第四章杆件的应力及强度条件

一、横截面上的切应力
m

m 1.平面假设
圆轴扭转变形前原为平面的
横截面，变形后仍保持为平面，
T
形状和大小不变，半径仍保持为
直线，且相邻两截面间的距离不

。
。 A
变。 结论：圆轴扭转时，横截面上
只有切应力且垂直于径向。
29
2.切应力公式推导
m
m
dx

dx
O1
O2
A
a
c b
c1
a
d
d
e
d1
1）变形几何关系
aa dx d



d
dx
2）物理关系


max

R
d
dx
p (线弹性范围内)

G
G d
dx
d : 对于确定截面为一常数
dx
3）静力学关系
30
T

。
。 A
max
T 。
max
3）静力学关系

G d
FN
A
的符号规定同 FN
结论：横截面只有正应力且与轴力同向，并且各点 的正应力相等。
4
PS: 1、公式是在拉伸时导出的，同样可以应用于压缩。 2、外力合力的作用线必须与杆的轴线重合。 3、公式只在杆件距离力作用点较远部分才成立。 4、杆件必须是等截面直杆。若杆截面变化时，横截面上的应
计算有效挤压面面积 已知h, d,求AS
F F
25
求木板和钉子在剪切面和挤压面上的应力。 1.钉子
D
d
木板 钉子 F
h t
钉

FS钉 AS钉

F
dh
bs

Fbs Abs

F
(D2 d2)
4
2.木板
木
FS木 AS木
F
Dt
26
例题2-2 在图示铆接头中，已知：F=24 kN，b＝100mm，
假设：挤压面的应力是均匀分布的
bs

Fbs Abs
3.挤压的强度条件：
bs

Fbs Abs
[ bs ]
Abs : 有效挤压面面积
24
4.确定有效挤压面面积 1）当接触面为平面时，有效挤压面面积等于接触面面积； 2）当接触面为圆柱面时，有效挤压面面积等于垂直于挤
压力的直径平面上的投影面积；
16
TBD 2.0kN m
所以全轴最大切应力为17.3MPa。
34
作业： P34 24；
35
§4-4 梁的弯曲正应力及强度计算
一、概念
1. 纵向对称面 2. 平面弯曲
3. 纯弯曲：剪力为零的弯曲。 4. 横力弯曲：剪力和弯矩不等于零的弯曲。
剪力是相切于横截面的内力系的合力：
Fs 。
4m
解： 1.求轴力
3m
3
5
①
FN1 4 F 27k N FN 2 4 F 45k N
2.强度校核
4
m
②F
max1

FN 1 A1

27 103
122
238.7Mpa
[ ]1
FN 2
4
FN 1
max2

FN 2 A2
45 10 3 64 10 2
7Mpa
22
二、连接件的实用计算
1、剪切的实用计算
F F
1. 剪切面 2.名义切应力： 假设：受剪面的应力是均匀分布的
FS
FS
F
F
AS
F
3.强度条件：
F
FS [ ]
AS
23
2、挤压的实用计算
F
F F
1.挤压（局部承压）；挤压力
（正应力）； 挤压面
F
2.名义挤压应力：
（4） ， 1 90 ，1 - ，即切应力互等定理。
（切应力互等定理：两互相垂直截面上，切应力数值相等，方向
为共同指向或背离梁垂直面的交线。）
7
3. 应力集中的概念
杆件局部截面发生突变，在突变的局部区域内，应力急剧 增加的现象称为应力集中。
Kt

max m
---应力集中系数
t＝10mm，d＝17mm，钢板的 17，0 M铆Pa钉的
140 MPa
许用挤压应力 bs 32，0 M试Pa校核其强度。
F
d
F
t t
解： max

FN Amin
F (b d )t

24 103
100 17 10

28.9MPa

10
延伸率
l1 l 100 % ,
l
塑性材料和脆性材料？
5% 5%
截面收缩率
A A1 100%
A
c)冷作硬化

d
p1
比例极限提高， 塑性变形减少。
p
d1
o
残余变形

11
2）没有明显屈服阶段的塑性材料 中碳钢、某些高碳钢以及合金钢、铝合金、青铜（金属
等截面拉压杆：
max

FN max A


16
2）三种强度计算：
a）强度校核：
max
100 %
5%
安全
b）截面设计：
A
FN max

c）许可载荷的确定：
FN m ax A
面积取大值， 载荷取小值。
17
例题2-1：如图示，F=36kN，， []1=140Mpa ，[]2=20Mpa a=80mm，d=12mm ，试校核其强度并合理选择其杆件截面尺寸。
FBD

F
sin
,
FBC F c tan
F
lBC l,
ABC

FBC
[ ]
,
lBD

l
cos
,
ABD

FBD
[ ]
,
20
例题：图示结构中两杆的材料相同，许用应力为[]，横截面 面积分别为A和2A，试求结构的许用载荷。
A
F 2A
l/2 l/2
[F]=2A []
21
作业：P29 1；P30 8；
[ ]2
强度不够。
F
18
3.截面设计
A1

FN1
[ ]1
27 10 3 140 10 6
1.92857104 m2
解得：d 1.567 102 m d 16mm
A2

FN 2
[ ]2
45 103 2.25103 mm2 20
解得：a 47.43mm
a 48mm
注意配套单位：N，m，Pa； N，mm，MPa。
19
在图示结构中，BC和BD杆的材料相同，且抗拉、压 许用应力相等，已知 F ,l和许用应力 ，为[使] 结构的用
料最省，试求 的合理值。
用料最省：体积最小
D
W (lBC ABC lBD ABD )
C

l
B
由结点 B的受力，得
力将不再是均匀的。如果截面变化比较缓慢时，可以近似 应用公式。
(x) FN (x)
A( x)
5
2.斜截面上的应力
：x轴逆时针旋转到外法线on
时取正。
F
斜截面上应力也是均匀分布的。
F
p

