材料力学专项习题练习4扭转

扭 转
1. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为d , 外径为D , 内外径之比为22d D α=的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比12/A A 有四种答案：
(A) 2
1α-； (B)
(C)
；
(D)。

2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立
3. 一内外径之比为/d D α=的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力有四种答案：
(A) τ ； (B) ατ； (C) 3(1)ατ-； (D) 4(1)ατ-。

4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。

扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭转角ϕ有四种答案：
7. 图示圆轴
料的切变模量
(A) 43π128d G a ϕ(C) 43π32d G a ϕ
8. 一直径为D 重量比21W W 9. 想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。

10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。

1-10题答案
9. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；4/3 10. 横截面翘曲
11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。

证：截面切应力 41 03s R R ρρττρ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭
截面扭矩 0
4d 12πd 03R
s s A T A R ρρτρτρρ⎛⎫
==-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰ 证毕。

12. 图示直径为d 的实心圆轴,两端受扭转力偶e M 用1/m C τγ=表示，式中C ，m 为由实验测定的已知常数，试证明该轴的扭转切应力计算公式为：
1/e (31)/2π()2
3m 1m
m m
M m d ρρτ+=
+ s /3
证：几何方面 d d x
ρϕγρ
= 物理方面 1/1/d d m
m
C C x ρϕτγ
ρ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
静力方面 1//2
1/e 0
d d 2πd d m
d m
A
M T A C x ρϕρτρρ
ρρ⎛⎫==⋅⋅=
⋅⋅ ⎪⎝⎭
⎰⎰
1//2
21/0
d 2πd d m d m
C x ϕρ
ρ+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
⎰
(31)/1/()d 22π(31)
d m m
m
d C m x m
ϕ+⎛⎫
= ⎪
+⎝⎭
1/e (31)/(31)d d 2π()
2
m
m m M m d x Cm ϕ++⋅
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
⋅ 所以 1/e (31)/2π()2
3m 1m
m m
M m d ρρτ+=+ 证毕。

13. 薄壁圆管扭转时的切应力公式为2
02πT
R τδ
=
（0R 为圆管的平均半径，δ为壁厚），试证明，当010R δ≥时，该公式的最大误差不超过4.53%。

证：薄壁理论 202πT
R τδ
=
精确扭转理论:
0max
222200002π22222T R R R R R δτδδδδ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦022
020212π4T R R R δδδ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
误差 2
2max 0max max
41124R R δτττ
εδττ+
-==-=-
+
当010R δ≥时， 1
41001 4.53%145
ε+
≤-
=+ 证毕。

14. 在相同的强度条件下，用内外径之比0.5d D =的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少？
解：设空心轴内外直径分别为22,d D ，实心轴直径为1d
3
3
412ππ(1)16
16
T T d D α=
- ⇒
21 1.02D d == 节省材料
2212
22
11(1)
121.7%A A D A d α--=-=
15. 一端固定的圆轴受集度为m 的均布力偶作用，发生扭转变形，已知材料的许用应力
][τ，若要求轴为等强度轴，试确定轴直径沿轴向变化的表达式()d x 。

解：取自由端为x 轴原点,x 轴沿轴线方向,则
扭矩方程 ()T x m x = 最大切应力 max 3
()[]π()T x m x
W x ττ=
== 轴径 16. 240 r min n =试
(1) (2) 解：(1) e M =max τ=
（2）e S 330.18F D =
⨯S
22[]π4
F d ττ=≤
⇒ 11.7 mm d ≥
=
17.
转角ϕ。

解：()
d x
ϕ=
= 18.
式中T
τγ-
证：T=于是得19.
20. 已知直径30mm D =的一根实心钢轴扭转后在内部保持一个10mm d =的弹性核，如图示。

若材料为理想弹塑性（应力－应变关系如图），160MPa S τ=。

试求当卸除扭矩后，残余应力是多少？并绘出应力分布图。

解：确定初加之扭矩值：
3
2e P s s 2
π2π d 16
D d d
T T T ττρρρ=+=
+⋅⎰ 411210 N mm =⨯⋅
弹性卸荷 max 3
π/16
T
D τ==15 mm ρ=处，15()21116051 MPa τ=-=残 5 mm ρ=处，2115
70.3 MPa 15
τ⨯=
= 5
()16070.389.7 MPa τ=-=残
21. 已知直径30 mm D =的一根实心钢轴扭转后在内部保持一个10mm d =的弹性核，如图示。

