江苏省南通市海门市包场高级中学2019-2020学年高二数学下学期第一次适应性考试试题(含解析)

江苏省南通市海门市包场高级中学2019-2020学年高二数学下学期第
一次适应性考试试题（含解析）
一、单项选择题：本题共8小题， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合(){},10A x y x y =-+＝，(){}
2
2,5B x y x
y =+=，则A B =（ ）.
A. (){}
1,2 B.
(){}2,1-- C. ()(){}
1,2,2,1--
D. ∅
【答案】C 【解析】 【分析】
本题首先可联立方程1
0x y -+＝与2
2
5x y +=并求得交点坐标，然后根据交集的相关性质即可得出结果.
【详解】联立方程10x y -+＝与方程22
5x y +=，即22
105x y x y -+⎧⎨+=⎩
＝， 解得交点坐标为()1,2和()2,1--， 故()(){}1,2,2,1A
B =--，
故选：C.
【点睛】本题考查交集的相关性质，能否明确集合中所包含的元素是解决本题的关键，考查计算能力，体现了基础性，是简单题. 2.已知(),a bi a b +∈R 是()2
2
1i 1i
++
+的共轭复数，则2a b +=（ ）. A. 3 B. 3-
C. 1-
D. 1
【答案】D 【解析】 【分析】
利用复数的乘方和除法法则将复数()2
2
1i 1i
+++表示为一般形式，结合共轭复数的定义可求得a 、b 的值，由此可得出2a b +的值.
【详解】
()
()()()
2
212
12211111i i i i i i i i i -++
=+=+-=+++-， 由题意可得1a bi i +=-，1a ，1b =-，因此，2211a b +=-=.
故选：D.
【点睛】本题考查复数的除法和乘方运算，同时也考查了共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.
3.设向量()1,1a =-，()21,22a b k k -=-+，且a b ⊥，则k =（ ）. A. 5- B. 5
C. 3
D. 3-
【答案】A 【解析】 【分析】
本题首先可以设(),b x y =，然后根据a b ⊥得出x y =以及(),b x x =，再然后根据向量的坐标运算得出()212,12a b x x -=---，最后根据()21,22a b k k -=-+即可联立方程并通过计算得出结果. 【详解】设(),b x y = 因为a b ⊥，()1,1a =-，
所以0a b ⋅=，即0x y -=，x y =，(),b x x =， 所以()212,12a b x x -=---， 因为()21,22a b k k -=-+，
所以1211222
x k x k -=-⎧⎨
--=+⎩，解得7
2x =，5k =-，
故选：A.
【点睛】本题考查向量垂直的相关性质以及向量的坐标运算，若两向量垂直，则向量的乘积为0，考查计算能力，体现了基础性，是中档题.
4.温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响.一般来说，温度每升高10K ，化学反应的反应速率大约增加24~倍.瑞典科学家Arrhenius 总结了大量化学反应的反应速率与温度之
间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数()k 与温度()T 之间呈指数关系，并提出了相应的Arrhenius 公式：E a
RT k Ae -=，式中A 为碰撞频率因子()0A >，e 为自然对数
的底数，a E 为活化能，R 为气体常数.通过Arrhenius 公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系.已知温度为1T 时，化学反应的速率常数为1k ；温度为2T 时，化学反应的速率常数为2k .则1
2
ln
k k =（ ） A.
()21ln a T T R
E A
- B.
()12ln a T T R
E A
-
C. ()2112
a E T T RTT -
D.
