离散数学

解：列出各题真值表如下(步骤简略)
(1)、(2)、(5)、(6)、(9)为重言式； (3)、(8)为矛盾式； (4)、(7)、(10)及以上的重言式均为可满足式。
第三节 等值演算
内容： 内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。 重点： 重点：(1) 掌握两公式等值的定义。 (2) 掌握24个重要等值式，并能利用 其进行等值演算。
二、逻辑联结词。 逻辑联结词。
简单命题（不能再分解成更简单的命题） 命题 复合命题（由简单命题用联结词联结而成的命题）
常用的联结词有 ¬, ∧ , ∨ , →, ↔ 这五种
p 1、“非 ”称为 p 的否定式，记作 ¬p
真值表
例如：p ：11是素数； ¬p ：11不是素数 p 取值1， p 取值0。 ¬
例4、 p ：天下雨，q ：我骑车上班。 (1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 ¬p → q (2) 只要天不下雨，我就骑车上班。 (3) 只有天不下雨，我才骑车上班。
¬p → q
q → ¬p
(或 p → ¬q )
(4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。 ¬p → q (5) 如果天下雨，我就不骑车上班。
例1、判断 A, B 两公式是否等值。 (2) A = p ↔ q ， B = ( p → q ) ∧ (q → p ) 解：作真值表如下：
二、重要等值式。 重要等值式。 1、交换律 A ∨ B ⇔ B ∨ A ，A ∧ B ⇔ B ∧ A 2、结合律 ( A ∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C ) ，
第二节 命题公式及分类
内容： 内容：命题公式，重言式，矛盾式，可满足公式。 重点： 重点：(1) 掌握命题公式的定义及公式的真值表。 (2) 掌握重言式和矛盾式的定义及使用真 值表进行判断。
一、命题公式 通俗地说，命题公式是由命题常项，命题变项， 联结词，括号等组成的字符串。 规定：公式中最外层的括号，及 (¬A) 的括号可省略。
( A → B ) ∧ ( A → ¬ B ) ⇔ ¬A
三、等值演算。 等值演算。 置换定理：如果 A ⇔ B，则 φ ( A) ⇔ φ ( B )。 例2、验证下列等值式。 、 (1) p → ( q → r ) ⇔ ( p ∧ q ) → r (2) (3)
( p ∧ (q ∧ r ) ) ∨ ( ¬p ∧ (q ∧ r ) ) ⇔ q ∧ r q ∨ ¬ ( (¬p ∨ q) ∧ p ) ⇔ 1
¬( A ∧ B ) ⇔ ¬A ∨ ¬B
5、等幂律 6、吸收律
A ∨ A ⇔ A ，A ∧ A ⇔ A
A ∨ ( A ∧ B) ⇔ A ，
A ∧ ( A ∨ B) ⇔ A
二、重要等值式。 重要等值式。 7、零律 8、同一律 9、互否律
A ∨ 1 ⇔ 1 ，A ∧ 0 ⇔ 0
A ∨ 0 ⇔ A ，A ∧1 ⇔ A A ∨ ¬A ⇔ 1 (排中律)，
例1、判断下列句子中哪些是命题。 (7) 明天有课吗？ (8) 本语句是假的。 (9) 小明和小林都是三好生。 (10) 小明和小林是好朋友。 判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈 述句，再看其真值是否唯一。 命题常项，命题变项均用 p, q, r ,⋯ , pi , qi , ri ⋯ 表示。
p → ¬q
5、“p 当且仅当 q ”称 p, q的等价式，记作 p ↔ q 。 p 是 q 的充要条件， 也是 p 的充要条件。 q 真值表：
例5、 p ：2 + 2 = 4 ，q ：3是奇数 (1) 2 + 2 = 4 当且仅当3是奇数。 p ↔ q (2) 2 + 2 = 4 当且仅当3不是奇数。 p ↔ ¬q (3) 2 + 2 ≠ 4 当且仅当3是奇数。 ¬p ↔ q (4) 2 + 2 ≠ 4 当且仅当3不是奇数。 ¬p ↔ ¬q
(
)
3、真值表。 公式 A 的解释或赋值
成真赋值 （使A为真的赋值） 赋值 成假赋值 （使A为假的赋值）