若材料为理想弹塑性（应力－应变关系如图示），80 GPa G =，扭转屈服应力
s 160 MPa τ=，试求当卸除扭矩后，单位
杆长的残余扭转角为多少？
解：弹性部分单位长度的扭转角
e e p
0.4 rad/m T
GI θ==
弹性卸载单位长度扭转角
e 0.176 rad/m θ=
残余单位长度扭转角
0.4 rad/m 0.176 rad/m 0.224 rad/m 12.8 ()/m θ=-==残
+
=
22. 直径25 mm d =的钢圆杆受轴向拉力60 kN 作用时，在标距0.2 m 的长度内伸长了
0.113 mm ，受扭转力偶矩0.15 kN m ⋅作用时，相距0.2 m 两截面的相对扭转角为0.55，
求钢材的弹性模量E 、切变模量G 和泊松比ν。

解：45.6510l
l
ε-∆=
=⨯, N 122.2 MPa F A σ==
则/216 GPa E σε==
p 48.89 MPa T W τ=
=, 4/2π610 rad 180
d l γϕ-=⨯=⨯ 解得 81.5 GPa G = 又 2(1)
E
G ν=+，得0.32ν=
23.
解：1 d A =S z F 同理：S y F F S =2 24. (1) 纵截面(2) 图（b
(b)
(a)
证：(1) max 24224()0.53π33πR T Ta
M R a Ra R R
τ=⋅⨯⨯⨯
=⨯=
(2) 在半圆横截面上取面积微元d d d A r r θ=，其上之内力沿垂直和平行于z 方向的分量为d d sin F A τθ=⋅，d d cos V A τθ=⋅ 每一侧半圆截面上d F 的合力
π4 0 024sin d d π3πR Tr T
F r r R R θθ==
⎰⎰ 两侧截面上的力F 组成的力偶矩为Fa ，于是
4403π3πz Ta T
M M Fa a R R
∑=-=
-⋅=
25. 半径为R 的圆截面承受扭矩T ，导出处于/2R 与3/4R 之间的区域内所受扭矩的表达式，用R 和max τ表示结果。

解：max R
ρττρ=⋅
在
2R 与34R 之间取微面积2πd ρρ 33
2
max
4P 265π2πd 512
R
R R T ττρρ'==
⎰
26. 一圆钢管套在一实心圆钢轴上，之间为动配合，长度均为l ，先在实心圆轴两端加外力偶矩e M ，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。

求此外管与内轴的最大切应力。

解：设外管为1, 内轴为2
12T T = , 12ϕϕϕ=+ e 12p 2p1p2
M l T l T l
GI GI GI =+ 得 4
4e 124()M T T D d D
==
- e
1,max
316π M D τ=
, 4e 2,max
34161πM d d D τ⎛⎫=⋅- ⎪⎝
⎭
27. 图示圆轴，受e M 作用。

已知轴的许用切应力[]τ、切变模量G ，试求轴直径d 。

解：e A B M M M +=
0AB ϕ=, A B M a M b ⋅=⋅
得 e B a M M a b =+, e
A b M M a b
=+
当a b >时
d ≥
当b a >时
d ≥
28. 圆管A 套在圆杆B
作用外力偶矩e M 时，欲使杆B 和管A 的τ解： e a b T T M += （1）
A B ϕϕ= 即 p p B
a b A T l T l
GI GI = （2）
由(1)(2)得 e p P p A A a A A B B
M G I T G I G I =
+ , b T =
,max ,max
A B ττ=
⇒
p p /2/2
a A
b B A B T d T d I I =
29. 已知钢杆AB 和铝杆CD 的尺寸相同，切变模量之比/3:1AB CD G G =。

BF 和DE 试求CD 杆的E 处所受的约束反力 解：1()B M F F a '=-, 1D M F a =
AB CD ϕϕ=
p p
B D AB CD M al M al
G I G I = 3B D M M =
EMBED Equation.3 114
F F =
第1章习题
1-1 试求图1-18所示杆件指定截面上的内力。

图1-18 求杆件指定截面上的内力
1-2 如图1-19所示的圆轴在皮带力作用下等速转动，两皮带轮直径均为d。

试说明圆轴将发生何种变形，并求B轮左侧截面和右侧截面上的内力分量。

图1-19 求皮带轮轴的内力
1-3 已知镗刀杆刀头C上受切削力P x=750N，P y=1.5kN,P z=5kN，刀尖C点位于x-y平面内(见图1-20)。

试求镗刀杆根部A面的内力(镗刀杆自重不计)。

1-4 横截面为等边三角形的杆，已知该截面上的正应力σ
为均匀分布(见图
1-21)。

试求截面上的内力分量及其作用点。

1-5 图1-22拉伸试样上A、B两点的距离l称为标距。

受拉力作用后，用变形仪量出两点距离的增量为Δl=5×10-2mm。

若原长为l=100mm，试求A、B两点间。

的平均应变ε
m
图1-21 三角形截面的杆图1-22拉伸试样
1-6 图1-23所示三角形薄板受外力作用而变形，角点B垂直向上的位移为0.03mm，但AB和BC仍保持为直线。

