右玉县四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟
试卷
右玉县四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级
__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择
题
1．若函数f（x）=﹣2x
3+ax2+1 存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为（）
A．[0，+∞）B．[0，3] C．（﹣3，0] D．（﹣3，+∞）
2
2 2 ( 0) 2 1
y
2．过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交其抛物线于、y px p F x - = A
8
B AF > BF | AF | 3
两点，若，且，则抛物线方程为（）
2
2 2 2 4 A．B．C．D．y x y x y x
2 3 y x
【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质
等基础知识
，意在考查方程
思想和运算能力．
2 y2 x ay a
3 ．已知 a 2，若圆O1 ：x 2 2 8 15 0，圆O2 ：
2 y2 ax ay a a
2
x 2 2 4 4 0 a
恒有公共点，则的取值范围
为（）.
5 5
A．( 2, 1] [3, ) B．( , 1) (3, ) C．[ , 1] [3, ) D．( 2, 1) (3, )
3 3
4．已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“a=0”是“点M 在第四象
限”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．如图，在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，P为棱A1B1 中点，点Q 在侧面DCC1D1 内运动，若
PBQ PBD Q
，则动点的轨迹所在曲线为（）1
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
，意在考查空间想象能力.
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识
6．如果对定义在R 上的函数 f ( x) ，对任意m n，均有mf (m) nf (n) mf (n) nf (m) 0成立，则称
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卷
试
精选高中模拟
函数 f (x) 为“H 函数”.给出下列函数：
x
3 x
①f (x) ln 2 5；②( ) 4 3；③；④
f x x f (x) 2 2x 2(sin x cosx)
ln | x |,x 0
f (x) H
．其中函数是“函数”的个数为（）
0, x 0
A．1 B．2 C．3 D． 4
要【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来
刻画，对于较复杂函数也
度大
．
，难
性强
有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活
7．已知m，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）
A．m? α，n∥m? n∥αB．m? α，n⊥m? n⊥α
C．m? α，n? β，m∥n? α∥βD．n? β，n⊥α? α⊥β
8．如图所示，网格纸表示边长为 1 的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
（）
A．4 B．8 C．12 D．20
基本运
算能力．
能力和
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象
9．若命题p：?x∈R，x﹣2＞0，命题q：? x∈R，＜x，则下列说法正确的是（）
A．命题p∨q 是假命题B．命题p∧（￢q）是真命题
C．命题p∧q 是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题
10．已知等差数列{a n} 中，a6+a8=16，a4=1，则a10 的值是（）
A．15 B．30 C．31 D．64
11．下列命题正确的是（）
A．很小的实数可以构成集合.
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试卷
B．集合 2
y y x 与集合
| 1
2
x y y x 是同一个集合. , | 1
C．自然数集N 中最小的数是.
D．空集是任何集合的子集.
12．下列关系正确的是（）
A．1? {0 ，1} B．1∈{0 ，1} C．1? {0 ，1} D．{1} ∈{0 ，1}
二、填空题
* 2
13．已知数列{a n } 的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n N ，均有a 、S n 、a 成等差数列，
n n
则a n ．
14．将曲线C1: y 2sin( x ), 0 向右平移个单位后得到曲线 C ，若C1 与C2 关于x 轴对称，则
2
4 6
的最小值
为_________.
15．（文科）与直线x 3y 1 0垂直的直线的倾斜角为___________．
16．在ABC 中，已知角A,B, C 的对边分别为a,b,c，且a b cosC c sin B ，则角B
为.
17．若与共线，则y= ．
18．下列命题：
①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；
②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点；
③数列{a n} 为等差数列，设数列{a n} 的前n 项和为S n，S10＞0，S11＜0，S n 最大值为S5；
④在△ABC 中，A＞B 的充要条件是cos2A＜cos2B；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强．
其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）．
三、解答题
19．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：
第一次第二次第三次第四次第五次
甲的成绩82 87 86 80 90
乙的成绩75 90 91 74 95
（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出 1 人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并
说明理
由；
（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝
对值
不超
过 5 分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述 5 次摸底考试成绩
统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
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20．从某居民区随机抽取10 个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）得x i =80，y i=20，x i y i =184，x i2=720．
的数据资料，计算
；
（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方
程
相关；
（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负
（3）若该居民区某家庭月收入为7 千元，预测该家庭的月储蓄．
21．已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N* ）的展开式中x 的系数为11．
（1）求x 2 的系数取最小值时n 的值．
（2）当x 2 的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x 的奇次幂项的系数之和．
22．设{a n} 是公比小于 4 的等比数列，S n 为数列{a n} 的前n 项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列．
（1）求数列{a n} 的通项公式；
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（2）令b n=lna3n+1，n=12⋯求数列{b n} 的前n 项和T n．
23．．
（1）求证：
（2），若．
24．已知椭圆C1：+x 2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y 有相同焦点F1．
（Ⅰ）求椭圆C1 的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1 的另一焦点F2，且与抛物线C2 相切于第一象限的点A，设平行l1 的直线l交椭圆C1于B，C 两点，当△OBC 面积最大时，求直线l的方程．
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右玉县四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】 D
【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，
易知当x=0 时上式不成立；
故a= =2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+ =2 ，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3 时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1 存在唯一的零点，
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故选：D．
2．【答案】 C
ì
y
? = 2 2
p
? -
x
?