()
1212
a E T T RTT -
【答案】D 【解析】 【
分析】
根据Arrhenius 公式得1
212a a
E
RT
E RT k Ae k Ae --⎧=⎪⎨⎪=⎩，计算出12k k ，然后利用对数的运算性质化简可得结果. 【详解】根据Arrhenius 公式可得1212a a
E RT
E RT k Ae k Ae
--⎧=⎪⎨⎪=⎩，上述两个等式相除得21
12
a a E E RT RT k e k -=， 因此，()12122112
ln a a a E T T E E k k RT RT RTT -=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查指数与对数的运算，解答的关键在于求得
1
2
k k 的表达式，考查计算能力，属于基础题. 5.2
1(3)n
x x +的展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为（ ） A. 405 B. -313 C. 223
D. 146
【答案】A 【解析】 【分析】
通过对二项式中的x 赋值1得到各项系数和，则可求n ，进而求出其通项，令幂指数为0，即可求出常数项． 【详解】21(3)n
x x
+中，令1x =得到展开式的各项系数和为41024n = 解得5n =，
∴其通项公式为5555215
521(3)
()3r
r r
r r r
r T C x C x x
---+==⨯； 令
550,12
r
r -=∴=； ∴其常数项为41
53405C ⨯=．
故选：A.
【点睛】本题主要考查二项式展开式各项的系数和，考查展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6.南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V 、2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则命题p ：“1V 、2V 相等”是命题:q “1S 、2S 总相等”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.
【详解】由祖暅原理可知，若1S 、2S 总相等，则1V 、2V 相等，即必要性成立；
假设夹在两平行平面间的底面积为S 的棱柱和底面积为3S 的棱锥，它们的体积分别为1V 、
2V ，则12V V =，
这两个几何体被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为1S 、2S ，但1S 与2S 不总相等，即充分性不成立.
因此，命题p 是命题q 的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解本题的关键，考查推理能力，属于中等题.
7.在同一直角坐标系下，已知双曲线22
22:1(0,0)y x C a b a b
-=>>的离心率为2，双曲线C
的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数sin 26y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
3
π
单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为（ ） A. 2 B. 3
C. 2
D. 1
【答案】D 【解析】 【分析】
显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数a ，b ．再画出曲线D 的图象和双曲线的图象，观察图象可得解．
【详解】解：因为离心率为2，所以该双曲线是等轴双曲线，可设C 方程为22
221(0)y x a a a
-=>
所以2c a =
，故焦点为(0,2)a ±，渐近线y x =±，
取(0,2)a 到0x y -=的距离为2，得2
2
2211
a =+，解得2a
b ==．
所以双曲线方程为22
144
-=y x ．
函数sin(2)6
y x π=+
的图象向右平移3π
单位后得到曲线D 的方程为：
sin[2()]sin(2)cos2362
y x x x ππ
π
=-+=-=-．
同一坐标系做出曲线C 、D 的图象：
由图可知，当B 点为cos2x y =-与y 轴的交点(0,1)-，A 点为双曲线的下顶点(0,2)-时，
||AB 最小为1．
故选：D ．
【点睛】本题考查了双曲线方程的求法和三角函数的图象变换．同时考查了利用数形结合解决问题的能力．属于中档题．
8.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为
4
5，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A.
112
125
B.
80125
C.
113
125
D.
124
125
【答案】A 【解析】 【分析】
利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至
少答对两道题的概率．
【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，
每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为4
5
，且各次答对与否相互独立，
则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： 3223441112()()()555125
P C =+=．
故选：A ．
【点睛】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9.太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆O ：2
2
1x y +=，则下列说法中正确的是( )
A. 函数3
y x =是圆O 的一个太极函数
B. 圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
C. 函数sin y x =是圆O 的一个太极函数
D. 函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件 【答案】AC 【解析】
【分析】
根据题中所给的
定义对四个选项逐一判断即可.
【详解】选项A ：因为33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数3
y x =是奇函数，它的图象关于原点对称，如下图所示：
所以函数3
y x =是圆O 的一个太极函数，故本说法正确；
选项B ：如下图所示：函数()y g x =是偶函数，()y g x =也是圆O 的一个太极函数，故本说法不正确；
选项C ：因为sin y x =是奇函数，所以它图象关于原点对称，而圆22
1x y +=也关于原 点对称，如下图所示：因此函数sin y x =是圆O 的一个太极函数，故本说法是正确的；
选项D ：根据选项B 的分析，圆O 的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确. 故选：AC
【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了函数对称性的应用和圆的对称性的应用，属于中档题.