F A
F cos A
F
cos
( A

c
A os
，F

F)
n
k

o k
p
k
2）铸铁在压缩时的力学性能
14
小结：塑性材料和脆性材料的力学性能的主要差异:
1.塑性材料的塑性指标 ( , )高， 而脆性材料的
塑性指标较低； 2.塑性材料的抗拉抗压性能相近，而脆性材料的抗压 性能比抗拉性能强；
3.二者对应力集中的敏感程度不相同。特例：灰铸铁 可以不考虑应力集中的影响。
15
Sz 0
M y
z dA
A

0
Iyz

0
dA y
M z
y dA M
A
FN
E y dA E
A

ydA
A
E

Sz
0
M z
yE
y E dA
A


A
y2 dA

E

Iz

M
1 M
EI z
M y
Iz
39
My
Iz
min
D
max
d
d3
WP 16
WP

D3
16
(1 4 )
（ d ）
D
32
二、切应力强度条件及计算
强度条件： max
等截面圆轴 ： max

Tm a x Wp


33
三、典型例题
例题3-1 圆轴左段为实心，D＝100 mm，右段为空心，外 径为D，内径为d＝80 mm，受力情况如图所示，求全轴最 大切应力。
dx
T
A dA
G d 2dA G d
A dx
dx
2dA
A
令：I p
2dA
A
d T
dx GI p



T
Ip


R(半径）
max

TR Ip
31
令：WP

Ip R
称为抗扭截面系数
max
T Wp
T
max
T
max
d
max
§4-2 拉压杆的强度条件、连接件的实用计算
一、拉压杆的强度条件
1、极限应力、许用应力、安全因数
极限应力( u ) 塑性材料： s 或 0.2 脆性材料： b
许用应力( ) u
n
n nnbs
2、强度条件及计算 1）强度条件：
m ax
1.5 ~ 2.0 2.5 ~ 3.0
材料等，除16Mn钢之外，几乎都没有明显屈服极限。 名义屈服极限： 0.2 0.2 : 塑性应变等于0.2%时的应力值

0.2
o

0.2%
12
3）脆性材料在拉伸时的力学性能 铸铁、陶瓷、混凝土

b
衡量脆性材料强度的唯一指
标是材料的抗拉强度b
o

13
3、材料在压缩时的力学性能 1）低碳钢在压缩时的力学性能
1
第四章 杆件的应力及强度计算
§4-1 拉压杆应力、拉压材料的力学性能 §4-2 拉压杆的强度条件、连接件的实用计算 §4-3 圆轴扭转切应力及强度条件 §4-4 梁的弯曲正应力及强度条件 §4-5 梁的弯曲切应力及强度条件 §4-6 梁的合理强度设计
2
§4-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
一、拉压杆的应力
l 为标距即工作段的长度
9
2、材料在拉伸时的力学性能
1）低碳钢拉伸时的力学性能 加载方式: 常温静载试验
a)四个阶段： 弹性阶段： p(e) 屈服阶段： s 强化阶段： b 局部变形阶段：

上屈服点
c
b 下屈服点 a
e f
b p e
s
b)两个塑性指标：
o

弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 局部变形阶段
8
二、材料在拉压时的力学性能
力学性能：材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能。 1、试验设备和试件
1.万能试验机：加力部分、测力部分、自动测绘装置 2.标准试件：圆截面标准试件、矩形截面标准试件 圆截面标准试件： l 10d或l 5d 矩形截面标准试件：l 11.3 A或l 5.65 A
p
k
F
F
p cos cos2
p sin
sin 2
2
正应力：拉为正； 切应力：绕） 0 ， max 最大正应力发生在横截 面上。
cos2



2
sin 2
（2） 45 ， max 2 最大切应力发生在与杆轴成45 斜面上。 （3） 90 ， 0 纵向截面上无应力。
1、横截面上的正应力
F
a
d
a1
d1
F
横截面上与 FN
对应的应力是正
b1
c1
b
c
应力 。
F

微面 dA上内力 dA 组成
FN
一垂直于横截面的平行力系，
其合力等于轴力 。FN
3
FN dA dA A
A
A
由平截面假设（变形后横截面仍保持平面）可知，所有纵向纤维 伸长相等，即受力相同，也就是横截面上各点的正应力相等，均 分布的。

F
Fb
bs

Fbs Abs
F dt

24 103 17 10
141 .2MPa

bs
横截面的形状？
FS AS

F d2

24 103 17 2
105 .8MPa
4
4
所以强度足够。

27
作业：P32 15；
28
§4-3 圆轴扭转切应力及强度计算
︵︵ ︵
( cd - ef )/ef
( y )d d d
y
2）物理关系
p (线弹性范围内 ) :
E E y
38
M
M
E E y
3）静力学关系 所以y, z为形心主轴。
z x
y dA
FN
dA 0
A
弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩：
M。
36
二、纯弯曲梁横截面上的正应力
1.假设 1)平面假设： 中性层 中性轴
2)单向受力假设：纵向纤维 仅承受轴线拉力或压力
z x
（xy平面为纵向对称面） y
中性层 中性轴
37
2.正应力公式推导
dx
M
M
ef
y ab
O
d
e
f
y
d
c
1）变形几何关系
︵
(cd - ab) / ab
2. 求全轴最大切应力
AB C
0.5
D 2.0 kNm
0.5 0.5 1.0
(m)
解： 1.分段求扭矩
TAB 2.5kN m
max1

TAB WP1

2.5 10 6
100 3
12.7MPa
16
max 2
TCD WP2
2.0 10 6
100 3 1 0.84 17.3MPa