2
?
?
p
? p
【解析】由已知得双曲线的一条渐近线方程为y = 2 2x ，设A( x0, y0 )，则0 ，所以，
x >
x + = 3
í
2 2 ?
?
2
y = 2px ?
0 0
?
?
?
p p
2 4
- > 0 < p < 3 p = 2 y x 解得p = 2或p = 4，因为
3 ，故，故，所以抛物线方程为．
2 2
3．【答案】 C
2 2 2
【解析】由已知，圆O1 的标准方程为，圆的标准方程为
(x1) (y a) (a 4) O2
2 2 2
( x a) ( y a) (a 2) a 2 2 |O1O2 | 2a 6
，∵，要使两圆恒有公共点，则，即
5
a 1
2 a a a 3
| 1| 2 6 3
，解得或，故答案选 C
4．【答案】 A
【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i ）=2﹣2i，点M 在第四象限，是充分条件，
若点M 在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i ，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件；
故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．
5．【答案】 C.
【解析】易得BP / / 平面CC1D1D ，所有满足PBD1 PBX 的所有点X 在以BP为轴线，以BD1 所在直
线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面CC1D1D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选 C.
6．【答案】B
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第7．【答案】D
；
【解析】解：在 A 选项中，可能有n? α，故 A 错误
；
在B 选项中，可能有n? α，故B 错误
；
在C 选项中，两平面有可能相交，故 C 错误
得 D 正确．
在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理
故选：D．
力
的培
养
能
．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注
维
意空
间思
8．【答案】C
6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
底面为长
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且
1
12 3 12，故选 C.
3
9．【答案】 B
2＞0 有解，∴命题p 是真命题；
2＞0，即不等式x﹣
【解析】解：?x∈R，x﹣
x＜0 时，＜x 无解，∴命题q 是假命题；
∴p∨q 为真命题，p∧q 是假命题，￢q 是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；
故选：B．
，以及
p∨q，p∧q，￢q 的真假和p，q 真假的关系．
【点评】考查真命题，假命题的概念
10．【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n} ，
∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，
∴a10=15，
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精选高中模拟
试卷
故选：A ．
11．【答案】D
【解析】
试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所
以
选
项
D是正确，故
选D.
考点：集合的概念；子集的概念.
12．【答案】B
【解析】解：由于1∈{0 ，1} ，{1} ? {0 ，1} ，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断
，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键
．
二、填空题
13．【答案】n
2
【解析】∵a n ，S n ，成等差数列，∴
a
n
2 2S a a n n n
2
当n 1时，2a 2S a a 又a1 0 ∴a1 1
1 1 1 1
2 2
当n 2 时，，
2a n 2(S n S n ) a n a n a n a n
1 1 1
2 2
∴，
(a a ) (a a ) 0
n n 1 n n 1
∴，
(a n a n )( a n a n ) (a n a n ) 0
1 1 1
又，∴，
a a 1 0 a a 1 1
n n n n
∴{ a } 是等差数列，其公差为1，
n
*
∵a1 1，∴a n(n N ) ．
n
14．【答案】 6
【解析】解析：曲线
C2 的解析式为y2sin[ (x) ] 2sin( x ) ，由C1 与C2 关于x轴对
6 4 4 6
称知sin( x ) sin( x ) ，即 1 cos( ) sin( x ) sin( ) cos( x ) 0 对一切
4 6 4 6 4 6 4
x R
1 cos( ) 0
6
恒成立，∴∴，∴，由得的最小值
为6.
(2k 1) 6(2k 1),k Z 0
6
sin( ) 0
6
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15．【答案】
3
【解析】
试题分析：依题意可知所求直线的斜率为 3 ，故倾斜角为.
3
考点：直线方程与倾斜角．
16．【答案】
4
【解析】
考点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用
三角形的三角和是180 ，消去多余的变量，从而解出 B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三
角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016 年全国卷（）中以选择题的压轴题出现.