试求沿OB的平均应变，并求AB、BC两边在B点的角度改变。

图1-23 三角形薄板
第2章习题
2-1 试求图2-38所示各杆在指定的横截面上的轴力，并作轴力图。

图2-38 求杆指定截面上的轴力并绘轴力图
2-2 正方形截面钢杆，杆长为2l，截面边长为a，在中段铣去长为l、宽为a/2的槽。

受力如图2-39所示。

设P =15kN,l =1m,a =20mm,E =200GPa。

求杆内最大正应力及总伸长。

图2-39 局部削弱杆件的应力及变形
2-3 在图2-40所示结构中，若钢拉杆BC的横截面直径为10mm，试求拉杆内的应力。

设由BC联接的1和2两部分均为刚体。

图2-40 求拉杆BC的应力
2-4 图2-41所示为一夹紧装置，已知螺栓为M20(其螺纹部分内径d=17.3 mm)，许用应力[σ]=50MPa，若工件所受夹紧力为25kN。

试校核螺栓的强度。

图2-41校核螺栓的强度
2-5 图2-42所示起重机，绳索AB的横截面面积为500mm2，其许用应力[σ]=40MPa。

试根据绳索的强度条件，求起重机最大的许可起重量G。

图2-42 确定起重设备的许可吊重
2-6 设有一起重架如图2-43所示，A、B、C为铰接，杆AB为方形截面木材制成的，P =5kN，许用应力[σ]=3Mpa ,求杆AB截面每边长度应为多少?
图2-43 设计AB杆的截面尺寸
2-7 蒸汽机的汽缸内的工作压力p=12MPa，汽缸内径D=400mm。

汽缸盖与汽缸用直径d=18mm的螺栓连接。

如螺栓材料的许用应力[σ]=40MPa，求需要多少个螺栓?见图2-44。

2-8 某拉伸试验机的结构示意图如图2-45所示。

设试验机的CD杆与试件AB 材料同为低碳钢，其σ
=200MPa,σs=240MPa,σb=400MPa。

试验机最大拉力为
p
100 kN。

①用这一试验机作拉断试验时，试样直径最大可达多大?
②若设计时取试验机的安全系数n=2，则CD杆的横截面面积为多少?
③若试样直径d=10mm，今欲测弹性模量E，则所加载荷最大不能超过多少?
图2-45 拉伸试验机结构简图
2-9 一钢试件如图2-46，E=200GPa,σP=200GPa,直径d =10cm，在标距l=10 cm之内用放大500倍的引伸仪测量变形，试问：当引伸仪上的读数为伸长25cm 时，则试件沿轴线方向的线应变ε、横截面上的应力σ及所受载荷P各为多少?
图2-4 求拉伸试件的应力及受力
2-10 平板拉伸试件，宽度b=298mm，厚度h=41mm。

在拉伸试验时，每增加3kN拉力，测得沿轴向应变为ε=120×10-6，横向应变ε1=-38×10-6。

试求试件材料的弹性模量E及泊桑比μ。

见图2-47。

图2-47 计算平板拉伸试件的E、μ
2-11 三角形支架，在B端装一滑轮，AB为圆钢杆，直径d=2cm，许用应力[σ]＝160MPa；BC为正方形木杆，边长a=6cm，许用拉应力为[σt]=16MPa，许用压应力[σc]=12MPa。

试求最大许可载荷P(不计滑轮摩擦) ，见图2-48。

图2-48 确定三角形支架的许可吊重
2-12 图2-49所示为铰接的正方形结构，各杆材料为铸铁，其许用压应力与许用拉应力的比值为[σc]/[σt]=3。

各杆横截面面积均为A。

试求结构的最大许可载荷P。

图2-49 确定正方形结构的许可载荷
2-13 直径为10mm的圆杆，在轴向拉伸载荷P =10 kN的作用下，试求最大切应力，并求与横截面的夹角α=30°的斜截面上的正应力及切应力。

2-14 图2-50所示拉杆沿斜截面m—n由两部分胶合而成。

设在胶合面上许用拉应力[σt]=100MPa，许用切应力[τ]=50MPa，并设胶合面的强度控制杆件的拉力。

试问：为使杆件承受最大拉力P，α角的值应为多少?若杆件横截面面积为4m2，并规定α≤60°，试确定许可载荷P。

图2-50 确定沿斜面胶合板的许可载荷
2-15 一横截面面积为103mm2的黄铜杆，受如图2-51所示的轴向载荷。

黄铜的弹性模量E=90GPa。

试求杆的总伸长量。

2-16 图2-52所示结构，A为铰支，C为滑轮，刚性梁AB通过钢丝绳悬挂在滑轮上。

已知钢丝绳横截面积A=5 cm2,E=200GPa,P=70kN。

试求：①钢丝绳的应力；②AB梁在B点的位移(不计滑轮摩擦)。

图2-52 求钢丝绳应力及B点位移
2-17 吊架结构的简图及其受力情况如图2-53所示。

CA是钢杆，长l1=2m，截面积A1=200mm2，弹性模量E1=200GPa，DB是铜杆，长l2=1m，截面积A2=800mm2，弹性模量E2=100GPa，设水平梁AB的刚度很大，其变形可以忽略不计，试求：
①要使梁AB仍保持水平时，荷载P离DB杆的距离x。

