【基础】华工线性代数试题及解答

【关键字】基础
《2006线性代数》试卷A
一、填空题（每小题4分，共20分）。

0．已知正交矩阵P使得，则
1．设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )=
2．设A是矩阵，是维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)<n 3．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=-8
4．，则的全部根为：1、2、-3
二、选择题（每小题4分，共20分）
1．行列式的值为（ c ）。

D
A，1，B，-1
C，D，
2．对矩阵施行一次行变换相当于（ A ）。

A，左乘一个m阶初等矩阵，B，右乘一个m阶初等矩阵
C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵
3．若A为m×n 矩阵，，。

则（ C ）。

D
A，是维向量空间，B，是维向量空间
C，是m-r维向量空间，D，是n-r维向量空间
4．若n阶方阵A满足，=0，则以下命题哪一个成立（A ）。

D
A，，B，
C，，D，
5．若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ D ）。

A，矩阵AT为正交矩阵，B，矩阵为正交矩阵
C，矩阵A的行列式是1，D，矩阵A的特征根是1
三、解下列各题（每小题6分，共30分）
1．若A为3阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，求det ()
2．计算行列式。

(a+3)(a-1)^3
3．设，求矩阵B。

4、求向量组的一个最大无关组。

5、求向量=（1，2，1）在基下的坐标。

四、（12分）求方程组
的通解（用根底解系与特解表示）。

六、证明题（6分）
设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个根底解系，是线性方程组的一个解，求证线性无关。

《2006年线性代数A》参考答案
一填空题
(1)2
-22006
(2)λ12···λn2
(3)r(A)=r(A,B)< n
(4) t=-8 (5) 1,2,-3
二 选择题
(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D 三 解答题
(1) A·A* =|A|·E, |A|·|A*|=|A3| |A*|=|A|2=|A·A’|=|A·A -1|=1 (2)
(3)由AB=A-B ，有， （4） 而
故{，，}为一个极大无关组
（5）
6、求向量ω=（1，2，1）在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标。

令ω=（1，2，1）=x α+y β+z γ，
则有：
1
21=++=-+=+z y x z y x z x 解得： 2
1023
-
===
z y x
ω的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,2
3
四
解：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0000001012102112114048404048402112116131051237213211221A 原
方程组同解下面的方程组： 即：
4
32543212122x x x x x x x x ++=--+=+
令0543===x x x ,求解得：（1，1，0，0，0）=η。

齐次方程组基础解系为：
332211321),1,0,0,0,1(),0,1,0,1,2(),0,0,1,2,0(ηηηηηηηa a a +++-=-==通解为。

当11=λ时，由()03211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛110
六，证明
证：设0)()(11=+++⋅⋅⋅++ηηξηξb a a r r ，
则0)(111=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ηξξb a a a a r r r ， 于是：0))((111=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ηξξb a a a a A r r r , 即：0)(1=++⋅⋅⋅+ηA b a a r
但0≠=βηA ，故 η)(1b a a r ++⋅⋅⋅+=0。

从而 r r a a ξξ+⋅⋅⋅+11=0。

但r ξξ，，
⋅⋅⋅1线形无关，因此r a a ,,1⋅⋅⋅全为0，于是b=0,由此知： ηηξηξ,,,1+⋅⋅⋅+r 线形无关。

设0β≠，12,,
,r ξξξ是线性方程组AX β=对应的齐次线性方程组一个基础解系， η是
线性方程组AX β=的一个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。

《 2006线性代数 》试卷B
一、填空题（每小题4分，共20分）。

1． 已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，则20061
()T P A A A P -+=
2．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( T A )=
3．设A 是n m ⨯矩阵，则方程组B AX =对于任意的m 维列向量B 都有无数多个解的充分
必要条件是：
4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩不为3，则t=
5．23
1
51315
227
()5439583
x D x x x =
，则0)(=x D 的全部根为：
二、选择题（每小题4分，共20分）
1．n 阶行列式111110
100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ ）。

B ， 1-， B ，(1)n -
C ，(1)2
(1)
n n -- D ，(1)2
(1)
n n +-
2．对矩阵n m A ⨯施行一次列变换相当于（ ）。

B ， 左乘一个m 阶初等矩阵， B ，右乘一个m 阶初等矩阵
C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，
D ，右乘一个n 阶初等矩阵
3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}n M X AX X R ==∈。

则（ ）。

A ，M 是m 维向量空间， B ， M 是n 维向量空间 C ，M 是m-r 维向量空间， D ，M 是n-r 维向量空间 4．若n 阶方阵A 满足，2A =E ，则以下命题哪一个成立（ ）。

A ， ()r A n =， B ， ()2n r A =
C ， ()2n r A ≥，
D ，()2
n r A ≤
5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。

