§26二倍角的三角函数

第30课 二倍角的三角函数
【复习目标】
1. 掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，并掌握它们的推导体系;
2. 熟悉公式的正用、逆用及变形使用，能灵活使用它们实行三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

【重点难点】
理解二倍角公式的推导，并能使用二倍角公式灵活地实行化简、求值、证明．
【自主学习】
一、知识梳理
1．二倍角公式：
(1) sin2α=
(2) cos2α= = －1＝1－
(3) tan2α=
注意：（1）在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠ 且 α≠ (K ∈Z)
（2）“倍角”的意义是相对的，如4α是 的二倍角。

2.二倍角的余弦公式的灵活使用
（1）升幂公式：1+cos2α= ;1－cos2α=
（2）cos 2α= ;sin 2α=
二、课前预习：
1. 15cos 75cos 15cos 75cos 22⋅++＝
2. 假如sin 1
,sin cos 1cos 2α
ααα=++那么的值是
3. 已知θ)23,(ππ∈，则θcos 2
1212121++等于 4.______15sin 15cos 15sin 15cos 0
00
0=+- 5.若ααα2sin ,2
3cos sin 则=+= 6.已知_____cos sin ),2
4(21tan 12sin sin 22=-<<=++x x x x x x 则ππ
7.已知______)32sin(,21tan ),2,
0(=+=∈πααπα则 【共同探究】
例1. 已知的值。

和求为锐角，βαβαααtan 2cos ,31)tan(,54sin =-=
例2. 已知),4
3,2(,102)4cos(πππ
∈=-x x （1）求sinx 的值。

（2）求sin(2x+
3π)的值。

例3. 化简：0000040cos 170sin )10tan 31(50sin 40cos +++
【变式训练】 设)4cos(2cos ,40,135)4sin(x x x x +<<=-πππ
求的值。

例4. 求证：θ
θθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+
【变式训练】
已知βα,均为锐角，且满足,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα 求证：22πβα=
+
例5. 设)6sin(2)32cos(],3,0[π
ππ-+-=∈x x y x 求函数的最值.
【巩固练习】
1.
80cos 60cos 40cos 20cos ⋅⋅⋅的值为 2.化简：)0(cos 22)2cos 2)(sin
cos sin 1(πθθθθθθ<<+-++ 3. 已知==-∈x x x 2tan ,5
4cos ),0,2(则π 4.已知[)πααπ,0,53)cos(∈=
-，则)4
2sin(πα-＝ . 5.若,31)6sin(=-απ则)23
2cos(απ+＝ . 6．已知θπθθθtan ),,0(,51cos sin 则∈=+的值是 . 7．化简
100sin 15cos 100cos -⋅的结果是 .
8. 已知)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-
求的值.
9. 已知3
10cot tan ,43-=+<<ααπαπ。

（1）求αtan 的值。

（2）求)2sin(28
2cos 112cos 2sin 82sin 522
παα
α
α
α--++的值。