6.1.1 特征值和特征向量的概念

6.1.1 特征值和特征向量的概念
小结 (1) 特征值、特征向量、特征子空间、特征多 项式的概念 (2) 计算特征值和特征向量的方法
即是对应于特征值 λ0 的全部特征向量,
其中ci为F上不全为零的常数.
6.1.1 特征值和特征向量的概念
−2
例1
设
A
=
0
−4
1 1
2
0
,
求A的特征值与特征向量．
1 3
λ 2 1 1
解 det( λE A) 0 λ 2 0
4 1 λ 3
( λ+1)λ 22 ,
从而 A的特征值为 λ1 1, λ2 λ3 2.
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对于特征值λ1= − 1, 解线性方程组(− E − A)X =0,
即求解
1
0
−1 −3
−1 0
x1 x2
0 = 0
4 −1 −4 x3 0
得到一个基础解系 X1=(1, 0,1)T .
所以属于λ1 1的全部特征向量为
c1 X1 , 其中c1为F中非零常数.
得到一个基础解系X1 =(1, i)T .
所以属于λ1 2i 的全部特征向量为
c1 X1 , 其中c1为非零复数.
6.1.1 特征值和特征向量的概念
对于特征值λ2 = − 2i, 解线性方程组(−2iE − A)X = 0,
得到一个基础解系 X2 =(1,i)T . 所以属于λ2 = 2i 的全部特征向量为 c2 X2 (其中c2是非零复数).
6.1.1 特征值和特征向量的概念
定义 设 λ0是 A 的一个特征值, 则 Vλ0 = { X ∈ F n | AX = λ0 X }
构成F n 的子空间,
称为A的属于特征值 λ0 的特征子空间.
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注1
特征子空间Vλ0由A的属于特征值λ0 的特征向量和零向量构成.
det(λ
En
−
A)
−a21 =
λ − a22
−a2n
−an1 −an2 λ − ann
称为A的特征多项式, 记为 fA(λ).
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注
λ0 是A的一个特征值, X是A的属于特征值λ0 的特征向量 ⇔ λ0 是 fA(λ) 的属于数域F的根且 X是(λ0E − A)X = 0的非零解.
对于α ∈V , 若α 在ξ1,ξ2 ,,ξn下的坐标为X , 则λα在ξ1,ξ2 ,,ξn下的坐标为λ X , ϕ (α )在ξ1,ξ2 ,,ξn下的坐标为AX , 所以ϕ(α )=λα的充分必要条件是AX=λ X.
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定义 设 A是数域F上n阶方阵,
若存在 λ0 ∈ F , 0 ≠ X ∈ F n, 使得 AX = λ0 X ,
则称 λ0 是A的一个特征值, X 为A 的属于特征值 λ0 的特征向量.
注 一个非零向量不能属于不同的特征值.
X ≠ 0, AX =λ0 X =λ1 X ⇒ λ0 = λ1 .
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问
若α , β 均为特征值λ0 的特征向量, 则α +β , kα (k ≠ 0)是否也是特征值λ0 的特征向量?
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定理 设A, B是数域F上的n阶方阵, 若A相似于B, 则
证明
fA(λ ) = fB (λ ).
设A相似于B, 则存在可逆矩阵P, 使得B=P −1 AP.
所以 detλE B= det( λP1P P1 AP )
= det( P1( λE A)P ) det( λE A).
c2 X 2 c3 X 3 (其中c2 , c3是F中不同时为0 的数).
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例2
在复数域上求矩阵
A
=
0 −2
2
0
的特征值与特征向量．
解 det( λE A) λ 2 =λ2+4.
2λ
从而 A的特征值为λ1 2i, λ2 2i.
对于特征值λ1=2i, 解线性方程组(2iE − A)X = 0,
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求特征值和特征向量的方法
1. 计算A的特征多项式= fA(λ ) det(λ E − A); 2. 求出 fA(λ ) 的所有根, 在F 中的是特征值; 3. 对每个特征值 λ0 , 求齐次线性方程组 (λ0En − A) X = 0
的一个基础解系X1, X2, …, Xs , 则c1 X1 + c2X2 + … + csXs
6.1.1 特征值和特征向量的概念
对于特征值λ2 = λ3 =2, 解线性方程组 (2E − A)X = 0,
即求解
4 0
−1 0
−1 x1 0 −1 −1 x3 0
得到一个基础解系 X2 =(0,1,1)T , X3 =(1, 0, 4)T ,
所以属于λ2 = λ3 =2的全部特征向量为
ξ
2
,
,
ξ
n
)
λ2
,
λn
则ϕ= (ξi ) λ= iξi , i 1, 2,, n.
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定义 设 ϕ 是数域F上n维线性空间V 的线性变换, 若存在 λ0 ∈ F , 0 ≠ α ∈V , 使得ϕ (α ) = λ0α , 则称 λ0 是线性变换 ϕ 的一个特征值, α 为ϕ 的属于特征值 λ0 的特征向量.
第六章 特征值
6.1 特征值和特征向量 6.1.1特征值和特征向量的概念
6.1.1 特征值和特征向量的概念
问题
对于给定的线性变换 ϕ , 能否找到线性空间V 的一个基 ,
使得ϕ 在这个基下的矩阵形状比较简单.
注 若存在V的一个基ξ1,ξ2 ,,ξn , 使得
λ1
ϕ
(ξ1
,
ξ
2
,
,
ξ
n
)
=
(ξ1
,
注2
由于AX=λ0 X ⇔ (λ0 E − A)X = 0,因此 Vλ0 是齐次线性方程组(λ0 E − A)X = 0 的解空间, 而(λ0 E − A)X = 0 的一个基础解系是Vλ0的一个基.
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定义
设A=(aij)n×n, 将
λ − a11 −a12 −a1n
即fA(λ ) = fB (λ ).
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注 由于同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的, 而相似矩阵有相同的特征多项式, 因此有
定义
线性变换ϕ 的特征多项式 fϕ (λ ) 为ϕ 在任意一个
基下的矩阵A的特征多项式.
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问 相似矩阵有相同的特征多项式, 其逆命题成立么？
6.1.1 特征值和特征向量的概念
定义 Vλ0 = {α ∈V | ϕ (α ) = λ0α } 称为 ϕ 的属于特征值 λ0 的特征子空间.
注
特征子空间Vλ0 由ϕ 的属于特征值 λ0
的特征向量和零向量构成.
6.1.1 特征值和特征向量的概念
设V 是数域F上n 维线性空间, ϕ ∈ L(V ), ξ1 ,ξ2 , ...,ξn 是V 的一个基, 且 ϕ (ξ1 ,ξ2 , ...,ξn ) = (ξ1 ,ξ2 , ...,ξn )A.