如公式 A = ( p ∧ q ) → r ，110( p = 1, q = 1, r = 0 ， 按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010…… 等是 A 的成真赋值。 n 含 n( n ≥ 1) 个命题变项的命题公式，共有2 组 不同赋值。
例6、将下列命题符号化。 (1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。 设 p ：小王是游泳冠军， q ：小王是百米赛跑冠军。 原语句化为 p ∨ q。 (2) 小王现在在宿舍或在图书馆。 设 p ：小王在宿舍，
q ：小王在图书馆。 原语句化为 p ∨ q 。
例6、将下列命题符号化。 (3) 选小王或小李中的一人当班长。 设 p ：选小王当班长，
离散数学
主讲教师:王敏生 主讲教师 王敏生
离散数学是现代数学的一个重要分支。是计 算机科学中基础理论的核心课程，为计算机科学 提供了有力的理论基础和工具。离散数学的基本 思想、概念和方法广泛地渗透到计算机科学与技 术发展的各个领域，而且其基本理论和研究成果 更是全面而系统地影响和推动着其发展。
离散数学的内容十分丰富，最重要，最核心 的是：数理逻辑、集合论、代数系统和图论。本 课程主要讲授以上四个方面的内容。
第一章命题逻辑
第一节 命题符号化及联结词
内容： 内容：命题，逻辑联结词，命题符号化 (1)掌握命题概念 重点： 重点： (2)掌握联结词含义及真值表 (3)掌握命题符号化方法
一、命题的概念 命题：能判断真假的陈述句。
真 （记为T或1） 真值 假 （记为F或0）
例1、判断下列句子中哪些是命题。 (1) 北京是中国的首都。 (2) 雪是黑色的。 (3) 3 × 4 = 12 。 (4) 请把门关上！ (5) x 是有理数。 (6) 地球外的星球上也有人。
A ∧ ¬A ⇔ 0 (矛盾律)
10、双重否定律
¬(¬A) ⇔ A
二、重要等值式。 重要等值式。 11、蕴涵等值式 12、等价等值式 13、假言易位
A → B ⇔ ¬A ∨ B
A ↔ B ⇔ ( A → B ) ∧ ( B → A)
A → B ⇔ ¬B → ¬A
A ↔ B ⇔ ¬A ↔ ¬B
14、等价否定等值式 15、归谬论
( A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C )
3、分配律 A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) ，
A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ 等值式。 4、德 摩根律 ¬( A ∨ B ) ⇔ ¬A ∧ ¬B ，
7、运算顺序 逻辑联结词也称逻辑运算符，规定优先级的顺 序为 ¬, ∧, ∨ , →, ↔ ，若有括号时，先进行括号 内运算。 例如：p → ( q ∨ ¬p ) ∧ ( q ∨ r ) ↔ ¬q
三、命题符号化。 命题符号化。 步骤：(1) 找出各简单命题，分别符号化。 (2) 找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
例3、求下列命题公式的真值表。 (2) (¬p → q ) → ( q → ¬p ) 解：
二、重言式、矛盾式，可满足式。 重言式、矛盾式，可满足式。 1、定义
重言式 可满足式 命题公式 其它 矛盾式
2、判定方法:真值表法。
例4、给定命题公式如下，请判断哪些是重言式， 哪些是矛盾式，哪些是可满足式？ (1) ( p ∧ q ) → ( p ∨ q ) (2) ( p ↔ q) ↔ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) ) (3) ¬( p → q ) ∧ q (4) ( p ∧ ¬p ) ↔ q (5) p → ( p ∨ q )
p 3、“ 或者 q ”称 p, q 的析取式，记作 p ∨ q 。
真值表
例如，p ：小明学过英语， q ：小明学过日语， 则小明学过英语或日语可表示为 p ∨ q
4、“如果p 那么 q ”称 p, q 的蕴涵式，记作 p → q 其中 p 为前件，q 为后件。 真值表：
例 3、一位父亲对儿子说：“如果我去书店， 就一定给你买本《儿童画报》。”问：什么情 况下父亲食言？ 解：可能情况有四种： (1) 父亲去了书店，给儿子买了《儿童画报》。 (2) 父亲去了书店，却没给儿子买《儿童画报》。 (3) 父亲没去书店，却给儿子买了《儿童画报》。 (4) 父亲没去书店，也没给儿子买《儿童画报》。