10.已知函数()()sin 0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>⎛
⎫
< ⎪⎝
>⎭
，
的最大值为2，
其图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，则下列结论正确的是
（ ）.
A. 函数()f x 的图像关于直线5π
12
x =
对称 B. 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为22
- C. 若32
65f πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭
，则44sin cos αα-的值为45- D. 要得到函数()f x 的图像，只需要将()2cos 2g x x =的图像向右平移6
π
个单位 【答案】BD 【解析】 【分析】
首先根据函数()f x 的最大值得到2A =
，根据图像相邻的两条对称轴之间的距离得到
2ω=，再根据()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称得到6π=ϕ，从而得到
()2sin 2 6f x x π=+⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.对选项A ，因为
2512f π⎛⎫
⎪⎭
≠±⎝，故A 错误.对选项B ，根据题意得到2,662x π
ππ⎡⎤
+
∈-⎢⎥⎣⎦，从而得到()f x 的最小值22
-， 故B 正确.对选项C ，根据32
65f πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭
得到3cos 25α=，再计算44sin cos αα-的值即可判断B 错误.对选项D ，将()2cos 2g x x =的图像向右平移
6
π
个单位，得到2sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，即可判断D 正确.
【详解】由题知：函数()f x 的最大值为2，所以2A =.
因为函数()f x 图像相邻的两条对称轴之间的距离为
2
π
， 所以
22
T π=，2T π
πω==，2ω=，()()2sin 2 f x x ϕ=+. 又因为()f x 的图像关于点π,012⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，
所以2sin =0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+，6k ππϕ-+=，k Z ∈. 所以6
k π
ϕπ=
+，k Z ∈.因
2
π
ϕ<
，所以6
π
=
ϕ. 即()2sin 2 6f x x π=
+⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.
对选项A ，2sin 02512f ππ==⎫
⎪⎝⎭
≠±⎛，故A 错误. 对选项B ，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 当ππ266x
时，()f x 取得最小值22
-， 故B 正确.
对选项C ，322sin(2)2cos 2625f ππααα⎛⎫
-=-==
⎪⎝⎭
， 得到3
cos 25
α=
. 因为(
)()4
4
22
2
23sin cos sin cos sin
cos cos 25
ααααααα-=+-=-=-，
故C 错误. 对选项D ，
()2cos 2g x x =的图像向右平移
6
π
个单位得到 2cos 22cos 22sin 22sin 263236y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
故D 正确. 故选：BD
【点睛】本题主要考查()sin y A ωx φ=+的图象性质，同时图象的平移变换，属于中档题. 11.如图，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AB ＝PA ＝6，BC ＝8，则（ ）
A. 三棱锥D -BEF 的体积为6
B. 直线PB 与直线DF 垂直
C. 平面DEF 截三棱锥P -ABC 所得的截面面积为12
D. 点P 与点A 到平面BDE 的距离相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】
A.根据PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AB ＝PA ＝6，BC ＝8，先求得V
三棱锥P -A BC
，再根据D ，E ，F
分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，得到V 三棱锥D -BEF ；B. 假设直线PB 与直线DF 垂直，利用线面垂
直的判定定理得到PB ⊥平面DEF ， 与AB ⊥平面DEF 矛盾；C.根据 D ，E ，F 分别为棱PC ，
AC ，AB 的中点，则截面与PB 相交，交点为中点，论证其形状再求解；D. 论证//PA 平面DEF
即可.