A ，矩阵-A T 为正交矩阵， B ，矩阵-1A -为正交矩阵 C ，矩阵A 的行列式是实数， D ，矩阵A 的特征根是实数
三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A 为3阶正交矩阵， 求det (E-2A )
2．计算行列式
a b b b b
a b b b b a b b b b a。

3．设020200,
001A AB A B ⎛⎫ ⎪
==- ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵A-B 。

4、求向量组1234(1,2,1,2),(1,0,1,2),(1,1,0,0),(1,1,2,4)αααα====的的秩。

向量ω在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标（4，2，-2），求ω在
,,αββγγα+++下的坐标。

四、（12分）求方程组
12345123451
234522
3273251036
x x x x x x x x x x x x x x x +-++=⎧⎪
-+++=⎨⎪+--+=⎩ 的通解（用基础解系与特解表示）。

六、证明题（6分） 设0β≠，12,,
,r ξξξ是线性方程组AX β=对应的齐次线性方程组一个基础解系， η是
线性方程组AX β=的一个解，求证对于任意的常数
a ，
12,,,,r a a a ξηξηξηη+++线性无关。

证：设11()()0r r
a a a a
b ξηξηη++⋅⋅⋅+++=， 则11
1()0r r r a a a a a a b ξ
ξη+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=，
于是：111(())0r r r A a a a a a a b ξξη+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=, 即：1()0r
a a a a
b A η+⋅⋅⋅++= 但0≠=βηA ，故 1()r
a a a a
b η+⋅⋅⋅++=0。

从而 r r a a ξξ+⋅⋅⋅+11=0。

但r ξξ，，
⋅⋅⋅1线形无关，因此r a a ,,1⋅⋅⋅全为0，于是b=0,由此知： 1,,,r a a ξηξηη+⋅⋅⋅+线形无关。

《2006年线性代数B 》参考答案
二 填空题
（1） 2
-2
-5*22005
(0) λ1···λn (1) m=r(A)=r(A,B)< n (2) t=-8 (3) 1,2,-3
二 选择题
(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D 三 解答题
(1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1， 所以 det (E-2A )= det （E-A ）· det （E+A ） =0 （2）
(3)由AB=A-B ，有A E A B A B E A 1)(,)(-+==+，
（4）⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0211
00110101
0121
4211001121012121
4321αααα 而
故秩为3。

（5）
令ω=α+2β+γ=x （α+β）+y （β+γ）+z （γ+α）， 则有：
42
2
x z x y y z +=+=+=- 解得： 202x y z ===-
所求的ω的坐标为()2,0,2-
四
解：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0000001012102112114048404048402112116131051237213211211A 原
方程组同解下面的方程组： 即：
4
32543212122x x x x x x x x ++=--+=+
令0543===x x x ,求解得：（1，1，0，0，0）=η。

齐次方程组基础解系为：
332211321),1,0,0,0,1(),0,1,0,1,2(),0,0,1,2,0(ηηηηηηηa a a +++-=-==通解为。

六，证明
证：设11()()0r r
a a a a
b ξηξηη++⋅⋅⋅+++=， 则11
1()0r r r a a a a a a b ξ
ξη+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=，
于是：111(())0r r r A a a a a a a b ξξη+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=,
即：1()0r
a a a a
b A η+⋅⋅⋅++= 但0≠=βηA ，故 1()r
a a a a
b η+⋅⋅⋅++=0。

从而 r r a a ξξ+⋅⋅⋅+11=0。

但r ξξ，，
⋅⋅⋅1线形无关，因此r a a ,,1⋅⋅⋅全为0，于是b=0,由此知： 1,,,r a a ξηξηη+⋅⋅⋅+线形无关。

《 2007线性代数 》试卷
一、填空题（共20分）
（1） 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =无解的充分必要条件
是：rank(A)<rank(A,B)
（2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θ
θθθ-⎛⎫=
⎪
-⎝⎭
，则12007
P A P -= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= （4） 若A 为2n 阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =-1
（5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1n
i i E A λ=-∑ =
二、 选择题（共20分）
(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A
（1） 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘C 加到第j 列相当于对 D
A ，乘一个m 阶初等矩阵，
B ，右乘一个m 阶初等矩阵
C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，
D ，右乘一个n 阶初等矩阵
6．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}n
M X AX X R ==∈。

则（ C ）。

D
A ，M 是m 维向量空间，
B ， M 是n 维向量空间
C ，M 是m-r 维向量空间，
D ，M 是n-r 维向量空间
（2） 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维 非零列向量，()min{,}r A r m n =<。

集合
{:,}n M X AX B X R ==∈则B D
A ，M 是m 维向量空间，
B ， M 是n-r 维向量空间
C ，M 是m-r 维向量空间，
D ， A ，B ，C 都不对
（3）若n 阶方阵A ，B 满足，22A B = ，则以下命题哪一个成立D C
A ， A
B =±， B ， ()()r A r B =
C ， det det A B =±，
D ， ()()r A B r A B n ++-≤ （4）若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A A ，矩阵1A -为正交矩阵， B ，矩阵 -1A -为正交矩阵 C ，矩阵*A 为正交矩阵， D ，矩阵 -*A 为正交矩阵
（5）4n 阶行列式111110
100-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为：A
A ，1，
B ，-1
C ， n
D ，-n 三、解下列各题（共30分）
1．求向量513β⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，在基1231110,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标。

