福建师大附中18-19学度高二上年末考试-数学(文)

福建师大附中18-19学度高二上年末考试-数学（文）
【一】选择题：〔 每题5分，共60分；四个选项中，只有一项符合题目要求 〕
A.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0≥x
B.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0
>x
C.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥Ｄ.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >
2.某物体的位移S 〔米〕与时间〔秒〕的关系是23)(t t t S -=,那么物体在2t =秒时的瞬时速度为〔***〕
A.m/s
B.2m/s
C.1-m/s
D.7m/s
3、定点A 、B ，且2||=AB ，动点P 满足1||||=-PB PA ，那么点P 的轨迹为〔***〕
A.双曲线
B.双曲线一支
C.两条射线
D.一条射线
4、抛物线2x y =的准线方程是〔***〕
A.4x +1=0Ｂ.4y +1=0Ｃ.2x +1=0Ｄ.2y +1=0
5、:p 假设x 2＋y 2
≠0，那么x ，y 不全为零，:q 假设2->m ，那么022=-+m x x 有实根，那么〔***〕
A.""q p ∨为真
B.""p ⌝为真
C.""q p ∧为真Ｄ.""q ⌝为假
6.某公司的产品销售量按函数)(t f y =规律变化，在],[b a t ∈时，反映该产品的销售量的增长速度先快后慢的图象可能是〔***〕
7.设:p “0=k ”,:q “直线1:+=kx y l 与抛物线x y 42=只有一个公共点”， 那么p 是q 〔***〕条件
A.充分且非必要
B.必要且非充分
C.充分且必要
D.既非充分也非必要
8.曲线()ln f x x x =在点(1,0)处的切线方程为〔***〕
A.1y x =-+
B.1y x =-
C.y ex e =-
D.y ex e =-+
9、假设k 能够取任意实数，那么方程x 2+k y 2=1所表示的曲线不可能．．．
是〔***〕 A.直线B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线
10.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，假如直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为〔***〕
11.数列{}n a 满足2112,4(2),3n n n a a a n --=-=≥记1
32n
n n a T -=，假如对任意的正整数n ，都有n
T M ≥，那么实数M 的最大值为〔***〕
A.2
B.3
C.4
D.5
12、函数的图象与方程的曲线有着紧密的联系，如把抛物线2y x =的图象绕原点沿逆时针方向旋转90就得到函数2y x =的图象.假设把双曲线2
213x y -=绕原点按逆时针方向旋
转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，那么旋转角θ能够是〔***〕
A 、30
B 、45
C 、60
D 、90
【二】填空题〔每题4分，共16分〕
13、数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，那么n a =******
14、点P 在双曲线122=-y x 上运动，O 为坐标原点，线段PO 中点M 的轨迹方程是***** 15、设12
,F F 是椭圆223448x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，满足123sin 5PF F ∠=，12PF F ∆的面积为6，那么2PF =*****
16、点),(y x P 满足椭圆方程1222=+y x ，那么1
-x y 的最大值为*****
【三】解答题：〔本大题共6题，总分值74分〕
17.〔此题总分值12分〕
在
ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos b A B =. 〔Ⅰ〕求角B 的大小；
〔Ⅱ〕假设3b =，sin 2sin C A =，求,a c 的值.
18.〔此题总分值12分〕
{}n a 为等差数列，且13248,12a a a a +=+=
〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕记数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值.
19、〔此题总分值12分〕
椭圆C ：
2222
1(0)x y a b a b +=>>的上顶点坐标为，离心率为12.
〔Ⅰ〕求椭圆方程；
〔Ⅱ〕设P 为椭圆上一点，A 为左顶点，F 为椭圆的右焦点，求AP FP ∙的取值范围.
20、〔本小题总分值12分〕
直线通过抛物线24x y =的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，点O 为坐标原点. 〔Ⅰ〕证明：AOB ∠为钝角.
〔Ⅱ〕假设AOB ∆的面积为4，求直线的方程;
21.如图，有一边长为2米的正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分、工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形、
〔Ⅰ〕请建立适当的直角坐标系．．．．．．．．．．
，求阴影部分的边缘线OC 的方程; 〔Ⅱ〕如何画出切割路径EF ，使得剩余部分即直角梯形ABEF 的面积最大？ 并求其最大值、
22.如图，设AB 、''A B 分别是圆22:4O x y +=和椭圆2
2:14
x C y +=的弦，且弦的端点在y 轴的异侧，端点A 与'A 、B 与'B 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号. 〔Ⅰ〕假设弦''A B 所在直线斜率为1-，且弦''A B 的中点的横坐标为45
，求直线''A B 的
方程；
〔Ⅱ〕假设弦AB 过定点3(0,)2
M ，试探究弦''A B 是否也必过某个定点.假设有，请证明；假设没有，请说明理由.
参考答案
17.解：(I)
由sin cos b A B =及正弦定理sin sin a b A B
=
，得sin B B =，
因此tan B =(0,)B π∈,∴3B π=
(Ⅱ)由sin 2sin C A =及sin sin a b A B
=，得2c a =，由3b =及余弦定理2222cos b a c a B =+-，得229a c ac =+-,
因此a =
c =
18.解：(I)设数列{}n a 的公差为d ,112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩解得1
2a =，2d = 因此1
(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=
〔Ⅱ〕设(,)P x y ，(2,0),(1,0)A F -，那么
222AP FP x x y ∙=+-+---〔*〕 点P 满足223412x y +=，22
3(1)4x y ∴=-代入〔*〕式，得：
211(22)4
AP FP x x x ∙=++-≤≤ 依照二次函数的单调性可得：AP FP ∙的取值范围为[0,4]
20.解：(I)依题意设直线的方程为：1y kx =+〔k 必存在〕 2214404y kx x kx x y
=+⎧⇒--=⎨=⎩，216160k ∆=+>∴设直线与抛物线的交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，那么有221212124,1,44
x x x x y y =-==121230x x y y ∴+=-<，依向量
的数量积定义，cos 0AOB ∠<即证AOB ∠为钝角
21.解：(I)以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如下图的直角坐标系，依题意
可设抛物线弧OC 的方程为2(02)y ax x =≤≤
∵点C 的坐标为(2,1)， ∴221a =，14
a = 故边缘线OC 的方程为21(02)4
y x x =≤≤. (Ⅱ)要使梯形ABEF 的面积最大，那么EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,)(02)4P t t t <<，∵12
y x '=，
2122t t =-++2155(1)222t =--+≤.∴当1t =时，5().2S t = 故()S t 的最大值为2.5.如今||0.75,|| 1.75AF BE ==. 答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为
22.5m .
设11(,)A x y 、22
(,)B x y 、'1(,)A x m 、'2(,)B x n ，
∵点A 在圆O 上，∴22114x y +=，………①
∵点'A 在椭圆C 上，∴2
21
14x m +=，………②
化简得12212132
y x y x x x -=-
直线''A B 的方程为：21112122()2y y y y x x x x --=--，即212112y y y x x x -=+-1221212()y x y x x x --， 由12212132y x y x x x -=-得直线''A B 的方程为：212112y y y x x x -=+-34， 由弦AB 过定点3(0,)2M ，猜想弦''A B 过定点'3(0,)4M . ∵弦AB 过定点3(0,)2M ，∴12x x ≠且AM BM k k =，即12123322y y x x --=……①。