北师大版数学高一必修1第一章第2节集合的基本关系

§2 集合的基本关系
1．理解子集的概念，并能写出给定集合的子集、真子集．
2．熟记集合相等的定义，能判定给定集合间的关系．
3．会用Venn图表示或判断集合间的关系．
1．Venn图
(1)定义：在数学中，为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的____表示集合，称为Venn图．
(2)使用方法：把____写在封闭曲线的内部．
常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形．
2．子集
(1)一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的____，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A______集合B，或集合B包含集合A，这时我们说集合A是集合B的子集，记作A____B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
(2)当A B时，用Venn图表示，如图①，图②所示．
(3)规定：空集是任何集合的____，即A.
子集性质：任何一个集合都是它本身的子集，即A A；对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C.
【做一做1】列举出集合{1,2,3}的所有子集．
3．集合相等
(1)定义1：只要构成两个集合的__________是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等.
(2)定义2：如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即___________，且集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，即___________，那么就说集合A与集合B相等，记作A＝B.
(3)图示：当A ＝B 时，用Venn 图表示，如图所示．
【做一做2】 试确定整数x ，y ，使得{2x ，x ＋y }＝{7,4}． 4．真子集 (1)定义：如果集合A B ，且________，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B
A )．
(2)图示：当A B 时，用Venn 图表示，如图所示．
(3)当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，记作A B (或B A )．
空集是任何非空集合的真子集，即
A (A ≠
)．
当A
B 时，A B 或A ＝B .
【做一做3】 下列说法正确的是( )． A ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 B ．任何一个集合必有一个真子集 C ．任何集合都有子集 D ．空集不是空集的子集
答案：1．(1)内部 (2)元素
2．(1)元素 包含于 (3)子集
【做一做1】 解：集合{1,2,3}的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共8个．
3．(1)元素 (2)A B B A
【做一做2】 解：由集合相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝7，x ＋y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＝4，
x ＋y ＝7，
解得⎩⎨⎧
x ＝72
，y ＝1
2
或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝5.又x ，y 是整数，故⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝5. 4．(1)A ≠B
【做一做3】 C 此题主要考查对子集、真子集概念的理解以及空集的有关问题，注意
以下几个结论：①任何非空集合既有子集又有真子集，而空集只有子集(空集本身)，没有真子集．②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．故A，B，D是错误的，应选C.
1．如何理解子集的概念？
剖析：(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝时，A B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都使A B成立．
2．符号∈和有什么区别？
剖析：符号∈只能适用于元素与集合之间，符号∈的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，2∈R；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}{1,0}，{x|x＜2}{x|x＜3}．
题型一确定集合的子集、真子集
【例1】设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
分析：要确定集合A的子集、真子集，首先必须清楚集合A中的元素．由于集合A中的元素是方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0的根，所以要先解该方程．
反思：(1)求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．
(2)解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即和集合自身．
(3)集合的子集、真子集个数的规律为：含有n个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个
真子集，有(2n －2)个非空真子集．
题型二 集合的相等
【例2】 已知集合A ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x ，y x ，B ＝{－x 2,0}，若A ＝B ，则x 2 009＋y 2 010＝__________，
A ＝
B ＝__________.
反思：解决此类问题的步骤：(1)利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．(2)把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍去．
题型三 判断集合间的关系
【例3】 设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{ x |x ＝
⎭⎬⎫
k 4＋12，k ∈Z ，则( )．
A ．M ＝N
B ．M N
C ．M
N D ．M ∩N ＝
反思：判断两个集合间的关系时，主要是根据这两个集合中元素的特征，结合有关定义来判断．对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可得它们之间的关系；对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以用列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明．
题型四 已知两集合之间的关系，求参数的范围
【例4】 设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B A .求实数m 的
取值范围．
分析：由B A 可得集合B ＝
或B 中的任何一个元素都在集合A 中，可借助数轴解
决．
反思：已知两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式．
本题中，集合B 可能为
易被忽视，要注意这一“陷阱”，B
A 表明集合
B 的元素都
是集合A 的元素，其中包含B ＝
.