17．【答案】﹣6．
【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0
解得y= ﹣6
故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y 的方程，是解答本题的关键．
18．【答案】②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数，不正确，取x= ，，但是
，，因此不是单调递增函数；
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②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n} 为等差数列，设数列{a n} 的前n 项和为S n，S10＞0，S11＜0，∴=5（a6+a5）＞0，
=11a6＜0，
∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此S n 最大值为S5，正确；
④在△ABC 中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B ）sin（A﹣B）=2sin（A+B ）sin（B﹣A）＜0? A＞B，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确．
其中正确命题的序号是②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、
线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）解法一：
依题意有，
答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．
（注：按（Ⅱ）看分数的标准， 5 次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．
答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．
解法二：因为甲 5 次摸底考试成绩中只有 1 次90，甲摸底考试成绩不低于90 的概率为；
乙5 次摸底考试成绩中有 3 次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90 的概率为．
所以选乙合适．
（Ⅱ）依题意知 5 次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为 A ，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．
从这5 次摸底考试中任意选取 2 次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB ，AC ，BC 共10 种情况．
恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC 共6 种情况．
∴5 次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查
化归转化思想、或然与必然思想．
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20．【答案】
【解析】解：（1）由题意，n=10，= x i=8，= y i=2，
∴b= =0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，
∴y=0.3x﹣0.4；
（2）∵b=0.3＞0，
∴y 与x 之间是正相关；
0.4=1.7（千元）．
（3）x=7 时，y=0.3 ×7﹣
21．【答案】
【解析】
【专题】计
算题．
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x 的系数，列出方程得到m，n 的关系；利用二项展开式的通项公式求出x 2 的系数，
将m，n 的关系代入得到关于m 的二次函数，配方求出最小值
1，两式子相加求出展开式中x 的奇次幂项的系数之和．
（2）通过
赋值1，﹣
对x 分别
【解答】解：（1）由已知C m1+2C n1=11，∴m+2n=11 ，
x2 的系数为C m2+22C n2= +2n（n﹣1）= +（11﹣m）（﹣1）=（m﹣）2+ ．
∵m∈N*，∴m=5 时，x2 的系数取得最小值22，
此时n=3．
（2）由（1）知，当x2 的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）5+（1+2x）3．
时f（x）的展开式为
设这
f（x）=a0+a1x+a2x2++a5x5，
令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33，
1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1，
令x=﹣
两式相减得2（a1+a3+a5）=60，
故展开式中x 的奇次幂项的系数之和
为30．
殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特
问题．
22．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n} 的公比为q＜4，∵a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列．
∴2×3a2=a1+3+a3+4，∴6q=1+7+q 2，解得q=2．
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（2）由（1）可得：a n=2n﹣1．
b n=lna3n+1=ln23n=3nln2 ．
∴数列{b n} 的前n 项和T n=3ln2 ×（1+2+⋯+n）
= ln2．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵，∴a n+1=f（a n）= ，
则，
∴{ } 是首项为1，公差为3的等差数列；
2，
（2）由（1）得，=3n﹣
∵{b n} 的前n 项和为，
∴当n≥2 时，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，
b n=2n﹣1，而b1=S1=1，也满足上式，则
∴= =（3n﹣2）2n﹣1，
∴=20+4 ?21+7?22+⋯+（3n﹣2）2n﹣1，①
则2T n=21+4 ?22+7?23+⋯+（3n﹣2）2n，②
1+3?22+3 ?23+⋯+3?2n﹣1﹣（3n﹣2）2n，
①﹣②得：﹣T n=1+3?2
∴T n=（3n﹣5）2n+5．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵抛物线
x2=4y 的焦点为F1（0，1），
∴c=1，又b2=1，∴
∴椭圆方程为：+x2=1．⋯
（Ⅱ）F2（0，﹣
1），由已知可知直线l1 的斜率必存在，
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设直线l1：y=kx﹣1
4kx+4=0
由消去y 并化简得x2﹣
∵直线l1与抛物线C2 相切于点A．
∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．⋯
∵切点 A 在第一象限．
∴k=1⋯
∵l∥l 1
∴设直线l 的方程为y=x+m
由，消去y 整理得3x 2+2mx+m 2﹣2=0，⋯
△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，
解得．
设B（x1，y1），C（x2，y2），则，
．⋯又直线l 交y 轴于D（0，m）
∴⋯
=
当，即时，．⋯
．⋯
所以，所求直线l 的方程为
，考查运
力
算求解能
系
关
【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位
置
．
及数形结合和化归与转化思
想
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第14页。