2019-2020学年天津市静海区第一中学高一(3月)学生学业能力调研考试数学试题(解析版)

2019-2020学年天津市静海区第一中学高一（3月）学生学业
能力调研考试数学试题
一、单选题
1．下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量a r 与b r
平行，
则a r
与b r
的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量a r 与b r 同向，且||||a b >r r ，则a b >r r .其中正确的序号为（ ）
A ．（1）（2）
B ．（2）（3）
C ．（4）
D ．（3）
【答案】D
【解析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】
解：零向量与它的相反向量相等，故（1）错误；
当向量a r 为零向量时，其方向是任意的，不能说a r 与b r
的方向相同或相反，故（2）错
误；
相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确；
向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误. 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的概念，是基础题.
2．若(7,4)OA =u u u r ，(4,0)OB =u u u r ，则与向量BA u u u r
同向的单位向量是（ ）
A ．34(,)55
B ．43(,)55
-
C ．34(,)55
--
D ．43(,)55
【答案】A
【解析】容易求出BA u u u r ，BA u u u r ，从而可求出与向量BA u u u r
同向的单位向量.
【详解】
解：由已知得(7,4)(4,0)(3,4)BA OA OB -==-=u u u r u u u r
u u u r ，则5BA =u u u r ， ∴与向量BA u u u r 同向的单位向量是：34,55||BA BA ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
u u u r
u u
u r . 故选：A. 【点睛】
考查向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及单位向量的定义及求法，是基础题.
3．已知2,6,()10a b a b a ==⋅-=-r r r r r ，则向量a r 与b r
向量的夹角是（ ）
A ．
23
π B ．
3
π C ．
56
π D ．
6
π 【答案】A
【解析】设向量a r
与b r
向量的夹角为θ，2()10a b a a b a ⋅-=⋅-=-r
r
r
r
r r
，代入条件计算即可. 【详解】
解：设向量a r 与b r
向量的夹角为θ，
则由已知22()26cos 210a b a a b a θ⋅-=⋅-=⨯⨯-=-r
r
r
r
r r
， 解得1
cos 2
θ=-，因为0θπ≤≤， 则23
πθ=
. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，及向量夹角的求解，是基础题.
4．在ABC ∆中，1,2
BD DA CE EA ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则DE u u u r
为（ ）
A ．7263BA BC -u u u r u u u r
B ．1263BA B
C --u u
u r u u u r
C ．7263BA BC +u u u r u u u r
D ．1263
BA BC -+u u
u r u u u r
【答案】D
【解析】根据向量的加法、减法和数乘运算进行运算即可. 【详解】 解：如图：
()
121212232363
DE DA AE BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r .
故选：D. 【点睛】
本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，属于基础题.
5．设a r ，b r 是不共线的两个平面向量，已知2,.a kb Q Q a b P R =+=-u u u u r r r r
r u u r 若P ，Q ，R
三点共线，则实数k 的值为（ ） A ．2 B ．2-
C ．
12
D ．12
-
【答案】B
【解析】由P ，Q ，R 三点共线，从而得出PQ uuu r 与QR uuu r
共线，从而存在实数λ，使得PQ QR λ=u u u r u u u r ，从而得出2a kb a b λλ+=-r r r r ，这便得出2k λλ
=⎧⎨
=-⎩，解出k 即可. 【详解】
解：∵a r ，b r
是不共线的两个平面向量； 0
a b ∴-≠r r r ， 即0QR ≠u u u r r ，
∵P ，Q ，R 三点共线； ∴PQ uuu r 与QR uuu r
共线；
∴存在λ，使PQ QR λ=u u u r u u u r ，
∴2a kb a b λλ+=-r
r
r
r
， ∴根据平面向量基本定理得2k λ
λ
=⎧⎨=-⎩，
解得2k =-. 故选：B. 【点睛】
考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理.