题型五 易错辨析 易错点 忽略空集致错
【例5】 已知集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，Q ＝{x |mx －1＝0}，若Q P ，则实数m ＝
__________.
错解：由P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，得P ＝{－3,2}；
由Q ＝{x |mx －1＝0}，得Q ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1m .∵Q
P ，
∴1m ＝－3或1m ＝2，解得m ＝－13或m ＝12. 则实数m 的值可取－13或12.
错因分析：当集合Q ＝，即m ＝0时，显然也满足Q
P ，错解中少了对这种情况的
讨论．
答案：【例1】 解：将方程(x 2－16)(x 2＋5x ＋4)＝0因式分解得(x －4)(x ＋1)(x ＋4)2＝0，则可得方程的根为x ＝－4或x ＝－1或x ＝4.故集合A ＝{－4，－1,4}，其子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4,1,4}，真子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
【例2】 －1 {－1,0} 根据集合相等的定义知x ＝0或y
x
＝0.
当x ＝0时，y x 无意义，所以只能y
x ＝0，得y ＝0，代入A ，B 得A ＝{x,0}，B ＝{－x 2,0}．
又∵A ＝B ，∴－x 2＝x .∴x ＝0或x ＝－1. 当x ＝0时，不合题意，舍去．
当x ＝－1时，A ＝{－1,0}，B ＝{－1,0}． ∴A ＝B ，符合题意．
∴x 2 009＋y 2 010＝(－1)2 009＋02 010＝－1.
【例3】 B M 中，x ＝k 2＋14＝2k ＋1
4，N 中，x ＝k ＋24，由于k ∈Z ，
∴M 中的x 表示14的奇数倍，N 中的x 表示1
4的整数倍．
∴M N .
【例4】 解：当m －1＞2m ＋1，即m ＜－2时，B ＝，符合题意． 当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠.
由B A ，借助数轴表示如图所示．
则⎩
⎪⎨⎪⎧
m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52
.
综上所述，m ＜－2或0≤m ≤52
.
【例5】 正解：由P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，得P ＝{－3,2}． 当m ＝0时，方程mx －1＝0无解，此时集合Q ＝，满足题意； 当m ≠0时，方程mx －1＝0的解为x ＝1m ，此时集合Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1m .
∵Q P ，∴1m ＝－3或1m ＝2，解得m ＝－13或m ＝1
2.
综上所述，实数m 的值为0或－13或1
2.
1 下列关系中正确的个数为( )． ①0∈{0}；②
{0}；③{0,1}
{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2 集合A ＝{x |0≤x ＜3且x ∈N }的真子集的个数是( )．
A ．16
B ．8
C ．7
D ．4
3 已知集合A ＝{x ∈R |－2＜x ＜4}，B ＝{x |x －5＜0}，则A 与B 之间的关系为( )． A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．不确定
4 已知集合M ＝{－8,1,9}，集合N ＝{1，m －1}，若N M ，则实数m ＝__________.
5 已知M ＝{0,2，b }，N ＝{0,2，b 2}，且M ＝N ，求实数b 的值．
答案：1．B ①②正确，③④错误．
2．C 由题意知，A ＝{0,1,2}，故A 的真子集的个数是23－1＝7.
3．A 为便于考察A ，B 中元素的范围，利用数轴把A ，B 表示出来，如图所示．
∵x －5＜0，∴x ＜5.因此B 中元素不能都属于A ，但A 中元素都小于5(即都在B 中)，由真子集的定义知A 是B 的真子集．
4．－7或10∵m－1∈N，N M，∴m－1∈M.
∴m－1＝－8或m－1＝9.∴m＝－7或10.
5．分析：由b＝b2解得b，要注意满足集合元素的互异性．解：∵M＝N，∴b＝b2.
解得b＝1或b＝0(舍去)．∴b＝1.。