中考数学复习方案 第六单元 圆 第31课时 圆的有关性质数学课件

,线段OA叫做
圆心②
(yuánxīn)
对称图形,又是④
轴
.
对称图形,
中心 圆还具有旋转不变性.
点确定一个圆.
同一条直线上的三个
第二页，共三十页。
半径
4.圆的有关(yǒuguān)概念
概念
示例
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
弧
大于半圆的弧叫⑥优弧(yōu,小于半圆的弧叫
⑦ 劣弧
hú)
如AC(劣弧),
C.100°
D.105°
∵∠AOD=80°,
∴∠AOB=∠DOC=50°,
∵OA=OB,∴∠ABC=∠OAB=65°.
故选 B.
图31-6
第十五页，共三十页。
| 考向精练
( jīngliàn) |
如图
31-7,☉O 是四边形 ABCD 的外接圆,AC 平分∠BAD,则正确结论的序号
是
②⑤
.
①AB=AD;②BC=CD;
③=;④∠BCA=∠DCA;⑤ =.
图31-7
第十六页，共三十页。
考向二
圆周角定理(dìnglǐ)及其推论
例2 [2019·常州]如图31-8,AB是☉O的直径
[答案(dáàn)] 30
(zhíjìng),C,D是☉O上的两点,∠AOC=120°,则
[解析]∵AB是☉O的直径,∠AOC=120°,
(
)
D
A.50°
B.80°
C.100°
D.130°
图31-3
第十页，共三十页。
4.如图31-4,已知AB是☉O的直径(zhíjìng),∠ADC=40°,则∠CAB的度数为 (
A.20°
C.50°
B.40°
D.70°
图31-4
第十一页，共三十页。
)
C
5.[教材题]如图31-5,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是
弦
如图,CD⊥AB,AM=BM,
= , =
(1)平分弦(不是直径)的直径
推论
(2)弦的
垂直
(chuízhí)
于弦,并且平分弦所对的两条弧;
垂直平分线 经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
总结
简言之,对于①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所对的优
[答案(dáàn)] D
☉O上位于AB异侧的两点.下列(xiàliè)四个角中,一定
[解析]∵AB是直径,∴∠ADB=90°,
与∠ACD互余的角是
∴∠BAD+∠B=90°,
(
)
A.∠ADC
B.∠ABD
∵∠ACD=∠B, ∴∠BAD+∠ACD=90°,
C.∠BAC
D.∠BAD
故选D.
图31-11
第二十页，共三十页。




∴△ ADE∽△BCE,∴ =
=


,
∴DE=3,AD=3 5,
过点 D 作 DH⊥AB 于 H.
1
1
2
2
∵S△ ABD= AB·DH= BD·AE,BD=BE+DE=11,
∴10DH=11×6,
33
∴DH= ,
5
6
在 Rt△ ADH 中,AH= 2 - 2 = ,
5

直角
,90°的圆周角所对的弦是
考点(kǎo diǎn)五
圆内接四边形的性质
互补(hù bǔ) .
圆内接四边形的对角(duì jiǎo)⑱
[拓展]圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,如图31-1,∠ABE=∠D.
图31-1
第七页，共三十页。
对点演练
题组一
必会题
1.☉O的半径(bànjìng)为5 cm,点A与圆心O之间的距离OA=3 cm,则点A与圆O的位置关系为 (
第六单元(dānyuán)
第 31 课时
圆的有关性质
第一页，共三十页。
圆
考点聚焦
考点一
圆的有关(yǒuguān)概念及性质
1.圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周(yī zhōu),另一个端点A所形成的图
形叫做圆.其固定的端点O叫做①
2.圆的对称性:圆既是③
3.确定圆的条件:不在⑤
∴tan∠BAD=