2．设1020200,
001A AB A B -⎛⎫ ⎪
==- ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵1B --A
3．计算行列式1335
19
92512727125
181
81
625
-- 4.计算矩阵1340926631039693394120A -⎛⎫
⎪
---- ⎪
= ⎪
---- ⎪
-⎝⎭列向量组生成的空间的一个基。

1351340913
4090023800238006
9
24
0000500812
2700000()3
(1,2,3,3),(4,6,6,4),(9,10,3,0)T T T
A rank A ααα--⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
--
⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪
-
⎪
⎪
--⎝⎭⎝⎭
∴==--=--=--一个基（4分
5. 设120201012......
...
.........n n n a b b b b a b b A b b a b b b b a ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪=
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
计算det A 四、证明题（10分） 设12,,
,r ξξξ是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系， η不是线性方程组0AX =的一
个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。

六、（8分）a 取何值时，方程组
1231231
232325106
x x x a
x x x a x x x +-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩ 有无数多个解？并求通解 七、（4分）设矩阵A
，B ，A +B 都是可逆矩阵，证明矩阵11A B --+也是可逆矩阵。

《2007年线性代数A 》参考答案
一 填空题 每个四分
(4) rankA<rank(A|B) 或者 rankA ≠ rank(A|B) (5)
t=43
± (6) 0
二 选择题
(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A 三 解答题
1．求向量513β⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，在基1231110,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
下的坐标。

(1) 设向量β在基123,,ααα下的坐标为123(,,)T x x x ，则
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+=++3
1531
32321x x x x x x x （4分） ⎪⎩⎪
⎨⎧-===326
3
21x x x （6分）
2．设1020200,
001A AB A B -⎛⎫ ⎪
==- ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵1B --A
(2)
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==+∴=+=+∴-=------100042024200012021100002020)()()(1
11111E A A B B E A A B A E A A B E A B A AB 则 （2分）
3．计算行列式1335
19
92512727125
18181625
-- (3)
138240
23811
9480238101
901115)96(310
423951
1
1063
2242620
84780120
2424020
12
6
5331-=-⨯
-=--⨯⨯-=-⨯⨯⨯=--
（4）
13513409134090023800238006
9
24
0000500812
2700
000()3(1,2,3,3),(4,6,6,4),(9,10,3,0)T T T
A rank A ααα--⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
-- ⎪ ⎪→
→ ⎪ ⎪
-
⎪
⎪
--⎝⎭⎝⎭
∴==--=--=--一个基（4分）
（5） 六，证明 七
《 2007线性代数 》试卷
一、填空题（共20分）
（1） 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要
条件是：
（2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θ
θθθ-⎛⎫=
⎪-⎝⎭
，则120072007
()P A A
P --+= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩r 不为3，则
r= （4） 若A 为2n+1阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =
（5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则221n
i i E A λ=-∑ =
二、 选择题（共20分）
(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B （1） 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘c 相当于对A ：
A ，左乘一个m 阶初等矩阵，
B ，右乘一个m 阶初等矩阵
C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，
D ，右乘一个n 阶初等矩阵
（2） 若A 为m ×n 矩阵，()min{,}r A r m n =<。

集合{:'0,}m M X X A X R ==∈则 B C
A ，M 是m 维向量空间，
B ， M 是n-r 维向量空间
C ，M 是m-r 维向量空间，
D ， A ，B ，C 都不对
（3）若n 阶方阵A ，B 满足，224A B = ，则以下命题哪一个成立 C D A ， 2A B =±， B ， ()()r A r B = C ， det 2det A B =±， D ， 都不对
（4）若A 是n 阶初等矩阵，则以下命题那一个成立：A A ，矩阵1A -为初等矩阵， B ，矩阵 -1A -为初等矩阵 C ，矩阵*A 为初等矩阵， D ，矩阵 -*A 为初等矩阵
（5）4n+2阶行列式111110
100-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为：
A ，1，
B ，-1
C ， n
D ，-n 三、解下列各题（共30分）
1．求向量013β⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，在基1231110,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
下的坐标。

2．设1020200,
2001A AB A B -⎛⎫ ⎪
==+ ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵1B --A
3．计算行列式11335
119
92513727125
191
81
625
-- 4.计算矩阵134092
663103969300233A -⎛⎫
⎪
----
⎪
= ⎪---- ⎪
--⎝⎭
列向量组生成的空间的一个基。

