安徽省阜阳三中2019届高三上学期文科数学第五次周考试卷09.26

安徽省阜阳三中2018-2019学年高三第一学期
文科数学第五次周考试卷2018-09-26
一、单选题
1．在复平面内，复数1i
z i
=
+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．已知全集2
{|560}U x Z x x =∈--<，{|12}A x Z x =∈-<≤，{2,3,5}B =，则
()U C A B ⋂=( )
A ．{2，3，5}
B ．{3，5}
C ．{2，3，4，5}
D ．{3，4，5} 3．下列命题正确的个数是( )
①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的否命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件；
③存在实数0x ，使2
0010x x ++<；
④命题“若1m >，则2
20x x m -+=有实根”的逆否命题是真命题． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
4．下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上为减函数的是( )
A ．sin 2y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ B ．cos 2y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．sin 22y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．cos 22y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
5．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则2
(23)()0x x f x '-->的解集为
A ．(,2)(1,)-∞-+∞
B ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞
C ．(,2)(1,2)-∞-
D ．(,1)
(1,0)(2,)-∞--+∞
6．己知{}n a 是等比数列，22a =，51
4
a =，则12231n n a a a a L a a ++++=( ) A ．16(14)n
-- B ．16(12)n
-- C ．
32(14)3n -- D ．32
(12)3
n --
7．已知7sin()63πα+=，则2cos(2)3
π
α-=( ) A ．23-
B ．13-
C ．23
D ．13
8．在△ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且(2)cos cos b a C c A -=，3c =，
sin sin sin A B A B +=，则ABC ∆的面积为( )
A B ．2 C D 9．已知函数3
()(22)x
x
f x x -=-，若实数α满足20.5(lo
g )(log )2(1)f f f αα+≤，则实数α的取值范围为( )
A ．1
(,)
(2,)2
-∞+∞ B ．1
(,2)2
C ．1[,2]2
D ．1(,4]4
10．设01b a <<<，1c >，则( ) A ．2
ab b bc << B ．log log b a a c b c <
C ．c c
ab ba > D ．log log a b c c <
11．已知变量,x y 满足约束条件40
20250
x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则2(,)2x y f x y x y +=+的取值范围是
A ．57(,)75
B ．7(,)5+∞
C ．57[,]75
D ．5(,)7
-∞
12．已知函数2
y x =的图象在点2
00(,)x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，(0,1)x ∈的图象相切，则0x 必满足( ) A ．0102x <<
B ．01
12
x << C
．
02
x << D
0x <<二、填空题
13．已知(,2)αππ∈
，cos α=，tan 2________α=． 14．已知函数22log (1)1,1
(),1
x x f x x x --+<⎧=⎨≥⎩，若()3f a =，则________a =．
15．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c
cos cos C
A =
，若6B π=，BC
边上中线AM =ABC 的面积为________．
16．若对(),0,x y ∀∈+∞，不等式2
24ln 2x y x y x a e e +---≤++恒成立，则正实数a 的最大值
是________． 三、解答题
17．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足：2
12n n n S a S ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
． (Ⅰ)求n a ； (Ⅱ)令21
n
n S b n =
+，求数列{}n b 的前项和n T ．
18．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1cos 3
A =． (1)求sin()
B
C +的值；
(2)若2a =，ABC S ∆=,b c 的值．
19．已知函数2
()2cos cos f x x x x =+．
(1)求函数()f x 的单调递减区间； (2)将函数()y f x =的图像向左平移
12
π
个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的
12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域． 20．已知数列{}n a ，{}n b 满足：1*112233(1)22()n n n a b a b a b a b n n ++++
+=-+∈N ．
(Ⅰ)若{}n b 是首项为1，公比为2等比数列，求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)在数列{a n }中，11a =，对任意*
,p q ∈N ，p q p q a a a ++=，记数列{}n n a b +的前n
项和为T n ，求满足不等式2
1002
n n T >+的自然数n 的最小值． 21．已知函数211
()ln (,0)22
f x x a x a R a =
