中考数学专题复习 开放探究试题-人教版初中九年级全册数学试题

开放探究专题
开放探究题是相对于条件完备，结论明确的题型而言的，其特征是满足结论的条件不全，或满足条件的结论不唯一，或推理过程不确定，需要同学们依据题意与要求进行猜想、探索、发现、归纳来补全所需条件，结论或选择相关的求解途径．这类问题知识覆盖面广，题型灵活多变，是当前初中阶段培养学生创新意识与探究能力的数学问题．
一、条件开放型
条件开放探究题一般是已给出问题的结论，而要求补加满足结论条件的一类题型，其特征是问题的条件不完备，且所要补充的条件不一定是得出结论的所必须的条件，即不一定由结论唯一推出．
解条件开放型问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求其合乎要求的一些条件．
例1 （2015•某某）如图1，已知AB=BC ，要使△ABD ≌△CBD ，
还需要加一个条件，你添加的条件是______,(只需写一个，不添加辅
助线).
解析：由已知AB=BC 及公共边BD=BD 可知，要使△ABD≌△CBD ，已经
具备了两条边相等，根据全等三角形的判定定理，应该有两种方法SAS 或
SSS 能使这两个三角形全等．所以可添∠ABD=∠CB D 或AD=CD ．
评注：根据图形探究三角形全等的条件，除了根据基本判定方法以外，还应善于挖掘图形中隐藏条件（如公共边、公共角、对顶角等），以及线段的和差、角的和差关系等．
例2 （2015•某某）已知，△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是______（写出一个即可）．
解析：本题由于没有确定相似三角形的对应顶点，所以应分两种情况讨论：①当
△AEF∽△ABC 时（如图2-①），由点E 为AB 中点，得AF=AC （或点F 为AC 中点，EF ∥
BC ，∠AEF=∠B 等）；若使△AFE∽△ABC （如图2-②），则应添加∠AFE=∠ABC 或∠AEF=∠ACB 等．
图1
E B C A E
F A C F B ① ②
图2
评注：本题考查了相似三角形判定的方法，可添加的条件较多，要注意题目中公共角这一隐藏条件的应用．
跟踪训练：
1．（2015•黔东南）如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，连接BD.请添加一个适当的条件_______________，使得△ABD≌△CDB .（只需写一个）.
第1题图 第2题图 2．（2015•某某）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO=CO ，请添加一个条件_______________（只添一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形.
二、结论开放型
结论开放探究题是根据给出的问题条件探究相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，可很好的培养学生的发散思维．
在解答结论开放性探究题时，要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻地分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证做出取舍；对于需要找出多个结论的结论开放性问题，可以运用分类讨论的思想，从各个不同的侧面入手，进行探索、分析，寻找问题的结论．
例3 （2015•某某）对于两个二次函数1y ，2y ，满足8322221++=+x x y y ．当
m x =时，二次函数1y 的函数值为5，且二次函数2y 有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数2y 的解析式_________（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．
分析：已知当x=m 时，二次函数y 1的函数值为5，且二次函数y 2有最小值3，故抛物线2y 的顶点坐标为（m ，3），设出顶点式求出m 的确值即可．
解：因为当m x =时，二次函数1y 的函数值为5，2y 的函数值为3，此时821=+y y ，
D C
B
A
所以当m x =时，03222=+x x ，即03222=+m m 得0=m 或3-=m ，又因为此
时2y 有最小值，故抛物线2y 的顶点坐标为(m ，3)，用顶点式设出解析式为()32
2+-=m x a y ，随着a 取值的不同，2y 的解析式也不断变化，如当1=a 时，解析式为322+=x y 和()3322++=x y ．
评注：本题考查了二次函数的图象和性质，解答本题的关
键是求出m 的值．
例4 （2015•崇左）如图3，线段AB 是⊙O 的直径，点C
在圆上，∠AOC ＝80°，点P 是线段AB 延长线上的一动点，连
结PC ，则∠APC 的度数是________度（写出一个即可）．
分析：根据三角形外角性质可知，∠APC 的度数大于零度，且小于∠APC
度数，故只需求出∠ABC 度数，便可确定∠APC 的度数的X 围．
解：因为圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 对的是同一条弧，所以∠ABC ＝12
∠AOC ＝40°．根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，知∠APC ＜∠ABC ，即0°＜∠APC ＜40°，据此写一个度数即可．
评注：此题主要考查了圆周角定理，根据题意得出∠ABC 的度数是解题关键．
跟踪训练：
3．（2015•某某）已知y 是x 的反比例函数，当x >0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式．
4.（2015•义乌）如果抛物线2y ax bx c =++过定点M （1，1），则称此抛物线为定点抛物线．小敏写出了一条定点抛物线的一个解析式y=2x 2
+3x ﹣4．请你写出一个不同于小敏的答案________． C
· O A B P 图3
第4题图 5．（2015•潜江天门）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB=CB ，AD=CD ．请你写出与筝形ABCD 的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.