5. 设120201012...
...
...
.........n n n a b b b b a b b A b b a b b b b a ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪=
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
计算det A 四、证明题（10分） 设12,,
,r ξξξ是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系， η不是线性方程组0AX =的一
个解，求证1
2,,,,r ξ
ξξη线性无关。

六、（8分）a 取何值时，方程组无解？
七、（4分）设矩阵A
，B ，A +B 都是可逆矩阵，证明矩阵11A B --+也是可逆矩阵。

《2007年线性代数B 》参考答案
三 填空题 每个四分
（1） rankA=rank(A|B)=n
（2）2cos 200700
2cos 2007θθ⎛⎫
⎪⎝⎭
（3）r=2
（4） 1 （5）0 二 选择题
(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B 三 解答题
(1) 设向量β在基123,,ααα下的坐标为123(,,)T x x x ，则
1232313013
x x x x x x x ++=⎧⎪
+=-⎨⎪+=⎩
（4分） 123
132x x x =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩ （6分） (2)
111111
()()0
201204
20()2
0021024000
10
20
2AB A B A E B A A E A B A A E B B A A E ------=-∴+=+=∴+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪=+== ⎪⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
则（2分） （6分）
(3)
138240
23
8119
480238101
901115)96(310
42395111063
2242620
84780120
2424020
12
6
5331-=-⨯
-=--⨯⨯-=-⨯⨯⨯=--
（6分） （4）
1351340
913409002380023800692400005008122700000()3
(1,2,3,3),(4,6,6,4),(9,10,3,0)T T T
A rank A ααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴==--=--=--一个基（4分）
（6分） （5）
01212
101
10220
1
000000
00000000
()()
1
n
i n n i i
n n n
i i a b a b b b b a
b b b a b b a a b a b b a a b a b b a a b a b n
a a
b i i i a b b a b ==-⎛
⎫-⎛⎫ ⎪
-
⎪
⎪-- ⎪ ⎪- ⎪=--= ⎪- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
⎪-⎝
⎭
=+-=∑
-∑∏
-原式（6分）
四 证明： 六，证明 七
《 2007线性代数-1 》试卷
一、填空题（共20分）
1．设行列式729
819164164127
9311)(3
2
x x x
x D =
，则方程0)(=x D 的所有解是：
2．已知矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------------=11111
11111111111A ，则矩阵20012,A A 分别等于： 3．设n λλλ,...,,21是n 阶对称方阵A 的n 个特征值，n ξξξ,...,,21是对应的特征向量，若
21λλ≠，则向量21,ξξ的夹角是：
4．若方程组⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=-5
154
54343232121a x x a
x x a x x a x x a x x 有解，则54321a a a a a ++++的值等于：
5．若矩阵A 是n 阶实矩阵，且O AA T
=，这里O 为零矩阵，则矩阵A 的所有特征值为：
二、选择题（共20分）
7．若矩阵A 和B 都是n 阶正定矩阵，若n 是任意自然数，则
A ，3)53(=+
B A rank ， B ，5)53(=+B A rank
C ，n B A rank =+)53(，
D ，)53(B A rank +不能确定
8．设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A ，B 为n m ⨯ 矩阵，现有四个命题
（1）若AX=0的解均是BX=0的解，则)()(B rank A rank ≥ （2）若)()(B rank A rank ≥，则AX=0的解均是BX=0的解 （3）若AX=0与BX=0同解，则)()(B rank A rank = （4）若)()(B rank A rank ≥，则AX=0与BX=0同解
以上命题中正确的是 A ， （1）（2）， B ， （1）（3） C ， （2）（4）， D ， （3）（4）
9．若A ，B 是任意n 阶方阵，则以下等式中一定成立的是： A ，222)(B A AB = B ，111)(---=A B AB C ，B A B A det det )det(+=+， D ，***)(A B AB =
10．
若n 阶方阵,,,A B C D ，满足n n ABCD I ⨯=，则有
A ，n n BACD I ⨯=，
B ， n n ABD
C I ⨯= C ，n n DABC I ⨯=，
D ， n n ACBD I ⨯=
11．
若A 是n 阶方阵，则A 是n 阶正交方阵的充分必要条件不是
C ， A 的列向量构成n R 的单位正交基 B ，1)det(±=A C ， A 的行向量构成n R 的单位正交基
D ，T A A =-1 三、解下列各题（共30分）
1．求向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4211α，在基⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,110,111321ααα下的坐标。

2．设A 是三阶方阵且2
1=
A ，求*
12)3(A A --的值 3．计算行列式0
............0...0...0x x x
x x x
x x x x
x x
4. 设向量组)0,1,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321-=---=---==αααα。

求向量组的一个最大无关组。

5. 设⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=3212A ，计算100
A 四、证明题（8分）
设向量123,,ξξξ线性无关，求证：向量12233123,5,4ξξξξξξ+-+线性无关。

六、（8分）求方程组的一个基础解系
七、（6分）设矩阵A ，B 是正定矩阵，证明分块矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛B O
O A 也是正定矩阵。