6．在ABC ∆中，已知60A =︒，6,3a b ==，则B =（ ） A ．30° B ．60︒ C ．30°或150︒ D ．60︒或120︒
【答案】A
【解析】根据正弦定理算出sin B ，再由角B 是三角形内角，结合特殊三角函数的值即可得到角B 的大小. 【详解】
解：因为60A =︒，6,3a b ==，
sin 23sin 601s in sin sin 2
a b b A B A B a ︒⨯∴=⇒===， 可得30B ︒=或150︒， ∵a b >，可得A B >， ∴150B ︒=不符合题意，舍去， 可得30B ︒=. 故选：A. 【点睛】
本题给出ABC V 两边之值和其中一边的对角，求另一边的对角，着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形大边对大角等知识点，属于基础题.
7．已知向量a v ，b v 满足||||2a b a b ==+=v v
v v ，则2a b +=v v （ ）．
A ．7
B ．2
C ．23
D ．5【答案】C
【解析】根据||||2a b a b ==+=r r r r ，平方得到2a b ⋅=-r r
，再计算()
2
212a b
+=r r ，得到
答案. 【详解】
()
2
22||||228242a b a b a b
a b a b a b a b ==+=∴+=++⋅=+⋅=∴⋅=-r r r r r r r r r r r r r r
，
(
)
2
22244164812223a b
a b a b a b +=++⋅=+-=∴+=r r r r r r r r
故选：C 【点睛】
本题考查了向量模的计算，先计算出2a b ⋅=-r r
是解题的关键.
8．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，DE DC λ=u u u r u u u r
，
29AE DB ⋅=u u u r u u u r
，则λ=（ ）
A ．
34
B ．38
C ．
47
D ．
54
【答案】B
【解析】利用平面向量的线性运算以及向量的数量积直接代入即可求解. 【详解】
解：因为平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，DE DC λ=u u u r u u u r
，
29AE DB ⋅=u u u r u u u r
，
∴()()AE DB AD DE AB AD ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()AD AB AB AD λ=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r
22(1)AD AB AB AD λλ=-++-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 164(1)24cos 60λλ︒=-+-⨯⨯⨯
9122
λ==， 38
λ∴=
. 故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目.
9．在ABC V 中,
1
02
BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形
【答案】C
【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】
解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈
10,2
||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||
AB AC A CA CB C
CA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r
cos cos A C A C ∴=⇒=，
11||||cos ||||cos 223
BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
∴ABC V 为等边三角形. 故选：C. 【点睛】
本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
二、填空题
10．向量(2,3)a =r
与向量(1,)b x =-r 的夹角为钝角，则x 的取值集合为__.
【答案】332(,)(,)223
-∞-⋃-
【解析】由题意可得0a b ⋅<r
r ，且a r
与 b r
不共线，由此求得x 的取值集合. 【详解】
解：∵向量(2,3)a =r ，(1,)b x =-r
，若向量a r
与向量b r
夹角为钝角， ∴230a b x ⋅=-+<r
r ，且a r
与 b r
不共线，
即23x < 且
312x
-≠，即23
x < 且32x ≠-. 故答案为：332
(,)(,)223
-∞-⋃-.
【点睛】
本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题.
11．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知8bc =，2b c -=，
1
cos 4
A =-，则a 的值为__.
【答案】6【解析】将余弦定理变形为()2
22co 2s b c b a bc c A --+=，代入条件即可. 【详解】 解：由余弦定理得
()2
2
2
2
2
2cos 12228282424cos a b c bc bc A b c bc A ⎛⎫
=-+=+⨯-⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
=+--，
26a ∴=
故答案为：26. 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，是基础题.
12．如图，在ABC ∆中，,2,3AD AB DC BD AD ⊥==u u u v u u u v u u u v ，则AC AD ⋅u u u r u u u r
的值为
__________.
【答案】27
【解析】根据向量垂直以及向量加法和减法的运算法则进行转化求解即可. 【详解】
解：,0AD AB AD AB ⊥∴⋅=u u u r u u u r
Q ，
则33()32AC AB BC AB BD AB AD AB AD AB =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
则2
2(32)3233327AC AD AD AB AD AD AD AB AD AD ⋅=-⋅=⋅-⋅==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：27. 【点睛】
本题主要考查向量数量积的应用，结合向量垂直与向量的加减法的运算法则是解决本题的关键.
