2020年四川省成都市石室联合中学高三数学文下学期期末试题含解析

2020年四川省成都市石室联合中学高三数学文下学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）
A．{1，2，3} B．{0，1，2，3}
C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}
参考答案：
B
分析：把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，得到集合A∪B．由此根据集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，能求出A∪B．
解答：解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，
集合B={2，3}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故选B．
点评：本题考查集合的并集的定义及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意并集中相同的元素只写一个．
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．16π﹣B．16π﹣ C．8π﹣ D．8π﹣
参考答案：
D
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．
∴该几何体的体积V=﹣
=8π﹣．
故选：D．
3. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有且当
时，的值为（）
A．-2 B．-
1 C．
2 D．1
参考答案：
D
略
4. 已知全集U=R，集合，则图中的阴影部分表示的集合为
A.(-∞,1]U(2,+∞)
B.
C.[1，2)
D.(1，2]
参考答案：
A
图中的阴影部分表示的集合为,
故选 A .
5. 已知离心率为的双曲线，其右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
抛物线的焦点坐标为（4，0），由已知得双曲线的右焦点为（4，0），半焦距，且，，，双曲线的离心率，因此故选择C。

6.
过点P（－3，3）作圆的切线，则切线方程是（） A．4x+3y+3=0 B．3x+4y－3=0 C．4x－
3y+21=0 D．3x－4y+21=0
参考答案：
答案:C
7. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 7
参考答案：
C
考点:程序框图．
专题:算法和程序框图．
分析:由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；
当i=2时，S=1+2﹣1=2；
当i=3时，S=2+3﹣1=4；
当i=4时，退出循环，输出S=4；
故选C．
点评:本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．
8. 已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n=16a12，则
+的最小值为（）
A. B. C. D. 不存在
参考答案：
C
【分析】
利用等比数列的通项公式及条件，求出m，n的关系式，结合均值定理可得.
【详解】设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，
化简得，q2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
因为a m a n=16a12，所以=16a12，则q m+n-2=16，解得m+n=6，
所以.
当且仅当时取等号，此时，解得，
因为mn取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，
验证可得，当m=2、n=4时，取最小值为，
故选：C．
9. 已知直线与直线平行且与圆：相切,则直线的方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
参考答案：
D
10. 命题“，”的否定是（）
A.，
B.，
C.，
D.不存在，
参考答案：
B
根据命题的否定知，，的否定为，，故选B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图为函数f(x) ＝tan（）的部分图象，点A为函数f（x）在y轴右侧的第一个零点，点B在函数f(x)图象上，它的纵坐标为1，直线AB的倾斜角等于＿＿＿＿．
参考答案：
12. 若（x2+）n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为．（用数字作答）
参考答案：
10
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】解：令x=1可得（x2+）n展开式的各项系数之和为2n=32，∴n=5，
故其展开式的通项公式为 T r+1=?x10﹣5r，令10﹣5r=0，求得 r=2，
可得常数项为=10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
13. 函数的图像经过四个象限的充要条件
是 .
参考答案：
答案：
14. 已知向量，，则||的最大值为．参考答案：
15. 在三棱锥S-ABC中，，，，
，则异面直线SC与AB所成角的余弦值为__________．
参考答案：
【详解】如图,取A为原点、AB和AS所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系.
则点,
故,.
于是,所求夹角的余弦值为.
故答案为：
16. 已知的最大值与最小值分别为M，N。

则
M+N=
参考答案：
2
17. 若△ABC的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
参考答案：
60°（2，+∞）
分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.
详解：，
，即，
，
则
为钝角，，
故.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f
（a n）…是首项为4，公差为2的等差数列．
（I）设a为常数，求证：{a n}成等比数列；
（II）设b n=a n f（a n），数列{b n}前n项和是S n，当时，求S n．
参考答案：
【考点】数列与函数的综合；等差关系的确定；数列的求和．
【专题】综合题；转化思想．
【分析】（I）先利用条件求出f（a n）的表达式，进而求出{a n}的通项公式，再用定义来证{a n}是等比数列即可；
（II）先求出数列{b n}的通项公式，再对数列{b n}利用错位相减法求和即可．
【解答】证明：（I）f（a n）=4+（n﹣1）×2=2n+2，
即log a a n=2n+2，可得a n=a2n+2．
∴==为定值．
∴{a n}为等比数列．
（II）解：b n=a n f（a n）=a2n+2log a a2n+2=（2n+2）a2n+2．
当时，．
S n=2×23+3×24+4×25++（n+1）?2n+2 ①
2S n=2×24+3×25+4×26++n?2n+2+（n+1）?2n+3 ②
①﹣②得﹣S n=2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）?2n+3
=﹣（n+1）?2n+3=16+2n+3﹣24﹣n?2n+3﹣2n+3．
∴S n=n?2n+3．
【点评】本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．
19. 已知椭圆C：=1，直线l：（t为参数）．
（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
（Ⅱ）设 A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．
参考答案：
考点：椭圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．
分析：（Ⅰ）直接利用三角代换写出椭圆C的参数方程，消去此时t可得直线l的普通方程；
（Ⅱ）利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式，通过椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，列出方程，即可求点P的坐标．
解答：解：（Ⅰ）椭圆C：（θ为为参数），l：x﹣y+9=0．…
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），则|AP|==2﹣cosθ，
P到直线l的距离d==．
由|AP|=d得3sinθ﹣4cosθ=5，又sin2θ+cos2θ=1，得sinθ=，cosθ=﹣．
故P（﹣，）．…
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，参数方程的应用，点到直线的距离以及两点间距离公式的应用，考查计算能力．
20. 已知函数，
（1）讨论的单调性，
（2）设，证明：当时，，
（3）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：
参考答案：
解：(1) f (x)的定义域为(0,+∞)
(ⅰ) 若时, ,所以f (x)在(0,+∞)内单调递增
(ⅱ) 若时, 由得, 且内单调递增
时f (x)单调递减
(2) 设
当时，，而∴
即时
(3) 由(1)可得，当，f (x)单调递增，所以f (x)与x轴至多有一个交点，不合题意. 故a>0,从而, 且
不妨设，则
由(2)知
即
略
21. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）在x=3处取得极值0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x），x∈[1，3]图象上两个不同的点，且，图象在A（x1，y1），B（x2，y2）两点处的切线的斜率分别为k1，k2，证明：．
参考答案：
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可．
（2）求出的解析式，根据基本不等式的性质证明即可．
【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意得，解得：，
故f（x）=x3﹣6x2+9x；
（2）f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），
∵1≤x i≤3（i=1，2），
故x i﹣1≥0，3﹣x i≥0，（i=1，2），k1≤0，k2≤0，
=
=3?
≤3??
=3?=3（1﹣）．
∴．
22. 设函数（，实数）.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）求证：.
参考答案：
（1）；（2）证明见解析.
【分析】
(1)将化为,解一元二次不等式可得答案;
(2)先求出函数的最小值,再证明最小值即可. 【详解】（1）∵，∴，
即，解得.
（2），
当时，；当时，；
当时，
∵，∴，
当且仅当即时取等号，∴.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了求分段函数的最值，考查了基本不等式求最值，属于基础题.。