建筑力学4几何不变

说明: 三根链杆不能全交于一点 三根链杆不能全平行 链杆不能通过铰心 在两刚片之间加一个铰，刚
片 Ⅰ 、 Ⅱ 之间的相对移动就被限 制住了，但它们仍可围绕铰作相 对转动。
ⅠⅡ
再在它们之间加一根不过铰心的 链杆，则两刚片之间就不可能有相对
ⅠⅡ
运动了，于是刚片Ⅰ和刚片Ⅱ就组成 了一个无多余约束的几何不变体系。
(2) 当体系与基础是按两刚片规则联结时， 可 先撤去支座链杆，只分析体系内部杆件的几何组成 性质。
(3) 当两个刚片用两根链杆相联时 ，相当于在 两杆轴线的交点处用一虚铰相联，其作用与一个单 铰相同。
(4) 对体系作几何组成分析时， 每一根杆件都 要考虑，不能遗漏，但也不能重复使用。分析结果 要说明整个体系是什么性质的体系，有无多余约束， 如有多余约束，有几个。
A
Ⅲ
B
CⅣ
D
E
最后将杆 DE 和E处的支座链杆作为二元体加于 这个更大的刚片上，组成整个体系。因此，整个 体 系是无多余约束的几何不变体系 。
A
B
C
D
E
Ⅴ
本例小结
A II
A
Ⅲ
B
C
D
E
I
B
CⅣ
D
E
A
B
C
D
E
Ⅴ
4.4 体系的几何组成与静定性的关系
前已说明，只有几何不变的体系才能作为结构。 几何不变体系又分为无多余约束和有多余约束两类。
2. 几何不变体系的基本组成规则
(1) 两刚片联结规则 两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆 相互联结，或用一个铰及一根不通过铰心的链杆相 联结，组成无多余约束的几何不变体系。
(2) 三刚片联结规则 三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联， 组成无多余约束的几何不变体系。 (3) 加减二元体规则 在一个体系上增加或减少二元体，不改变原 体系的几何可变或不变性。
3. 解题技巧
(1) 应用基本组成规则进行分析的关键 是恰当 地选取基础、体系中的杆件或可判别为几何不变的 部分作为刚片，应用规则扩大其范围，如能扩大至 整个体系，则体系为几何不变的；如不能的话，则 应把体系简化成二至三个刚片，再应用规则进行分 析。体系中如有二元体，则先将其逐一撤除，以使 分析简化。
2. 自由度
一个体系的自由度，是指该体系在运动时，确
定其位置所需的独立坐标的数目。
确定平面内一个点的位置需用两个坐标 x和y。 平面内一个点有 2个自由度。 y
x
y
o
x
平面内一个刚片的位置可由它上面的任一个点
A的坐标 x、y和过点 A的任一直线 AB的倾角 ? 来确定。
平面内一个刚片有 3个自由度。
● 体系中如有二元体，则先将其逐一撤除， 以使分析简化。
● 若体系与基础是按两刚片规则联结时，则 可先撤去这些支座链杆，只分析体系内部杆件的几 何组成性质。
【例6.1】 试对图示体系进行几何组成分析。
【解】 体系与基础用不全交于一点也不全平行 的三根链杆相联，符合两刚片联结规则，先撤去这 些支座链杆，只分析体系内部的几何组成。
基础相联结，刚片只能绕两链杆的延长线
之交点 O转动。在转动一微小角度后，点
O到了点 O′。这种由联结在两个刚片间不
共线的两个链杆的延长线的交点而形成的
铰称为 虚铰。当体系运动时，虚铰的位置 也随之改变，所以通常又称它为 瞬铰。
（a）
当两链杆平行时 ，虚铰在无穷远处 。
图（ b ）中，刚片Ⅰ与刚片 Ⅱ由两根不平行的链杆相联结， 链杆的延长线交点为 O，两刚片 可绕虚铰 O发生相对转动。
B
E
A
G
C
DF
任选铰结三角形，例如 ABC作为刚片，依次增
加二元体 B-D-C、B-E-D 、D-F-E 和E-G-F ，根据加
减二元体规则，可见 体系是几何不变的，且无多余
约束。
B
E
B
E
A
A
G
G
C DF
C DF
当然，也可用依次拆除二元体的方式进行，最
后剩下刚片 ABC，同样得出该体系是无多余约束的 几何不变体系。
B
E
A
C
DF
G
【例6.2】 试对图示体系进行几何组成分析。
A
B
C
D
E
【解】 本题有六根支座链杆，应与基础一起作 为一个整体来考虑。
先选取基础为刚片Ⅰ ，杆AB作为另一刚片 Ⅱ， 该两刚片由三根链杆相联，符合两刚片联结规则。
A II
B
C
I
D
E
Ⅰ和Ⅱ组成一个大的刚片，称为刚片 Ⅲ，再取 杆CD为刚片Ⅳ，它与刚片 Ⅲ之间用杆 BC（链杆） 和两根支座链杆相联，符合两刚片联结规则，组成 一个更大的刚片。
概述
4.1.1 几何不变体系和几何可变体系