33
5
6
5
11
= = .
2
第二十七页，共三十页。
| 考向精练
( jīngliàn) |
[2019·
潍坊]如图 31-14,四边形 ABCD 内接于☉O,AB 为直径,AD=CD.过点 D 作
3
DE⊥AB 于点 E.连接 AC 交 DE 于点 F.若 sin∠CAB= ,DF=5,则 BC 的长为(
相等,所对的⑩ 弦
也相
等
示例
如图,∠AOB=∠COD⇔AB=CD⇔AB=CD
推论
在同圆或等圆中,如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等,那么
它们所对应的其余各组量也分别相等
第四页，共三十页。
考点(kǎo diǎn)三
垂径定理
示例
垂径定理及其推论
垂直于弦的直径 平分(píngfēn),并且平分弦所对的两条弧
ABC(优弧)
(lièhú)
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆
心的弦叫做⑧ 直径
如弦 AC,直径 AB
圆心角 顶点在圆心的角
如∠AOC
圆周角
如∠ABC
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角
第三页，共三十页。
考点(kǎo diǎn)二
定理
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的⑨ 弧
考向三 垂径定理(dìnglǐ)及其推论
例3 [2019·福州质检]在平面直角坐标系中,以 [答案] 4 3
原点为圆心,5为半径(bànjìng)的☉O与直线
[解析]因为直线 y=kx+2k+3(k≠0)经过固
y=kx+2k+3(k≠0)交于A,B两点,则弦AB长的最小 定点 P(-2,3),所以 OP= 13,过点 P 作 OP
BD=弧CD,AB=10,AC=6,连接OD交BC于点E,DE=
图31-12
第二十二页，共三十页。
.
2
考向四
圆内接四边形
例 4[2019·福建 24 题]如图 31-13,四边形 ABCD 内接于☉O,AB=AC,AC⊥BD,垂足
为 E,点 F 在 BD 的延长线上,且 DF=DC,连接 AF,CF.
即∠BAC=2∠CAD.
第二十四页，共三十页。
例 4[2019·福建 24 题]如图 31-13,四边形 ABCD 内接于☉O,AB=AC,AC⊥BD,垂足
为 E,点 F 在 BD 的延长线上,且 DF=DC,连接 AF,CF.
(2)若 AF=10,BC=4 5,求 tan∠BAD 的值.
图31-13
∠CDB=
°.
∴∠BOC=十页。
| 考向精练
( jīngliàn) |
1.[2018·盐城]如图31-9,AB为☉O的直径(zhí
jìng),
[答案(dáàn)] C
CD为☉O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为
[解析]∵AB为☉O的直径,
∠ACB=50°,则∠BOD等于
的一半,即可求出结果(jiē guǒ).
A.40°
C.60°
(
)
∵AB是☉O的直径,BC为切线,
B.50°
D.80°
∴∠ABC=90°,∵∠ACB=50°,
∴∠A=90°-∠ACB=40°,
∴∠BOD=2∠A=80°. 故选D.
图31-10
第十九页，共三十页。
3.[2017·福建8题]如图31-11,AB是☉O的直径, C,D是
(1)求证:∠BAC=2∠CAD;
(2)若 AF=10,BC=4 5,求 tan∠BAD 的值.
图31-13
第二十三页，共三十页。
解:(1)证明:∵AC⊥BD,
∴∠AED=90°,
在 Rt△ AED 中,∠ADE=90°-∠CAD,
∵AB=AC,
∴= ,
∴∠ACB=∠ABC.
∴∠BAC=180°-2∠ACB=180°-2∠ADB=180°-2(90°-∠CAD),
的中点.
求证(qiúzhèng):四边形
OACB是菱形.
证明:连接 OC,∵C 为的中点,∴ = ,
∴∠AOC=∠BOC.
∵∠AOC+∠BOC=120°,
∴∠AOC=∠BOC=60°.
图31-5
∵OA=OB=OC,
∴△ OAC 和△ OCB 都是等边三角形,
∴OA=AC=CB=BO,
第二十五页，共三十页。
(2)∵DF=DC,∴∠FCD=∠CFD,
∴∠BDC=∠FCD+∠CFD=2∠CFD.
∵∠BDC=∠BAC,∠BAC=2∠CAD,
∴∠CFD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD,
∴∠CFD=∠CBD,∴CF=CB.
∵AC⊥BD,∴BE=EF,
故 CA 垂直平分 BF,∴AC=AB=AF=10,
∴四边形 OACB 是菱形.
第十二页，共三十页。
题组二
易错题
【失分点】
对弦、弧、直径、半圆等概念理解不清;注意一条弦所对的圆周角有相等和互补两种情况;利用垂径定
理时,易忽视弦在圆中的不同(bù tónɡ)位置而造成漏解.
6.下列说法中,错误的是
(
)
B
A.直径相等(xiāngděng)的两个圆是等圆