数理逻辑简介
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结 构和推理规律的数学学科，它与数学的其它分支、 计算机科学、人工智能、语言学等学科均有密切 的联系。命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最为广泛， 其中命题逻辑是数理逻辑的最基础部分，谓词逻 辑是在它的基础上发展起来的。本课程在第一， 二两章中介绍数理逻辑的内容。
3、真值表。 A的真值表——指 A 在所有赋值之下取值列成的表。 构造 A 的真值表步骤： (1) 列出所有命题变项的所有赋值( 2 n 个，掌握n = 2,3)。 (2) 从低到高写出 A 的各层次。 (3) 对应每个赋值，计算各层次的值，直至整个公式。
例3、求下列命题公式的真值表。 (1) ¬( q → p ) ∧ p 解：
例4、给定命题公式如下，请判断哪些是重言式， 哪些是矛盾式，哪些是可满足式？ (6)
(( p → q ) → p ) ↔ p
(7) ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ¬q ) (8) ( p ∨ ¬p) → ( ( q ∧ ¬q ) ∧ r ) (9) ¬( p ∨ q ∨ r ) ↔ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ) (10) ( p ∧ q ) ∧ r
q ：选小李当班长。 原语句化为 ( p ∧ ¬q ) ∨ (¬p ∧ q ) 。
(4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 设 p ：我上街， q ：我去书店看看， r ：我很累。 原语句化为 ¬r → ( p → q )(或 (¬r ∧ p ) → q)。
(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年， 她是三好生。 设 p ：小丽是计算机系的学生， q ：小丽生于1982年， 1983 r ：小丽生于1983年， s ：小丽是三好生。 原语句化为 p ∧ ( q ∨ r ) ∧ s 。
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系。 否定——不是，没有，非，不。 否定 合取——并且，同时，和，既…又…，不 合取 但…而且…，虽然…但是…。 析取——或者，或许，可能。 析取 蕴涵——若…则…，假如…那么…， 蕴涵 既然…那就…，倘若…就…，如果…就…， 只要…就…，因为…所以， …仅当…。 只有q才p，除非q才p，除非q否则非p 。 等价——当且仅当，充分必要，相同，一样。 等价
p 2、“ 并且 q ”称为 p, q 的合取式，记作 p ∧ q 。
真值表
在例1.(9)中， p ：小明是三好生，
q ：小林是三好生
则小明和小林是三好生表示为 p ∧ q 。
例2、设 p ：李平聪明，q ：李平用功。 (1) 李平既聪明又用功。
p∧q
(2)李平虽然聪明，但不用功。 p ∧ ¬q (3)李平不但聪明，而且用功。 p ∧ q (4)李平不是不聪明，而是不用功。 ¬(¬p ) ∧ ¬q
一、两命题公式间的等值关系。 两命题公式间的等值关系。 1、定义：设 A, B 为两命题公式，若等价式 A ↔ B 是重言式，则称 A与 B 是等值的，记作 A ⇔ B 。 2、判定 。 判断两公式 A, B 是否等值，即判断 A ↔ B 是否重言式 。
例1、判断 A, B 两公式是否等值。 (1) A = ¬( p ∨ q ) ， B = ¬p ∨ ¬q 解：作真值表如下：
例1、判断以下字符串中哪些是命题公式。 (1) p ∧ ¬( q ∨ ¬r ) (3) pq → r (5) p ∨ → q (2) p → ¬( q → ¬r ) (4) (¬p ∨ q → r (6) p ∧ ( q ↔ ¬r )
解：(1)、(2)、(6)是公式，(3)、(4)、(5)不是。
2、命题公式的层次。 若 A 的最高层次为 k，则称 A 为 k 层公式。 例2、 p ∧ ¬ ( ( p ∨ q ) ∧ ¬r ) → ( ¬p ↔ r ) 为___层公式。 ___ 5