【详解】A.因为PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AB ＝PA ＝6，BC ＝8， 所以V 三棱锥P -A BC 111116864833232ABC
S PA AB BC PA =
=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 又因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点， 所以1
1111
//,3,62
2222
BEF
DE PA DE PA S BF EF AB BC ===
⨯=⨯⨯=， 所以V 三棱锥D -BEF 1
1
63633
BEF
S DE =
⨯⨯=⨯⨯=，故正确； B. 若直线PB 与直线DF 垂直，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥， 又 ,BC AB PA
AB A ⊥= ，
所以BC ⊥平面PAB ，所以 BC PB ⊥， 又 //EF BC ，所以 EF ⊥平面PAB ， 所以 EF PB ⊥，所以 PB ⊥平面DEF ， 易知 AB ⊥平面DEF ，矛盾，故错误；
C.如图所示：
取PB 的中点G ，连接GD ，GF ， 则11
//,,//,22GF PA GF PA DE PA DE PA ==， 所以//,DE GF DE
GF ，
所以平面DEF 截三棱锥P -ABC 所得的截面为矩形GFED ， 其面积为11
222431222
DEF
S
EF DE =⨯⨯=⨯⨯⨯=，故正确；
D. 因为//DE PA ， DE ⊂平面DEF ，PA ⊄平面DEF ，
所以//PA 平面DEF ，
所以点P 与点A 到平面BDE 的距离相等，故正确. 故选：ACD
【点睛】本题主要考查几何体体积的求法，线面垂直的判定，线面平行的判定以及截面的面积问题，还考查了逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题. 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＞时，()1
x x f x e
-=.则下列结论正确的是（ ）.
A. 当0x <时，()()1x
f x e
x =-+
B. 函数()f x 在R 上有且仅有三个零点
C. 若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f -≤≤
D. 12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -< 【答案】BD 【解析】 【分析】
根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】令0x <，则0x ->，所以1()(1)()x
x
x f x e x f x e
----=
=-+=-，得()(1)x f x e x =+，所以选项A 错误；
观察在0x <时的图象，令()(1)(2)0x
x
x
f x e x e e x '=++=+=，得2x =-，
可知()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上递增，且在(,1)-∞-上，()0f x <，在(1,0)-上，()0f x >，由此可判断在(,0)-∞仅有一个零点，由函数的对称性可知()f x 在(0,)+∞上也有一个零点，又因为(0)0f =，故该函数有三个零点，所以选项B 正确； 由图可知，若关于x 的方程()f x m =有解，则11m -<<，所以选项C 错误；
由图可知，()f x 的值域为(1,1)-，所以对12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<恒成立，所以选项D 正确.
故选：BD
【点睛】本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.
三、填空题：
13.盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次.则取得小球标号最大值是3的取法有______种.（用数字作答）
【答案】19
【解析】
【分析】
本题可通过题意列出所有满足标号最大值是3的取法，然后计算出数目即可得出结果.
【详解】由题意可知，满足标号最大值是3的取法有：
333、323、332、331、313、321、312、311、322、132、
231、133、233、131、232、113、223、123、213，共19种，
故答案为19.
【点睛】本题考查学生对题意的理解，能否根据题意列出所有满足题意的取法是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.
14.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②1
a
＜
1
b
；③a＜0且b＜0．以其中的两个论
断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．
【答案】若a＞b，a＜0且b＜0，则1
a
＜
1
b
（或若
1
a
＜
1
b
，a＜0且b＜0，则a＞b）
【解析】
【分析】
直接利用不等式性质得到答案.
【详解】若a ＞b ，a ＜0且b ＜0，则1
a ＜1b
，
证明：11b a a b ab --=，a b >，故0b a -<；0a <，0b <，故0ab >，
则110b a a b ab --=
<，故11
a b
<. 故答案为：若a ＞b ，a ＜0且b ＜0，则1
a ＜1b
.
【点睛】本题考查了不等式性质，属于简单题.
15.已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，P 是抛物线在第一象限的一点，且点P 到抛物线的对称轴和准线的距离相等，则点P 的坐标为______；O 为坐标原点，PQ OP ⊥交抛物线的准线于点Q ，则三角形OPQ 内切圆的面积为______. 【答案】 (1). 4,2 (2). ()
30202π- 【解析】 【分析】
根据题意求点P 的坐标，再求直线PQ 的方程，得到点Q 的坐标，根据三角形内切圆的性质及三角形的面积公式即可求得结论.