湖南商学院2006年度（线性代数）期末考试试卷
一、填空题（每小题2分，共20分）
1.如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------33
32
31
2322
21
13
1211
222222222a a a a a a a a a 。

2.设2
32621932
186
2131-=
D ，则=+++42322212A A A A 。

3.设1
,,4321,0121-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。

4.设齐次线性方程组⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则=a 。

5.A 、B 均为5阶矩阵，2,2
1
==
B A ，则=--1A B T 。

6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。

7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。

8.若31212
322212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。

9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。

10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。

二、单项选择（每小题2分，共10分）
1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=λ++=+λ+=++λ0
00321
321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）
A .1或2
B . －1或－2
C .1或－2
D .－1或2.
2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则
=A （ ）
A .5
B .-5
C .-3
D .3
3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）
A .0=+
B A
B .））B r A r ((=
C .O A =或O B =
D .0=A 或0=B
4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是
（ ）
A ．21+ββ
B ．
()21235
1
ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-
三、计算题 (每题9分，共63分)
1.计算n 阶行列式a
b b b
a b b
b a D n =
2. 设B A ,均为3阶矩阵，且满足B A E AB +=+2
，若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=101020101A ，
求矩阵B 。

3.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=769,103,321321ααα和⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01,12,110321b a βββ；已知3β可以
由321,,ααα线性表示, 且321,,ααα与321,,βββ具有相同的秩,求a ,b 的值。

4. 已知向量组⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα
（1）求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

5. 已知线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=+++=+++a
x x x x x x x x x x x x 4321
432143219105363132
（1）a 为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）. 6. 设矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=2001,1141D P ，矩阵A 由关系式D AP P =-1确定，试求5A 四、证明题（7分）
已知3阶矩阵O B ≠，且矩阵B 的列向量都是下列齐次线性方程组的解
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+-=-+0
3020
232
1321321x x x x x x x x x λ，
（1）求λ的值；（2）证明：0=B 。

参考答案与评分标准
一.
填空题
1．-16； 2. 0；3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21107； 4. 1； 5.-4； 6. ⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=121242121665
5A ； 7.λ1A ；8.3535<<-t ； 9. 2
π
； 10. 24。

二. 单项选择： 1. C ； 2. A ；3. D ； 4. B ； 5. C . 三.计算题：
1. a
b b
a b b b n a a b b b a b b b a D n 111]
)1([-+== 4分
1)]()1([000
01])1([---+---+=n b a b n a b a b a b b b n a
9分
2. B A E AB +=+2⇒E A B AB -=-2
⇒))(()(E A E A B E A +-=- 3分 因为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=-001010100E A 显然可逆
6分
则 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=201030102101020101E E A B
9分
3. ,3/3/521000126093101713602931⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b b b b 3分 即5=b ，且2),,(321=αααr
5分 那么2),,(321=βββr ，则
6分
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-015013012
1501301210111210a a b a ，即15=a 9分
4. ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---00
00
10000
02110
012
01
442
2002110163301120108624243122553111201 4分 3),,,,(54321=αααααr
5分 其极大线性无关组可以取为521,,ααα
7分 且：521302αααα+-=，521402αααα++=
9分
5. ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5000011210040011612602242013211910513163
11321
1a a a 当5-=a 时，线性方程组有解 4分
即⎩⎨⎧+-=-=4
3241214x x x x x ，特解为⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=γ00100， 6分
其导出组的一般解为⎩⎨⎧+-=-=4
324124x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=η⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=η1014,012021 8分 原线性方程组的通解为2122110,(k k k k η+η+γ为任意常数） 9分
6. 由D AP P =-1，得1-=PDP A
2分 155-=P PD A
4分
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=1141313200111411141
31200111415
7分 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121144431141321128131 9分
7. f x x x x x x x x x x x x (,,)123122232
1213232224=+++++ =x x x x x x x x x 12
123232
22
2322++++++()() 2分 =()()x x x x x x 1232
232
32
++++-
4分 令y x x x y x x y x 1123
2233
3=++=+=⎧⎨⎪⎩⎪ 6分
即作线性变换x y y x y y x y 1122233
3=-=-=⎧⎨⎪
⎩⎪
8分
可将二次型化成标准形f y y y =+-122232
9分 四.证明题：
因为O B ≠，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式
051
13121
21=λ=-λ--，所以0=λ 3分
（2）⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000250
12
1113012121A ，2)(=A r ，因此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为3-2=1，故1)(≤B r ，因而0=B。

7分
一、判断题(正确填T ，错误填F 。

每小题2分，共10分)
1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。

（ ）
2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则
111)(---=A B AB 。

（ ） 3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。

( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。

( )
5．n 维向量组{
}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。

（ ） 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。

（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+
3．设A 为n 阶方阵，且2
50A A E +-=。

则
1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +
4．设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。

