广东高二高中数学期中考试带答案解析

广东高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知全集, 集合则( )
A．B．C．D．
2.已知复数，则（）
A．B．C．D．
3.设，若，则（）
A．B．C．D．4.“”是“”的( )
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5.命题“，”的否定是( )
A．，≥0B．，
C．，≥0D．，
6.若点满足线性约束条件，则的最大值为（）
A．1B．2C．3D．4
7.已知且，则下列不等式中成立的是( )
A．B．C．D．8.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）
A．B．
C．D．
9.定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（）A．B．C．或D．
10.函数是上的可导函数,时，，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．
二、填空题
1.在长为的线段上任取一点, 则点与线段两端点、的距离都大于的概率是 .
2.双曲线的中心在坐标原点，离心率等于，一个焦点的坐标为，则此双曲线的方程是．
3.将石子摆成如下图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成,判断数列的第项
______________;
4.曲线：（为参数）上的点到曲线：(为参数)上的点的最短距离为．
5.如图，是⊙的直径延长线上一点，与⊙相切于点，的角平分线交于点，则
的大小为_________．
三、解答题
1.设函数，，,且以为最小正周期．
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）已知，求的值．
2.某中学一位高三班主任对本班名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查,得到的统计数据如下
表所示:
(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理由.
3.如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面,
．
(1)求证：平；
(2))若，求四棱锥的体积．
4.已知数列中，,.
（1）求，的值；
（2）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（3）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
5.已知椭圆过点，两个焦点为，.
(1)求椭圆的方程；
(2),是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.
6.已知函数
(1)求在点处的切线方程；
(2)证明：曲线与曲线有唯一公共点；
(3)设，比较与的大小, 并说明理由.
广东高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.已知全集, 集合则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为全集,对于集合
【考点】全集与补集
2.已知复数，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意
【考点】复数的运算
3.设，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，则，故由题
【考点】导数及其运算
4.“”是“”的( )
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，但不一定得到，故“”是“”的充分不必要条件。

选B
【考点】充要条件
5.命题“，”的否定是( )
A．，≥0B．，
C．，≥0D．，
【答案】C
【解析】“”的否定是“”，“ ”的否定是“≥0”.故
命题“，”的否定是，≥0
【考点】命题的否定
6.若点满足线性约束条件，则的最大值为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由得，画出表示的可行域如图，联立，解得，平移直线，由图可知，使取得最大值的最优解为的最大值为
【考点】简单的线性规划问题
7.已知且，则下列不等式中成立的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A．当时不成立，同理B．、 C．也不成立，由指数函数的单调性， D.成立
【考点】不等式，指数函数的单调性
8.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由三视图，该几何体为底面为等腰直角三角形、高为1的直三棱柱，其体积为
【考点】三视图，柱体的体积
9.定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（）A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】由题意，，故
【考点】向量的夹角的计算
10.函数是上的可导函数,时，，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，时，，则讨论的根的个数转化为
求的根的个数.设，则当时，,函数在上单调递增，当时，,函数在上单调递减，而函数是上的连续可导函数，故无实数根
【考点】函数的零点与方程根的联系，导数的运算
二、填空题
1.在长为的线段上任取一点, 则点与线段两端点、的距离都大于的概率是 .