在荷载作用下，材料会产生应变，因而结构会 变形，这种变形与结构的尺寸相比是很微小的，在 几何组成分析中，我们不考虑这种变形的影响。在 上述前提下，体系可分为两类：
1) 在任意荷载作用下，其原有的几何形状和位 置保持不变的，称为 几何不变体系 。
2) 在任意荷载作用下，其几何形状和位置发生 变化的，称为 几何可变体系 。
虚铰的作用与单铰一样，仍相当于两个约束 。
(7)多余约束对体系的自由度没有影响 平面内一个点 A有两个自由度，如果用两根不 共线的链杆将点 A与基础相联结［图 (a)］，则点 A 减少两个自由度，即被固定。
A
(a)
如果用三根不共线的链杆将点 A与基础相联结
［图(b)］，实际上仍只减少两个自由度。
ⅠⅡ
由于一个单铰相当于二根链杆的
作用，故两刚片之间用三根链杆联结， Ⅰ
Ⅱ
同样也组成一个无多余约束的几何不
变体系。
当两刚片之间用三根链杆联结时，若三根链杆 同时汇交于一点 A，则刚片Ⅰ、Ⅱ可以绕点 A转动， 体系是几何可变的。
若三根链杆的延长线同时汇交于点 O，则刚片 Ⅰ、Ⅱ可以绕点 O发生瞬时相对转动，并在转动一 微小角度后三根链杆不再汇交于同一点，这种发生 微小位移后不再运动的体系称为瞬变体系。瞬变体 系是几何可变体系的一种特殊情况。
连续梁的独立的平衡方程总数为 3，未知力总 数为4，是一次超静定结构。
●静定结构与超静定结构有很大区别。对静 定结构进行内力分析时，只需考虑静力平衡条件； 而对超静定结构进行内力分析时，除了考虑静力 平衡条件外，还需考虑变形条件。对体系进行几 何组成分析，有助于正确区分静定结构和超静定 结构，以便选择适当的结构内力计算方法。
4.2.3 加减二元体规则
利用三刚片联结规则，图示体系是几何不变的。 这个体系可看成是在刚片上通过两根不共线的链杆 联结一个结点 A组成的。这种用两根不共线的链杆 联结一个结点的装置称为 二元体。
由于一个结点的自由度等于 2，而两根不共线 的链杆相当于二个约束，因此增加一个二元体对体 系的实际自由度没有影响。同理，在一个体系上撤 去一个二元体，也不会改变体系的几何组成性质。
如果在一个体系中增加一个约束，
而体系的自由度并不因此而减少，则
A
此约束称为多余约束。图 (b)三根链杆
中有一根是 多余约束。
多余约束对体系的自由度没有影
(b)
响。
4.2 几何不变体系的基本组成规则
4.2.1 二刚片规则
两刚片用不全交于一点也不全平行的三根 链杆相互联结，或用一个铰及一根不通过铰心 的链杆相联结，组成无多余约束的几何不变体 系。
图示三个刚片用复铰联结后，其自由度由原来的 9个减少为5个。即点 A处的复铰减少了 4个自由度，相 当于两个单铰的作用。一般来说， 联结 n个刚片的复 铰，其作用相当于（ n?1）个单铰。
使体系减少 2 （n?1）个自由度。
(6) 虚铰的作用与单铰一样，仍相当于两个约束 图（ a）刚片用两根不平行的链杆与
● 工程结构必须是几何 不变体系 ，决不能采用几何 可变体系。
几何可变体系
几何不变体系
4.1.3 刚片、自由度和约束的概念 1. 刚片
由于不考虑材料的应变，故可将几何不变体系 中每一根杆件视为刚体，在平面体系中又把刚体称 为刚片。
体系中已被肯定为几何不变的某个部分，也可 看成是一个刚片。
支承体系的基础也可看成是一个刚片。
于是得到 二元体规则 ：在一个平面体系上增加 或减少若干个二元体，不改变体系的几何组成性质。
4.3 几何组成分析举例
● 应用基本组成规则进行分析的关键是恰当 地选取基础、体系中的杆件或可判别为几何不变的 部分作为刚片，应用规则扩大其范围，如能扩大至 整个体系，则体系为几何不变的；如不能的话，则 应把体系简化成二至三个刚片，再应用规则进行分 析。
小结
1. 几个基本概念
(1) 几何不变体系 指在任意荷载作用下能保持其原有的几何形状 和位置的体系。 (2) 几何可变体系 指在任意荷载作用下其原有的几何形状和位置 发生变化的体系。
(3) 瞬变体系 如果一个几何可变体系在发生微小的位移后， 即成为几何不变体系，称为瞬变体系。 (4) 刚片 在几何组成分析中，由于不考虑材料的应变， 故可以把每一杆件或体系中已被肯定为几何不变的 某个部分看作刚体，刚体在平面体系中称为刚片。
(5) 自由度 一个体系的自由度，是指该体系在运动时确 定其位置所需的独立坐标的数目。 (6) 约束 约束是刚片和刚片之间的某种联结装置，是 限制体系运动的一种条件。体系由于加入约束而 使自由度减少。
(7) 多余约束 如果在体系中增加一个约束，体系的自由度并 不因此而减少，则该约束称为多余约束。
y
?