13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ，若32,2134
b c C π
===，，则ABC ∆的面积为_______. 【答案】4
【解析】由已知利用余弦定理可求a 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】
解：∵32,2134
b c C π===
，， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，
可得：2
2524222a a ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
，即2
22480a a +-=，
∴解得2a =（负值舍去），
113sin 422sin 4224
ABC S ab C π∴=
=⨯⨯=V . 故答案为：4. 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
三、解答题
14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin C a b
B A b c
+=--.
（1）求角A ； （2）若3a =，6
cos 3=
B ，求AB
C ∆的面积. 【答案】（1）60o ；（2）
323
2
. 【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得222b a bc c -=-，再结合余弦定理，可得
cos A ，则角A 可求；
（2）先求出sin B ，再利用正弦定理可求出b ，根据sin sin()C A B =+可得sin C ，则根据三角形面积公式1
sin 2
ABC S ab C ∆=，可求出面积. 【详解】
（1）由正弦定理，得
sin sin sin C a b c
B A b c b a
+==---，
所以222b a bc c -=-，
所以222122
b c a bc +-=.
由余弦定理，得1
cos 2
A =. 又0180A <<︒︒， 所以角60A =︒；
（2）由（1）得角60A =︒，由6cos 3
=
B ，可得3sin 3B =，
由正弦定理，得sin sin b a
B A
=33=，可得2b =， 又180A B C ++=︒，
故323
sin sin[180()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B +=︒-+=+=+ 可得11323323
sin 3222ABC S ab C ∆++==⨯⨯=
. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.
15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ，8a =，2b c -=，1
cos 4
A =-. （1）求sin
B 的值； （2）求cos(2)6
A π
+
的值.
【答案】（1）
315
16；（2）
157316
-. 【解析】（1）由1
cos 4
A =-，可得sin A 的值，由余弦定理及已知即可解得,b c 的值，
由正弦定理即可得解sin B 的值；
（2）由倍角公式及（1）可求cos 2,sin 2A A 的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值. 【详解】
（1）Q 由1cos 4A =-，可得15
sin A =
∴由22642cos 2
b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：6
4b c =⎧⎨=⎩，
∴由
sin sin b a B A
=得315
sin B =；
（2）Q 2715
cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==
73151
cos(2)cos 2cos sin 2sin 66682A A A πππ
⎛∴+=-=-⨯ ⎝⎭
1573
-=
.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.
16．已知向量3355(cos ,sin ),(cos ,sin ),[0,]44442x x x x a b x π
==-∈r r . （1）用含x 的式子表示a b ⋅r r 及|a b +r
r |；
（2）设()||g x a b t a b =⋅++r r
r r ，若关于x 的方程()20g x +=有两个不同的实数解，
求实数t 的取值范围.
【答案】（1）cos2x ，2cos x ；（2）3
[,2)2
--.
【解析】（1）根据向量的坐标运算及三角公式可得a b ⋅r r 及|a b +r
r |；
（2）由题可得22cos 2cos 10x t x ++=有两个不同的实数解，令cos [0,1]x μ=∈，转化为函数2
()221F t μμμ=++在[0,1]上有两不等实根，利用二次函数根的分布问题求解． 【详解】
解：（1）3355(cos ,sin ),(cos ,sin ),[0,]44442x x x x a b x π
==-∈r r Q ， 355335cos cos sin sin cos cos 244444
4a x x x x x x b x ⎛⎫
-=+= ⎪⋅⎝⎭∴=r r ，
22
222cos 22cos a b a a b b x x +=+⋅+=+=r r r r r r ；
（2）2()||cos 22cos 2cos 2cos 1g x a b t a b x t x x t x =⋅++=+=+-r r
r r ，
由()20g x +=得22cos 2cos 10x t x ++=， 令2
cos [0,1],()221x F t μμμμ=∈=++，
2480201
4(0)10(1)2210
t t F F t ⎧∆=->⎪
⎪<-<⎪∴⎨⎪=≥⎪=++≥⎪⎩， 解得3,22t ⎡∈-⎢⎣. 【点睛】
本题考查向量的数量积和向量的模的求法，考查函数的值域的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意平面向量知识的合理运用.。