【答案】
【解析】设“长为3m的线段AB”对应区间,“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件 A，则满足A的区间为根据几何概型的计算公式可得，
【考点】几何概型
2.双曲线的中心在坐标原点，离心率等于，一个焦点的坐标为，则此双曲线的方程是．
【答案】
【解析】∵离心率等于2，一个焦点的坐标为，，且焦点在轴上，
所以双曲线的方程为
【考点】双曲线的性质
3.将石子摆成如下图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成,判断数列的第项
______________;
【答案】D
【解析】由已知的图形我们可以得出：图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：
n=1时，
n=2时，
n=3时，
…
由此我们可以推断：
∴，故选D
【考点】归纳推理
4.曲线：（为参数）上的点到曲线：(为参数)上的点的最短距离为．【答案】1
【解析】则圆心坐标为；
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为
所以要求的最短距离为
【考点】点到直线的距离，圆的参数方程，直线的参数方程
5.如图，是⊙的直径延长线上一点，与⊙相切于点，的角平分线交于点，则
的大小为_________．
【答案】
【解析】如图所示，连接OC，则
又因为∠APC的角平分线为PQ，，在中
，
又
【考点】圆的切线的性质及判定定理
三、解答题
1.设函数，，,且以为最小正周期．
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）直接令代入即可求出；
（2）由的周期求出，即可；
（3）令代入化简得，利用平方关系即可求出
(1)∵函数，∴
(2) ∵函数，，，且以为最小正周期．
∴∴
(3)∵，∴，∴
∴∴∴∴
【考点】函数的图像和性质
2.某中学一位高三班主任对本班名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查,得到的统计数据如下表所示:
(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理由.
【答案】(1)
【解析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数50，满足条件的事件数分别是24，19，根据概率公式得到结果．
（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．
(1)设“抽到积极参加班级工作的学生”为事件A，“抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生”为事件B，则由古典概型
(2)根据
所以,我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系.
【考点】古典概型，相关性分析
3.如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面,
．
(1)求证：平；
(2))若，求四棱锥的体积．
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明，B C，利用面面平行的判定定理可得结论；
(2)首先要找到四棱锥，为此连接，，，易证，即为四棱锥的高，最后求得，可求四棱锥的体积
（1）由是菱形
由是矩形
（2）连接，
由是菱形，
由,
，
则为四棱锥的高
由是菱形，，
则为等边三角形，
由；则
，分
【考点】平面与平面平行的判定；棱锥的体积
4.已知数列中，,.
（1）求，的值；
（2）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（3）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）分别令代入，即可求出，的值
（2）根据需要求证的结果，由构造数列，可得（3）由（2），利用错位相减法求得，分类讨论当n为偶数和n为奇数时的情况，可求的取值范围
（1）由知，，
又是以为首项，为公比的等比数列，
（2），
，
两式相减得
，
若n为偶数，则
若n为奇数，则
【考点】等比数列，错位相减法求和，分类讨论思想
5.已知椭圆过点，两个焦点为，.
(1)求椭圆的方程；
(2),是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并
求出这个定值.
【答案】(1) （2）直线的斜率为定值
【解析】(1) 由题意，设椭圆方程为，将代入即可求出，则椭圆方程可求. (2)设直线AE方程为：，代入入得
，再由点在椭圆上，根据结直线的斜率与的斜率互为相反数，结合直线的位置关系进行求解．（1）由题意，设椭圆方程为，
因为点在椭圆上，所以，解得，
所求椭圆方程为
（2）设直线方程为，代入得
设，，点在直线上
则，；
直线的斜率与直线的斜率互为相反数，在上式中用代替得
，，
直线的斜率
所以直线的斜率为定值
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
6.已知函数
(1)求在点处的切线方程；
(2)证明：曲线与曲线有唯一公共点；
(3)设，比较与的大小, 并说明理由.
【答案】(1)
【解析】(1)首先求出，令，即可求出在点处的切线方程的斜率，代入点斜式即可求出切线方程
(2)令则，根据，讨论在上单调递
增，所以，所以在上单调递增，
，又，即函数有唯一零点，所以曲线与曲线有唯一公共点. (3)作差得，令,讨论
，的单调性，得到在上单调递增，而，所以在上，可得时，
（1) ，则，点处的切线方程为：,
(2) 令，，则，
且，，
因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以，所以在上单调递增，又，即函数有唯一零点，
所以曲线与曲线有唯一公共点.
(3) 设
令且，则
，所以在上单调增，且，
因此，在上单调递增，而，所以在上即当时，且，
所以，
所以当时，
【考点】导数在研究函数时的应用，曲线的切线方程。