（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；
（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；
（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ）
（A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0
（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|
三、填空题（每小题4分，共20分）
1．01
2
1
0n n
- 。

2．A 为3阶矩阵，且满足=A 3,则1-A =______，*3A = 。

3．向量组1111α⎛⎫
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭，2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3247α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，
4120α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。

4． 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3，
11234η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2344
44ηη⎛⎫ ⎪ ⎪
+= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭，则方程组Ax b =的通解为 。

5．设
23111503A a -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，且秩(A )=2，则a = 。

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

1．已知A+B=AB ，且
121342122A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，求矩阵B 。

2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)αβ=--=--，而T A αβ=，求n
A 。

3.已知方程组1123211232
123x x ax x x x x ax x a ⎧
++=-⎪⎪
-+=-⎨⎪
⎪-++=⎩有无穷多解，求a 以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型
5． A ，B 为4阶方阵，AB+2B =0，矩阵B 的秩为2且|E+A |=|2E -A |=0。

（1）求矩阵A
的特征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E |。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结论。

2．设A 为m n ⨯矩阵，且的秩()R A 为n ，判断T
A A 是否为正定阵？证明你的结论。

线性代数试题解答
一、
1．（F ）（
A A n
λλ=） 2．（T ）
3．（F ）。

如反例：100010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，000010001B ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭。

4．（T ）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F ） 二、
1．选B 。

初等矩阵一定是可逆的。

2．选B 。

A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与1α，2α，3α等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。

3．选C 。

由052
=-+E A A ⇒()2232()3A A E E A E A E E +-=⇒+-=，
()1
12()
3A E A E -⇒+=-)。

4．选D 。

A 错误，因为n m <，不能保证()(|)R A R A b =；B 错误，0=Ax 的基础解系含有()A R n -个解向量；C 错误，因为有可能()(|)1R A n R A b n =<=+，b Ax =无解；D 正确，因为()R A n =。

5．选A 。

A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,P Q ，使得
1112(,,
,)n PAP diag QBQ λλλ--==，因此,A B 都相似于同一个对角矩阵。

三、1．
()!11
n n +-（按第一列展开） 2． 31；53（*A 3=233A
）
3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。

124,,ααα。

因为3122ααα=+，124| |0A ααα=≠。

4． ()()T
T
k 42024321
--+。

因为()3=A R ，原方程组的导出组的基础解系中
只含有一个解向量，取为1322ηηη-+，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。

5．6=a （())02=⇒=A A R 四、
1．解法一：
AB B A =+⇒()1
()A E B A B A E A --=⇒=-。

将A E -与A 组成一个矩阵(|)A E A -，用初等行变换求1(|())E A E A --。

()|A E A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221121243233121120)(31r r --⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛221121243233100001
23r r -⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛--523100301010100001。

故
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523301100B 。

解法二：AB B A =+⇒
()1
()A E B A B A E A --=⇒=-。

1021101()332113121326A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因此1
001()103325B A E A -⎛⎫ ⎪ ⎪
=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭。

2．解：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--------==1111111111111111T A αβ，A A 42-=， ()
()
1
1
()()
()()()
()44n n n T T T T T T T T A A
αβαβαβαβαβαβαβαβ--===-=-。

3．解法一：由方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b =<，因此其系数行列式
11||1
1201
1
a
A a
=-=-。

即1-=a 或4=a 。

当1-=a 时，该方程组的增广矩阵
于是()(|)23R A R A b ==<，方程组有无穷多解。

分别求出其导出组的一个基础解系
13122T
-⎛⎫
⎪⎝⎭，原方程组的一个特解()100T -，故1-=a 时，方程组有无穷多解，其通
解为
()
13100122T
T
k -⎛⎫
-+ ⎪
⎝⎭，
当4=a 时增广矩阵
1141(|)112114116A b -⎛⎫
⎪
⎪=--→
⎪ ⎪-⎝⎭1141022000015-⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
()2(|)3R A R A b =<=，此时方程组无解。

解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。

2221111
11111(|)1121022002
201101111
00
(1)(4)12a a a A b a a a a a a a a a a ⎛
⎫
⎪
---⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪-++- ⎪⎝⎭⎝⎭+-- ⎪⎝
⎭由
于该方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b =<。

因此21
(1)(4)10
2a a a +-=-=，即1a =-。

求通解的方法与解法一相同。

4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。

二次型的矩阵
122224242A -⎛⎫
⎪
⎪=-- ⎪ ⎪
-⎝⎭，2122||224(2)(7)
242A E λλλλλλ---=---=--+-- 因此得到其特征值为122λλ==，37λ=-。