3

5
在 Rt△ AEF 中,sin∠CAB= = ,∴EF=3,AE=4.∴DE=3+5=8.
2
由 DE =AE·EB,得 BE=
2

82
= =16.∴AB=16+4=20.
4

3

5
在 Rt△ ABC 中,sin∠CAB= = ,∴BC=12.
第二十九页，共三十页。
内容(nèiróng)总结
第 31 课时。考点二 圆心角、弧、弦之间的关系(guān xì)。圆内接四边形的对角⑱
.。[拓展]
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,如图31-1,∠ABE=∠D.。对弦、弧、直径、半圆等概念理解不清。
为
.
7 cm或17 cm
第十四页，共三十页。
考向一 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(guān xì)
例 1 如图 31-6,已知在☉O 中,BC 是直径,
= ,∠AOD=80°,则∠ABC 等于(
[答案(dáàn)]B
) [解析]∵在☉O 中,BC 是直径,
A.40°
B.65°
= ,∴∠AOB=∠DOC,
(
∴∠ACB=90°.∵∠ABC=∠ADC=35°,
)
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
∴∠CAB=55°.故选C.
图31-9
第十八页，共三十页。
2.[2018·
福建8题]如图31-10,AB是☉O的直径
[答案] D
(zhíjìng),BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D,若
[解析]根据同弧所对的圆周角等于圆心角
值是
.
的垂线交圆 O 于 A,B 两点,连接 OA,因为
OA=5,则 AP= 12=2 3,根据垂径定理
可得,AB=2AP=4 3,所以弦 AB 长的最
小值是 4 3.
第二十一页，共三十页。
| 考向精练
( jīngliàn)
|
[2018·北京(běi jīnɡ)朝阳区二模]如图31-12,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,点D在圆O上,弧
B.长度相等的两条弧是等弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧
第十三页，共三十页。
7.过圆O外一点P作圆O的两条切线PA,PB,切点(qiēdiǎn)分别为A,B,C为圆周上除切点A,B外的任
意一点,若∠APB=70°,则∠ACB的度数为
.
55°或125°
8.已知☉O的半径为13 cm,弦AB∥CD,AB=24 cm,CD=10 cm,则AB,CD之间的距离
弧、⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论也成立
第五页，共三十页。
考点(kǎo diǎn)四 圆周角定理及推论
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半
(yībàn)
常见图形
推论 1
推论 2
同弧或等弧所对的圆周角
相等
(xiāngděng)
半圆(或直径)所对的圆周角是
直径
第六页，共三十页。
A.点A在圆上
B
B.点A在圆内
C.点A在圆外
D.无法确定
第八页，共三十页。
)
2.[2019·三明质检]如图 31-2,AB,BC 是☉O 的两条弦,AO⊥BC,垂足为 D,若☉O 的
半径为 5,BC=8,则 AB 的长为 ( D )
A.8
B.10
C.4 3
D.4 5
图31-2
第九页，共三十页。
3.如图31-3,四边形ABCD为圆O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD的度数(dùshu)为
设 AE=x,则 CE=10-x,在 Rt△ ABE 和 Rt△ BCE 中,AB2-AE2=BE2=BC2-CE2,
又∵BC=4 5,∴102-x2=(4 5)2-(10-x)2,解得 x=6,∴AE=6,CE=4,
∴BE= 2 - 2 =8.
第二十六页，共三十页。
∵∠DAE=∠CBE,∠ADE=∠BCE,
5
A.8
B.10
C.12
图31-14
第二十八页，共三十页。
D.16
)
[答案(dáàn)] C
[解析]连接 BD.∵AD=CD,∴∠DAC=∠ACD.
∵AB 为直径,∴∠ADB=∠ACB=90°.∴∠DAB+∠ABD=90°.
∵DE⊥AB,∴∠DAB+∠ADE=90°.
∴∠ADE=∠ABD.
∵∠ABD=∠ACD,∴∠DAC=∠ADE.∴AF=DF=5.