=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：
①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DB．其中正确的结论是①②③．
（把你认为正确的结论的序号填上）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题目条件，利用AAS可以判断△AEB≌△AFC，由全等的性质对结论进行判断．
【解答】解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF
∴△AEB≌△AFC
∴BE=CF
故（2）正确；
∵∠1=∠EAB﹣∠CAB，∠2=∠FAC﹣∠CAB
又∵∠EAB=∠FAC
∴∠1=∠2
故（1）正确；
∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM
∴△ACN≌△ABM
故（3）正确，
∴正确的结论是∠1=∠2，BE=CF，△ACN≌△ABM，
故答案为①②③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；题目是全等三角形的判定、性质的综合运用，要求学生能熟练运用性质解题，难度适中．
三．解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将答案书写在答题卡对应位置中．
19．计算下列各题
（1）计算：
（2）已知，求a2﹣3ab+b2的值．
【考点】实数的运算；非负数的性质：算术平方根．
【分析】（1）首先利用二次根式以及绝对值的性质化简各数进而得出答案；
（2）利用二次根式的性质得出a+b，ab的值，进而代入原式求出答案．
【解答】解：（1）原式=﹣3+3+3﹣+3﹣2=4﹣；
（2）由题意可得：a+b=2，ab=﹣3，
原式=a2+2ab+b2﹣5ab=（a+b）2﹣5ab=4+15=19．
【点评】此题主要考查了实数运算以及二次根式的性质，正确得出a+b，ab的值是解题关键．
20．解方程
（1）（x﹣1）2=49
（2）已知y=的值．
【考点】二次根式有意义的条件；平方根；立方根．
【分析】（1）根据平方根的定义计算即可；
（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出x、y的值，计算即可．
【解答】（1）解：x﹣1=7 或x﹣1=﹣7，
x1=8，x2=﹣6；
（2）解：由题意得：x﹣≥0，﹣x≥0，
解得，x=，
则y=，
∴3=．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和平方根的概念，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
21．分解因式：
（1）3a4bc﹣12a3b2c+12a2b3c；
（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）先提取公因式3a2bc，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
（2）利用平方差公式分解因式，然后整理即可．
【解答】解：（1）3a4bc﹣12a3b2c+12a2b3c，
=3a2bc（a2﹣4ab+4b2），
=3a2bc（a﹣2b）2；
（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2，
=[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]，
=（7a﹣b）（a﹣7b）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
22．（1）先化简，再求值（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x+2）2，其中x=3．
（2）已知如图：AB∥CD，EB∥FC，AF=DE．求证：△ABE≌△DCF．
【考点】全等三角形的判定；整式的混合运算—化简求值．
【分析】（1）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；
（2）求出AE=DF，根据平行线的性质求出∠A=∠D，∠AEB=∠DFC，根据ASA推出即可．
【解答】（1）解：原式=4x2﹣9﹣4x2+4x+x2+4x+4
=8x﹣5，
当x=3时，原式=8x﹣5=19；
（2）证明：∵AF=DE，
∴AE=DF
∵AB∥CD，EB∥FC，
∴∠A=∠D，∠AEB=∠DFC，
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF（ASA）．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，平行线的性质，全等三角形的判定的应用，能正确进行化简是解（1）小题的关键，能求出判定两三角形全等的三个条件是解（2）小题的关键．
23．已知△ABC分别作出∠ACB的角平分线，BC边上的中线和AC边上的高．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法．）
【考点】作图—复杂作图．
【分析】利用角平分线的作法作∠ACB的角平分线；再作出BC的垂直平分线，确定BC中点D的位置，然后连接AD可得BC边上的中线；根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BF⊥AC即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握角平分线、垂线、线段垂直平分线的作法．
24．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．求证：
（1）AD=AG；
（2）AD⊥AG．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）先由条件可以得出∠ABE=∠ACF，就可以得出△ABD≌△GCA，就有AD=GA，∠BAD=∠G；
（2）由（1）可以得出∠GAD=90°，进而得出AG⊥AD．
【解答】解：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC=∠BFC=∠BEC=∠BEA=90°
∴∠BAC+∠ACF=90°，∠BAC+∠ABE=90°，∠G+∠GAF=90°，
∴∠ABE=∠ACF．
在△ABD和△GCA中，
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD=GA，
（2）∵△ABD≌△GCA（SAS），
∴∠BAD=∠G，
∴∠BAD+∠GAF=90°，
∴AG⊥AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
25．（1）已知：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）；a4﹣b4=（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；按此规律，则：
①a5﹣b5=（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）；
（2）观察下列各式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1
（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1
（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1
（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1
…
③能得到一般情况下（x n﹣1）÷（x﹣1）= x n﹣1+x n﹣2+…+x+1
④根据公式计算：1+2+22+23+…+262+263= 264﹣1 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】规律型．
【分析】（1）①在式子中，a的指数由高到低，b的指数由低到高，由此规律得出答案即可；
②将a和分别看作一个数，代入a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）即可计算；
（2）①根据已知的式子可得到的式子是关于x的一个式子，最高次数是n﹣1，共有n项；
②把2当作x，即可把所求的式子看成是两个二项式的商的形式，逆用（1）的结果即可求解．
【解答】解：（1）①a5﹣b5=（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）；
②∵a﹣=2，
∴a3﹣
=（a﹣）（a2+a+）
=（a﹣）（a2++1）
=（a﹣）（a2+﹣2+2+1）
=（a﹣）[（a﹣）2+3]
=2×（22+3）
=14；
（2）①（x n﹣1）÷（x﹣1）=x n﹣1+x n﹣2+…+x+1；
②1+2+22+23+24+…+262+263=（264﹣1）÷（2﹣1）=264﹣1．
【点评】此题考查因式分解的实际运用，从简单的情形考虑，找出运算的规律，利用规律解决问题．
26．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．
（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；
（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】证明题；压轴题．
【分析】（1）由△ABD和△ACE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，然后给∠DAB和∠EAC都加上∠BAC，得到∠DAC=∠BAE，利用“SAS“即可得到△DAC≌△BAE，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）作DG∥AE，交AB于点G，由等边三角形的∠EAC=60°，加上已知的∠CAB=30°得到∠FAE=90°，然后根据两直线平行内错角相等得到∠DGF=90°，再根据∠ACB=90°，
∠CAB=30°，利用三角形的内角和定理得到∠ABC=60°，由等边三角形的性质也得到
∠DBG=60°，从而得到两角的相等，再由DB=AB，利用“AAS”证得△DGB≌△ACB，根据全等三角形的对应边相等得到DG=AC，再由△AEC为等边三角形得到AE=AC，等量代换可得DG=AE，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等根据“AAS”证得△DGF≌△EAF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．
【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，
，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，
，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF，即F为DE中点．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的性质，其中全等三角形的判定方法为：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角相等等隐含条件的运用．第二问作出辅助线构造全等三角形是本问的突破点．。