再求特征值的特征向量。

解方程组(2)0A E x -=，得对应于特征值为122λλ==的两个线性无关的特征向量
()
1210T
η=-，
()
2201T
η=。

解方程组(7)0A E x +=得对应于特征值为37λ=-的一个特征向量()3122T
η=-。

再将()1210T η=-，()2201T η=正交化为()1210T p =-，22
4155T
p ⎛⎫=
⎪⎝⎭。

最后将()1210T p =-，
22
4155T
p ⎛⎫
=
⎪
⎝⎭，()3122T η=-单位化后组成的矩阵即
为所求的正交变换矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--323
503215545531155255
2，其标准形为
2
32221722y y y f -+=。

5． 解：（1）由02=-=+A E A E 知-1，2为A 的特征值。

02=+B AB ⇒()02=+B E A ，故-2为A 的特征值，又B 的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A 的特征值为-1，2，-2，-2。

（2）能相似对角化。

因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A 有四个线性无关的特征向量，故A 可相似对角化。

（3）E A 3+的特征值为2，5，1，1。

故E A 3+=10。

五、1．BA AB -为对称矩阵。

证明：
()()()T T T BA AB BA AB -=-=T T T
T B A A B -=()B A BA ---=BA AB -，
所以BA AB -为对称矩阵。

2．A A T
为正定矩阵。

证明：由()A A A A T
T
T
=知A A T
为对称矩阵。

对任意的n 维向量0α≠，由()n A R =得0≠αA ， ()ααA A T
T =2
αA 0≠，由定义知A A T
是正定矩阵。

成都理工大学2006—2007学年 第一学期《线性代数》考试试卷（A ）
一.填空题（每空3分，共30分）
1. 已知A* =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛4031，则A = 。

2. A 、B 、C 是同阶矩阵，A 可逆，若AB = AC ，则B = 。

3. 若A 2= E ，则A 1- = 。

4. 设A = 1，A 2 = 32，则A 为 阶矩阵。

5. 行列式D = 4206201
3
-中，元素6的代数余子式为 。

6. A 、B 、C 是同阶方阵，且A ≠0，BA=C ，则B= 。

7. 逆序数τ（23541）= 。

8. n + 2个n 维向量的相关无关性为 （填“相关”“无关”或“不确定”）。

9. 向量组的 所含向量的个数称为向量组的秩。

10. 若n 阶实矩阵A 满足 ，则称A 为正交矩阵。

二.单项选择题（每小题3分，共15分）
11. A 、B 是同阶方阵，下面结论中（ ）是正确的。

(A) 若AB = 0且B ≠0，则A = 0； (B) 若AB = 0且B ≠0，则A = 0；
(C) 若AB = 0且B ≠0，则A ≠0； (D)若A ≠0，则A 是可逆矩阵。

12. n 阶行列式D 的值为零的充要条件是（ ）
(A)某一行元素全为零； (B)某两行元素相等； (C) D 的秩＜n ； (D)两行对应元素成比例. 13. 若A 是( )，则A 不一定是方阵。

(A)对称矩阵； (B)方程组的系数矩阵； (C)可逆矩阵； (D)上（下）三角形矩阵。

14. 两个非零向量α、β线性相关的充分必要条件是（ ）
(A)α、β的对应分量成比例； (B)α=β；
(C)α、β中有一个是零向量； (D) 0α+0β=0不成立. 15. 齐次线性方程组AX=0有非零解是它的基础解系存在的（ ）。

(A)充要条件； (B)必要条件； (C)充分条件； (D)无关条件.
三.解答下列各题：（21分）
16. 计算D = 1
2
2
2
111b a a c c b b a c
a c b
c b a
+++ 17. 证明若对称矩阵A 为非奇异矩阵，则A 1-也对称。

18. 设α1=(1，2，3，4)，α2=(1，3，5，7)，α3=(2，6，10，11)，
α4=(3，7，11，15)。

回答下列问题： (1) 求r(α1,α2,α3,α4)；
(2) 求此向量组的一个极大线性无关组。

四、（5分）
19. 设三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，求1-A 的值
20.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111012111，（1）求A 1
-；（2）若AX =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123052141，求X 。

六.（9分）
21. 用基础解系求下列方程组的全部解.
成都理工大学2006—2007学年第一学期 《线性代数》考试试卷（A ）参考答案及评分标准
一. 填空题（每空3分，共30分）
1. ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-1034 2. C 3. A 4. 5 5. 6 6. 1-CA 7. 5 8. 线性相关 9.极大线性无关组 10. 1-='A A
二.单项选择题15分 11——15依次为： A C B A A 三. （16—18各7分，共21分）
16. 1
2
2
2
111b a a c c b b a c
a c b
c b a
+++012
2
11
1=++++++++++++++=b
a a c d
c b a b a
d c b a a
c d c b a c b d c b a （7分） 17. 证明：若A A '=且1-A 存在，（2分） 则()()11
1---='='A A A （5分）
18. 解：⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡00
00
0300121020
01
33
30
24201210321
1
1511741110537632
3211
（4分） (1) r(α1,α2,α3,α4) = 3 （1分） (2)可选α1,α2,α3为此向量组的一个极大线性无关组。