三、综合开放性问题
综合开放型问题又称为条件、结论全开放型问题，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，要求学生通过合理推理，透彻分析总结出结论，从而培养学生的发散思维能力．
根据这类问题的特点，在解答时，必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索
条件和结论，并进行证明或判断．
例5 如图4，点A 、B 、D 、E 都在圆上，弦AE 的延长线与弦BD
的延长线相交于点C ．给出以下三个论断：①AB 是圆的直径；②点D
是BC 中点；③AB=AC ．以三个论断中的两个作为已知条件，第三个作
为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明． 分析：以三个论断中两个为条件，一个为结论，共有三种组合：即由①②推出③；由①③推出②；由②③推出①．然后分别根据图形，结合所学知识，分析三
个组合的正确与否即可．
解：正确的命题可以是由①②推出③，证明如下：
连接AD ，因为AB 是圆的直径，所以AD ⊥BC.又因为点D 为BC 中点，
所以AD 垂直平分BC.所以AB=AC ．
（由①③推出②和由②③推出①也都是真命题，证明过程请自主完成）
B
A C
D
D E A
B
图4
评注：本题属于条件和结论全开放的问题，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和90°的圆周角与直径的关系是解答本题的关键．
跟踪训练
6．如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（）
A.0
B.
C.
第6题图
7.（2015•某某）先化简：
2
2
21
()
211
x x
x x x x
+
÷-
-+-
，再从－2＜x＜3的X围内选取一个
你喜欢的x值代入求值.
四、存在性问题
存在性问题是指在一定条件下，探索发现某种数学关系是否存在的一类问题，它往往有“是否存在”“是否成立”等词语出现．
解答此类问题的方法是首先对问题的结论作出肯定存在的
假设，按题目中条件和所学知识进行推理、计算，若推出的结
论合理，则说明假设成立，反之，则假设不成立．
例5 （2015•某某，有改动）如图5，已知抛物线y=﹣x2+bx+c
与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
⑴求该抛物线的解析式；
⑵在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD 的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
G 图5
分析：⑴把A （﹣1，0）、B （3，0）两点代入y=﹣x 2+bx+c 即可求出抛物线的解析式，⑵设D （t ，322++-t t ），过点D 作DH⊥x 轴于点H ，交BC 于点G ，设△BCD 的面积为S ，根据CDG BGD BCD S S S ∆∆∆+=，即可求出S 与t 之间的函数关系式，从而求出D 点坐标及△BCD 面积的最大值.
解：⑴把A （﹣1，0）、B （3，0）两点代入y=﹣x 2+bx+c 中得，
解得
所以抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3.
⑵存在，理由如下：
设D （t ，322
++-t t ）.过点D 作DH⊥x 轴于点H ，交BC 于点G ，由⑴易得点C 的坐标为（0，3），
设直线BC 的解析式为b kx y +=，将B （3，0）和C （0，3）代入，得 ⎩⎨⎧=+=0
b 3k 3b ，解得⎩⎨⎧==1-3b k ， 所以直线BC 的解析式为3+-=x y ，则G 点坐标为（t ，3+-t ）.
所以DG=G y -D y =322++-t t -（3+-t ）=t t 32+-，
设△BCD 的面积为S ，且CDG BGD BCD S S S ∆∆∆+=，
所以S=
()()()t t t t t t 321332122+-+-+-=()t t t 3212+-，配方，得S=8
2723212+⎪⎭⎫ ⎝⎛--t . 所以当23t =时，面积有最大值为827，此时点D 坐标为（23，4
15）. 评注：在解答坐标系中三角形面积问题时，通常是将所求三角形转化为边在坐标轴上的三角形，或一些边与坐标轴平行的三角形面积之和或面积之差。

跟踪训练：
8．（2015•黔东南）如图，已知二次函数c x x y ++
-=4132
1的图像与x 轴的一个交点为A （4,0），与y 轴的交点为B ，过A 、B 的直线为b kx y +=2. （1）求二次函数1y 的解析式及点B 的坐标；
（2）由图像写出满足21y y <的自变量x 的取值X 围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
第8题图
跟踪训练参考答案：
1．AB CD =，或AD BC ∥，或=A C ∠∠，或=ADB CDB ∠∠.
2．AB ∥CD ；或AC ∥BD ；或∠BAO=∠DCO ；或∠ABO=∠CDO ；或DO=BO ；或∠ADO=∠CBO.
3．答案不唯一，如．
4．本题答案不唯一，如y=x 2﹣2x+2
5．（1）∠DAB=∠DCB ；（2）BD 平分∠ADC 和∠ABC ；（3）DB ⊥AC ，DB 平分AC 等均可．证明略.
7.原式=21x x -．可取x =2代入上式，21x x -=2
221
-=4．
注：所代入的数值不能是-1、0、1，其他的均可，
8.（1）34
1321++-=x x y ，点B 的坐标为(0,3). （2）x ＜0或x ＞4.。