东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习二数学理科终稿

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北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）
2019.5
数学 （理科）
本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{2,1,0,1,2},{20}A B x x x =--=--≤，则A
B =R ð
(A){2}- (B) {01}， (C) {2,1,2}-- (D) {1,0,1,2}- （2）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为
（A ）7，3- （B ）3-，3- （C ）5，3- （D ）5， 2
（3）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+a b (1)m ≠，.AC n =+a b 若,,A B C 三点共
线，则实数,m n 满足的条件为 (A)1m n +=
(B) 1m n +=-
(C) 1mn = (D)1mn =-
（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁
及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ），
则此构件的体积为
（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ） 332000mm （D ）3
30000mm
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（5）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中
选出3本，则不同的选法种数为
(A) 84 (B) 42 (C) 41 (D)35
（7）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构
成的图形的面积等于
(A) 12 (B) 4π (C) 44
π
- (D) 72
（8）在交通工程学中，常作如下定义：
交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；
车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的， V 和K 满足一个线性关系：00
=(1)K
V v k -
（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是 (A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大 (B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大
(C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大 (D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）已知复数1i
2i
z -=
在复平面内对应的点为Z ，则Z 关于虚轴对称的点位于第 象限. （ 10 ）已知2log 6a =，5log 15b =，若3log a m b >>，m *
∈N ，则满足条件的m 可以为_____.
（ 11）椭圆22
124:1x y C b
+=与曲线2C 关于直线y x =-对称，1C 与2C 分别在第一、二、三、四象限交于点1234,,,.
P P P P 若四边形1234PP P P 的面积为4，则点1P 的坐标为_______, 1
C 的离心率为__ ．
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（ 12
）将函数sin 22y x x =的图象向左平移
6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5
()6
g π= . （13）设关于,x y 的不等式组0,
20,10x x y mx y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m 的取值范围是 .
（14）已知函数()f x ，，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .
①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；
②若2
2,0,()21,0,
x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)
a a D +-的取值范围是 .
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
如图，在四边形ABCD 中
，2,AC CD AD ==2.3
ADC π∠=
（Ⅰ）求CAD ∠的正弦值；
（Ⅱ）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.
（16）（本小题13分）
某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A 在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作.每个工人
从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数. （Ⅰ）求X 的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若,a b *
∈N ，且6b a -=，求()P a X b ≤≤最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至
少需要增加几名维修工人？ （只需写出结论）
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（17）（本小题14分）
如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=，4AB AD ==，
AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ．
（Ⅰ）求证：CD
EF ；
（Ⅱ）若EF CD =，求二面角--A BC F 余弦值；
（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点M 使得AM EM ⊥？若存在，求BM 的长；
若不存在，说明理由．
（18）（本小题13分）
已知点()1,2P 到抛物线()2
:20C y px p =>准线的距离为2.
（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；
（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别
交x 轴于,M N 两点.求MF NF ⋅的值.
（19）（本小题14分）
已知函数()sin f x x x =+．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22
f ππ
处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式()cos f x ax x ≥在区间π
[0,]2
上恒成立，求实数a 的取值范围．
（20）（本小题13分）
若n 行n 列的数表111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
L L M M M L
(2)n ≥满足：{}01ij a ∈，(12)i j n =L ，，，，，1
n ik k a m ==∑(12,0)i n m n =<<，，，L ，1
0(,1,2,,,)n
ik
jk k a
a i j n i j =->=≠∑L ，记这样的一个数表为()
n A m .对于
()n A m 记集合
1(,),,.n
ij ij ik jk k T n m a a i j n i j σσ*=⎧⎫
==≤<≤∈⎨⎬⎩⎭
∑N ，1(,)T n m 表示集合(,)T n m 中元素的个数.
（Ⅰ）已知3110(2)011,101A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
写出(13,)ij i j i j σ*
≤<≤∈N ，的值；
（Ⅱ）是否存在数表4(2)A 满足(42)1T =，？若存在，求出4(2)A ，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对于数表()(0,)n A m m n m *<<∈N ，求证：(,)2
n
T n m ≤.
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