（2分） （方法对变换有误给4分）
19. 设三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，求1-A 的值 解：A 的特征值为1，2，3，则6=A ， （2分）
6
1
11==
-A A （3分） 五、20.（10分）
()⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101220012210001111100111010012001111AE
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→2/112/31001110102/102/1001123200012210011101 （4分）
故⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=-2/112/31112/102/11A （1分）
若AX =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123052141，则X =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2/112/31112/102/1⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123052141 （2分） =⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------221212132
（3分） 六.（9分）
21. 解：
方程组化为⎩⎨⎧=+=-1
4231x x x x ，有特解⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00100η （5分）
对应齐次方程组为⎩⎨⎧=+=-0
4231x x x x ，有基础解系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01011η，⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10102η （3分）
方程组的全部解为22110ηηηk k ++ （1分）
成都理工大学2008级《线性代数》考题（2010年1月用）
(附答案)
一、 填空题（每空3分，共15分）
1. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33
3
22
2
111
c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡=33
3
22
2
111
d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A 20 2. A 为3阶方阵，且2
1
=
A ，则=--*12)3(A A 27
16
-
3. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是0,21====n n λλλ
4. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向
量组(n βββ ,,21)的秩为 n
二、选择题（每题3分，共15分）
5. 设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+--=-032231
322
1ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（A ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 6. A.B 同为n 阶方阵，则（C ）成立
(A) B A B A +=+ (B) BA AB =
(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A
7. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=3332
31
2322
21
131211
a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332
1231
111312
1123
2221
a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P , ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则（C ）成立
(A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 8. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （D ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 9. 设A 为n n ⨯矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（B ） （A ）任意r 个列向量线性无关 (B) 必有某r 个列向量线性无关
(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组
(D) 任意1个列向量均可由其余n －1个列向量线性表示
三、计算题（每题7分，共21分）
10. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=300041003A 。

求1)2(--E A
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-100021
21001
11. 计算行列式1
11111111
1111
111--+---+---x x x x (4x )
12. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11322002a A 与⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=b B 00020001相似，求a 和b 的值
(2,0-==b a )
四、计算题（每题7分，共14分）
13. 设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1
-A 的特征向量为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=11k ξ，求k 的值
(2-=k 或0=k )
14. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111λα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λα113,⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=111β（1）问λ为何值时，321,,ααα线性无关（2）
当321,,ααα线性无关时，将β表示成它们的线性组合
(3212
1
)1(2121)2(1)1(ααλαβλ+--=-≠)
五、证明题（每题7分，共14分）
15. 设3阶方阵0≠B ，B 的每一列都是方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+-=-+0
302022321
321321x x x x x x x x x λ的解
（1）求λ的值（2）证明：0=B ( )2(1)1(=λ略 ) 16. 已知4321,,,αααα为n 维线性无关向量，设
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,1,0,144332211αβαβαβαβ，证明：向量4321,,,ββββ线性无关 六、 解答题（10分）
18．方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=+++λ
λλλ321
321321)1(3)1(0
)1(x x x x x x x x x ，满足什么条件时，方程组
（1） 有惟一解（2）无解（3）有无穷多解，并在此时求出其通解 ( (1)3-≠λ且0≠λ;(2)0=λ;(3)3-=λ,解略)
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）
1. 若02
2
1
50
1
31
=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=32312221
1211
a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032
=--E A A ，则=-1
A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）
1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）
2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）
3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（ ）
4. ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=01
00
10000001
0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1
-A 的特征值为λ。

( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)
1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T
A A （ ）。

① n
2
② 1
2
-n
③ 1
2
+n ④ 4
2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关
② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量
3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关
④ 任意1+n 个n 维向量线性无关
4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆
④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆
5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ）
① 解向量
② 基础解系
③ 通解 ④ A 的行向量
四、计算题 ( 每小题9分，共63分)
1. 计算行列式
x a
b c d a
x b c d
a b x c d a b c x d
++++。

2. 设B A AB 2+=，且A ,410011103⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛= 求B 。

3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=20
001200312
043
12C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。

4. 问a 取何值时，下列向量组线性相关？123112211
,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
⎝⎭⎝⎭。

5. λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=++-=++2
23
321
321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷
多解时求其通解。

① 当1≠λ且2-≠λ时，方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解
③当1=λ时，有无穷多组解，通解为⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c
6. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组，
并将其余向量用该极大无关组线性表示。

7. 设100010021A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求A 的特征值及对应的特征向量。

五、证明题 (7分)
若A 是n 阶方阵，且，I AA =T
，
1-=A 证明 0=+I A 。

其中I 为单位矩阵。

一、填空题 1. 5 2. 1≠λ
3. n n s s ⨯⨯，
4. 相关
5. E A 3- 二、判断正误 1. × 2. √
3. √
4. √
5. ×
三、单项选择题 1. ③ 2. ③
3. ③
4. ②
5. ①
四、计算题 1.。