x
y
o
x
3. 约束对自由度的影响
约束是刚片和刚片之间的某种联结装置，是限制 体系运动的一种条件。显然，体系由于加入约束而 使自由度减少。我们把能减少一个自由度的装置称 为一个约束。 约束的分类 (1) 一根链杆相当于一个约束
如果用一根链杆将刚片与基础
相联结，则刚片在链杆方向的运动 y
将被限制。但此时刚片仍可进行两
I
固定铰支座可减少两个自由度，
A
故一个固定铰支座相当于两个约 o
x
束。
(3)一个固定端支座相当于三个约束 如果在点 A处再加一个阻止刚片转动的约束， 则点 A处成为一个固定端支座，刚片的自由度等于 零。可见一个固定端支座相当于三个约束 。
y
I A
o
x
(4) 一个单铰相当于两个约束 联结两个刚片的铰称为单铰。 如果用一个铰 A将刚片Ⅰ与刚片Ⅱ 相联结，设刚片Ⅰ的位置可以由
I
种独立的运动，即链杆 AC绕C点的 A
转动以及刚片绕 A点的转动。加入
C
链杆后，刚片的自由度减少为两个。o
x
可见一根链杆可减少一个自由度，
故一根链杆相当于一个约束 。
(2)一个固定铰支座相当于两个约束
如果在点 A处再加一根水平
链杆，即点 A处成为一个固定铰
y
支座，则刚片只能绕点 A转动，
其自由度减少为一个。可见一个
4. 体系的几何组成与静定性的关系
（1）无多余约束的几何不变体系是静定结构。 （2）有多余约束的几何不变体系是超静定结构。 未知力总数与独立平衡方程总数的差值 n，即多余约 束的数目 n，称为超静定次数。
说明： 三个铰不能在同一直线上
将刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ用不在同一直线上的 A、B、
C三个铰两两相连，把刚片Ⅰ看作一根链杆，应用二 刚片联结规则，图 (a)所示体系是几何不变的，且无 多余约束。
将图 (a) 中任一个铰用两根链杆代替，只要这些 由两根链杆所组成的实铰或虚铰不在同一直线上， 这样组成的体系也是无多余约束的几何不变体系 ［图(b)］。
（1）对于无多余约束的结构， 如图示组合梁， 它的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得， 这类结构称为 静定结构。
组合梁的独立的平衡方程总数为 6，未知力总 数为6，是静定的结构。
（2）对于有多余约束的结构 ，如图示连续梁， 其约束反力有四个，而静力平衡方程只有三个，无 法求得全部约束反力，当然也无法求得它的全部内 力，这类结构称为 超静定结构 。未知力总数与静力 平衡方程总数的差值，即多余约束的数目，称为 超 静定次数 。
点A的坐标 x、y和倾角 ? 1确定，由
于点 A是两刚片的共同点，则刚片
Ⅱ的位置只需用倾角 ? 2就可以确
定。
因此，两刚片原有的 6个自由度就减少为 4个。 可见一个单铰相当于两个约束 。
(5) 联结n个刚片的复铰，其作用相当于（ n?1） 个单铰 ，使体系减少 2 （n?1）个自由度。
当用一个铰同时联结两个以上刚片时，这种铰称 为复铰。
若三根链杆互相平行且等长，则 刚片Ⅰ、Ⅱ可以沿着链杆垂直的方向 发生相对平动，体系是几何可变的。
若三根链杆相互平行但不等长， 则刚片Ⅰ、Ⅱ在发生一微小的相对位 移后，三根链杆不再全平行，因而不 再发生相对运动，故体系是瞬变体系。
4.2.2 三刚片联结规则
三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联， 或分别用不完全平行也不共线的两根链杆两两相 连，组成无多余约束的几何不变体系 。