【详解】抛物线的标准方程为2
8x y =，焦点坐标为()02F ，
准线方程为2y =-，对称轴为y 轴，
设()2000,08x P x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，点P 到抛物线的对称轴和准线的距离相等，所以20
028x x =+，解得
04x =，所以可得()4,2P ，
21
42
OP k =
=,因为PQ OP ⊥，所以2PQ k =-, 所以直线PQ 的方程为22(4)y x -=--即2100x y +-=， 又因为抛物线的准线方程为2y =-，所以可得(6,2)Q -， 由两点间的距离公式求得||25,||25,||210OP PQ OQ ===, 设三角形OPQ 内切圆半径为r ，所以
11
(2525210)252522
r ++=⨯⨯，解得
2510r =-，
所以三角形OPQ 内切圆面积2(2510)(30202)S ππ=-=-. 故答案为：()4,2；()
30202π-
【点睛】本题考查直线和抛物线的关系，利用抛物线的定义解决问题的方法：灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离相等这一性质“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径,属于中档题.
16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：
()0,3Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切.已知直线l 过点O .
（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________； （2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________. 【答案】 (1). 3 (2). 12
5
【解析】 【分析】
圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，只要与一个圆相切，必与另一圆相切．求出圆L 与圆S 的圆心坐标，
（1）求出切线方程后，求出Q 到切线l 的距离后由勾股定理得弦长． （2）设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ．
【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(,0)(0)S a a >，则22323a +=+，4a =， 即(4,0)S ，∴(4,0)L -． （1）设l 方程为y kx =，即0kx
y ，由
2
40
21
k k -=+得33k =±，由对称性不妨取3
3k =，l 方程为33y x =，30x y -=，圆心Q 到l 的距离为03333213
+=
+，∴弦长为22
3323(
)32
-=； （2）同（1）设直线l 方程为0kx y ，点Q 到直线l 的距离为2
31k
+，直线截圆Q 得弦
长为2269
2911k d k k
=-
=++，点S 到直线l 的距离为241k k +，直线截圆S 得弦长为2222161324411k k d k k -=-=++，由题意222613411k k k k
-=++，解得2
421k =，∴4
1312214
45121d -⨯
==+． 故答案为：3；
125
． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．已知112a b =，
26S =，312S =，24
3
T =
，*n ∈N ． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）是否存在正整数k ，使得6k S k <且13
9
k T >？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）2n a n =；1
13n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭
；（2）存在4k =满足题意．
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，在等差数列{}n a 中，由已知求解公差d ，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由112a b =求得1b ，结合已知求得2b ，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求； （2）由（1）知，1()
(1)2k k k a a S k k +=
=+，由6k S k <解得k 范围，再由131132239
k k T -=->⨯，解得k 范围，即可判断出结论．
【详解】解：（1）设数列{}n a 的为d ，在数列{}n a 中，3236S S a -== 又因为2123321236S a a a d a d d =+=-+-=-=，所以2d = 从而1322a a d =-=，所以2(1)22n a n n =+-⨯= 由112a b =得：111b T == 因为22141
133
b T T =-=
-=，设数列{}n b 的公比为q 所以2113b q b ==，所以11
11133n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）由（1）知：()1(1)2
k k k a a S k k +=
=+
所以(1)6k S k k k =+<，整理得250k k -<，解得05k <<
又因为1
111313
131********
k k k
k T -⎛
⎫⨯- ⎪
⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⨯⎝⎭
- 所以131132239k k T -=
->⨯，即111
39
k -<，解得3k >
所以4k =
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，22222()(1tan )b b c a A =+--． （1）求角C ；
（2）若210c =，D 为BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度． 条件①：ABC 的面积4S =且B A >； 条件②：25
cos 5
B =
． 【答案】（1）34
C π
=；（2）选择条件②，26AD =． 【解析】 【分析】
（1）2222
2()(1tan )b b c a A =+--．利用余弦定理可得；222cos (1tan )b bc A A =-．化为
(cos sin )b c A A =-，再利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）选择条件②，25
cos 5B =，可得5sin 5
B =．利用诱导公式可得sin sin()A B
C =+，由正弦定理可得：sin sin c A
a C
=
．在ABD ∆中，由余弦定理可得AD ． 【详解】解：（1）在ABC 中，由余弦定理知：2222cos b c a bc A +-=， 所以2
22cos (1tan )b bc A A =-，所以(cos sin )b c A A =- 又由正弦定理知：
sin sin b B
c C