--∈≠ (1)当2a =时，求曲线()y f x =在点(1，f (1))处的切线方程： (2)求函数()f x 的单调区间；
(3)若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．
22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩
(ϕ为参数)．以O 为极点，x 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求圆C 的极坐标方程；
(Ⅱ)直线l 的极坐标方程是()
sin ρθθ=:3
OM πθ=
与圆C 的交点为
,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
参考答案
1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．B 8．D 9．C 10．D 11．C 12．D 13．43
-
14．-3 15
16
．
17．解：(1)当2n ≥时，1n n n a S S -=-， ∴2
2
111111
()()2
22
n n n n n n n n n S S S S S S S S S ---=--=--+， ∴112n n n n S S S S ---=， ∴
1
112n n S S --=，即数列1
{}n S 为等差数列，111S a ==，
∴
111(1)221n n n S S =+-⨯=-，∴1
21
n S n =-， 当2n ≥时，1111
2123(21)(23)
n n n a S S n n n n -=-=
-=-----， ∴1,1
1
,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪
=⎨-≥⎪--⎩
(2)1111
()21(21)(21)22121
n n S b n n n n n =
==-+-+-+， 11111111
[(1)(
)()](1)2335212
12212
1
n n
T n n n n =
-
+-++-=-=-+++ 18．(1)
3
； (2)b c ==19．(1)∵()2cos 212sin(2)16
f x x x x π
=++=++
由3222,2
6
2k x k k Z π
π
πππ+
≤+
≤+
∈，解出2,63
k x xk k Z ππππ+≤≤+∈
所以()f x 的减区间为2[,],6
3
k k k Z π
π
ππ++
∈， (2)因为将()f x 左移
12π得到2sin[2()]12sin(2)1663y x x πππ
=+++=++ 横坐标缩短为原来的12，得到()2sin(4)13
g x x π
=++
∵04x π
≤≤
∴44333
x πππ
≤+≤
∴sin 413x π⎛
⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭
∴12sin(4)133
x π
≤+
+≤，所以所求值域为[1
20．(Ⅰ)因为1112233(1)22n n n a b a b a b a b n ++++
+=-+，
则2n ≥时，11223311(2)22n n n a b a b a b a b n --+++
+=-+，
两式相减，得2(2)n
n n a b n n =≥，
当1n =时，112a b =，满足上式，所以*
2(N )n n n a b n n =∈，
又因为{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，则1
2n n b -=，
所以2n a n =．
(Ⅱ)因为对任意*
,p q ∈N ，p q p q a a a ++=，则11n n a a a ++=，即111n n a a a +-==，
所以数列{a n }是首项为1，公差为l 的等差数列，所以n a n =，
由(Ⅰ)得2n
n b =，
1
1212
(1)2(12)(1)()()222122
n n n n n n n n n T a a a b b b ++-+=+++++++=+=+--，
不等式21002n n T >+，即121022
n n
++>， 所以，满足条件的自然数n 的最小值为6． 21．解：(1)2a =时，211
()2ln 22
f x x x =--，(1)0f = 2
()f x x x
'=-
，(1)1f '=-
曲线()y f x =在点(1，f (1))处的切线方程10x y +-=
(2)2()(0)a x a
f x x x x x
-'=-=
> ①当0a <时，2()0x a
f x x
-'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为(0，+∞) ②当0a >时，令()0f x '=
，解得x =
x =
所以函数()f x 的递增区间为)+∞，递减区间为(0
(3)对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[1，+∞)上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11
(1)ln1022
f a =
--=所以0
a <满足题意； ②当
01a <≤时，01<，(
)f x 在[1，+∞)上是增函数，所以只需(1)0f ≥
而11
(1)ln1022
f a =
--=所以01a <≤满足题意； ③当1a >1>，()f x 在上是减函数，)+∞上是增函数， 所以只需0f ≥即可 而(1)0f f <= 从而1a >不满足题意； 综合①②③实数a 的取值范围为(,0)
(0,1]-∞．
22．(Ⅰ)圆C 的普通方程是2
2
(1)1x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=；所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．
(Ⅱ)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得111
3ρπθ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，设22(,)ρθ为点Q 的
极坐标，则
有(
)
2222sin 3ρθθπθ⎧+=⎪
⎨=
⎪⎩解得
223
3ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，由于12θθ=，所以12||||2PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2．
考点：参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化，考查学生的转化与化归能力及运算能力．。