=，得sin sin (cos sin )B C A A =- 所以sin()sin (cos sin )A C C A A +=-
即：sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C C A C A +=- 所以sin cos sin sin A C C A =-
因为sin 0A ≠，所以cos sin C C =-，所以tan 1=-C 又因为0C π<<，所以34
C π=
（2）选择条件②：25
cos 5
B =
因为25
cos 5B =
，所以5sin 5
B = 因为10
sin sin()sin cos sin cos 10
A B C B C C B =+=+=
由正弦定理知：
sin sin c a
C A =，所以sin 22sin c A a C
== 在ABD △中，由余弦定理知：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅ 解得：26AD =
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.如图1，在边长为5的菱形ABCD 中，6AC =，现沿对角线AC 把ADC 翻折到APC △的位置得到四面体P ABC -，如图2所示.已知42PB =.
（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）若Q 是线段AP 上的点，且1
3
AQ AP =
，求二面角Q BC A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）310
10
. 【解析】 【分析】
（1）取AC 的中点O ，连接PO 、BO ，推导出AC PO ⊥、BO PO ⊥，利用线面垂直的判定定理得出PO ⊥平面ABC ，再利用面面垂直的判定定理可证得平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）推导出OB 、OC 、OP 两两垂直，以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，计算出向量BQ 的坐标，利用空间向量法可求得二面角Q BC A --的余弦值.
【详解】（1）在三棱锥P ABC -中，取AC 的中点O ，连接PO 、BO ，得到PBO ， 四边形ABCD 是菱形，PA PC ∴=，PO AC ⊥， 又5DC =，6AC =，4OC ∴=，4PO OB ==，
又
42PB =，222PO OB PB ∴+=，PO OB ∴⊥，
又PO OC ⊥，OB AC O =，OB 、AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ，
又
PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）
AB BC =，O 为AC 中点，OB OC ∴⊥，OB ∴、OC 、OP 两两垂直，
以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则()4,0,0B 、()0,3,0C 、()0,0,4P 、()0,3,0A -，
()()1144,3,00,3,44,2,333BQ BA AQ BA AP ⎛
⎫=+=+=--+=-- ⎪⎝
⎭，()4,3,0BC =-，
设平面BCQ 的法向量(),,n x y z =，
由00n BC n BQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即4304
4203x y x y z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，解得34
415x y y z ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，取15z =，则()3,4,15n =， 易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =，
15310
cos ,101510
m n m n m n
⋅<>=
=
=⨯⋅.
由图可知二面角Q BC A --为锐角，所以，二面角Q BC A --的余弦值为
310
10
. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[]0,30内，按[]0,5，(]5,10，(]10,15，(]15,20，(]20,25，
(]25,30分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”； 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计
100
（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲
80
40
16
24
乙 90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望.
附：观测值公式：()()()()()()
2
2
a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++
临界值表：
()20P K k ≥ 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3) 73
【解析】 【分析】
(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算2K 即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，据题意得12,2X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，22,3Y
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，计算()(Y)E X E ，，由X Y ξ=+，即可求解 【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=， 后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35+⨯=，所以中位数位于区间(]
15,20内. 设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x =-=，得 2.5x =，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.
（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，
所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下： 男 女 合计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计 60
40
100
因为22
100(45201520)600 6.593 5.0246040356591
K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
查表得()2
5.0240.025P K ≥=， 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.
（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为1
2，23. 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，据题意，12,2X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，22,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 所以1()212E X =⨯
=，24()233
E Y =⨯=. 因为X Y ξ=+，则7
()()()3
E E X E Y ξ=+=，所以ξ
的
数学期望为
73
. 【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题
21.椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率是2
2
，点(0,1)P 在短轴CD 上，且
1PC PD ⋅=-．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得
OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由
【答案】（1）22
142
x y +=；
（2）见解析.
【解析】
【详解】（1）由已知，点C ，D 的坐标分别为（0，－b ），（0，b ） 又点P 的坐标为（0，1），且PC PD ⋅＝－1
于是2222
11
2{
2b c a a b c -=-=
-=，解得a ＝2，b ＝2 所以椭圆E 方程为22
142
x y +=.
（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1 A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）
联立22
1
{42
1
x y y kx +==+，得（2k 2＋1）x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝（4k ）2
＋8（2k 2
＋1）＞0 所以1212
2242
,2121
k x x x x k k +=-
=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋（y 1－1）（y 2－1）] ＝（1＋λ）（1＋k 2
）x 1x 2＋k （x 1＋x 2）＋1
＝22
(24)(21)
21
k k λλ--+--+ ＝－
所以，当λ＝1时，－＝－3，
此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD
此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3
故存在常数λ＝1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.
考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
22.已知函数()ln f x a x =，2
1()2
g x x bx b =
++，,a b ∈R . （1）设() ()F x x f x =，求()F x 在[],2a a 上的最大值；
（2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：4
2
e a b +≤.
【答案】（1）最大值2
21ln 04
()12ln 24a a a M a a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>
⎪⎩
（2）证明见解析
【解析】 【分析】
()1对函数求导得()(1ln )F x a x '=+，
得到()F x 的单调区间，分类讨论即可得()F x 最大值． ()()22'(0)x bx a
G x x x
++=
>，()G x 的极大值恒小于0可得3ln 2a b a a -+，从而得到+a b 的最大值，构造函数即可证明4
2
e a b +≤．
【详解】()1由已知0a >，()(1ln )F x a x '
=+，
当10x e
<<
时，()F'0x <，当1
x e >时，()'0F x >，
从而()F x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
从而，()(){}
()2,max F x max F a F a =， 于是2
2
2
(2)()(ln 4ln )ln 4F a F a a a a a a -=-= 当14
a >
时，()()2F a F a >，所以2
max ()(2)2ln 2F x F a a a ==
当104
a <≤时，()()2F a F a ≤，所以2
max ()()ln F x F a a a ==；
综上所得2
21ln 04
()12ln 24a a a M a a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>
⎪⎩
．
()2依题意()212G x alnx x bx b =+++，则()2'(0)a x bx a
G x x b x x x
++=++=>，
因为()G x 存在极大值，则关于x 的方程20x bx a ++=有两个不等的正根12,x x ， 不妨12x x <，则12x x a =，则0a >，且10x a <<， 设()2
p x x bx a =++列设表如下：
x
()10,x
1x
()12,x x
2x
()2,x +∞
()p x
+
-
+ ()'G x +
-
+
()G x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
从而，()()2
11111()ln 12
G x G x a x x b x ==+++极大， 又(
)
2
11bx x a =-+，
从而()2
111 1()ln 02
G x G x a x x a b ==--+<极大对10x a <<恒成立， 设2
1()ln 2
K x a x x a b =-
-+，()
0,x a ∈， 则()2
'0a x K x x
-=>，
所以()K x 在()
0,a 上递增，从而3()()ln 02
a
K x K a a a b <=-+， 所以3ln 2a
b a a -+，
55ln ln 222
a a a
a b a a a +-+=-+，
设(0)2
a
t t =>，则()25m t tln t t =-+，
又()'42m t ln t =-，
若40,2e t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，()'0;m t >
若4,2e t ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭，()'0;m t <
从而()44
22e e m t m ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
，
即4
2
e a b +≤．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题．。