②如果使梁保持水平且竖向位移不超过2mm，则最大的P力应等于多少?
图2-53 求AB水平下降时的x等
2-18 图2-54中AB是刚性杆，CD杆的截面积A=500mm2,E=200GPa ，[σ]=160MPa。

试求此结构中B点所能承受的最大集中力P以及B点的位移δB。

图2-54 求许可载荷及B点位移
2-19 长度l，厚度为t的平板，两端宽度分别为b1和b2，弹性模量为E，两端受拉力P作用，求杆的总伸长，见图2-55。

图2-55 求矩形截面平板的总伸长
2-20 长度为l的圆锥形杆，两端的直径各为d1和d2，弹性模量为E，两端受拉力作用，求杆的总伸长，见图2-56。

图2-56 求锥形杆的总伸长
2-21 如图2-57所示，有一刚性板，用两根等长度且等截面的拉杆和铰链固定定在支座上，如许用应力[σ]＝160MPa，试求拉杆所需要的截面积。

图2-57 设计拉杆截面面积
2-22 有一两端固定的钢杆，其截面积为A=1 000mm2，载荷如图2-58所示。

试求各段杆内的应力。

2-23 如图2-59所示，有两个空心筒和一个空心圆柱套在一起，上、下端各有一刚性板与之相连，圆筒与圆柱材料的弹性模量分别为E1、E3，如此两个筒与柱受轴向载荷P作用，两个筒和柱产生相同的变形，试求空心筒和空心柱横截面上的应力。

2-24 设AB为刚性杆，在A处为铰接，而杆AB由钢杆EB与铜杆CD吊起，如图2-60所示。

杆CD的长度为1m，杆EB的长度为2 m，杆CD的横截面积为500mm2，杆EB的横截面积为250mm2。

试求各竖杆的应力与钢杆的伸长。

铜杆的E=120 GPa，钢杆的E=200GPa。

2-25 如图2-61所示，有一等截面直杆，两端固定于刚性墙。

当杆被嵌入后，温度升高了50℃，试求杆内的应力。

已知钢的E=200GPa，铜的E=100GPa，钢的α=125×10-5℃，铜的α=165×10-5℃。

图2-60 刚性梁-杆结构的静不定问题图2-61 两端固定杆的温度应力
2-26 三根截面相同的杆铰接于C(见图2-62)，杆1、2为钢杆，杆3为铜杆，设钢的E=200GPa，铜的E=100GPa，钢的α=125×10-5/℃，铜的α =165×10-5℃。

求：
①在C点受竖向载荷P=40kN时三杆的内力。

②三杆温度同时升高50℃时的应力(无P力)。

2-27 如图2-63所示钢杆1、2、3的截面积均为A=2cm2，长度l=1m，E=200 GPa。

杆3在制造时比其他两杆短δ=0.8mm。

试求将杆3安装在刚性梁上后，三根杆中的内力。

图2-62 静不定桁架的温度应力图2-63 刚性梁-杆结构的装配应力
2-28 如图2-64所示阶梯形杆，上端固定，下端与墙面留有空隙Δ=0.08mm。

上段是铜的，A1=40cm2,E1=100GPa；下段是钢的，A2=20cm2,E2=200GPa；在两段交界处有P力作用，问：
①P力为多少时空隙消失。

②P=500kN时，各段的应力。

③温度再上升20℃，求各段的应力。

2-29 图2-65所示为一个套有铜套的钢螺栓。

已知螺栓的螺距为h=3mm，长度l=75cm，截面积为A1=6cm2，E1=200GPa；铜套的截面积A2=12cm2,E2=100GPa；试就下列三种情况下，求螺栓和铜套的轴力N1与N2：
②将螺母拧紧1/4转后，再在螺栓两端加拉力P=80kN；
③在室温下，若螺母与铜套刚好接触不受力，然后温度上升ΔT=50℃(设螺栓的α=125×10-5/℃，铜套的α=165×10-5/℃)。

图2-64 阶梯形杆件的装配应力图2-65 螺栓的温度、装配应力2-30 图2-66所示刚性横梁AB悬挂于三根平行杆上。

l=2 m ,P=40kN,a =1.5m,b=1m,c=0.25m,δ=0.2mm。

1杆由黄铜制成，A1=2cm2，E1=100GPa；α1=165×10-5/℃。

2杆和3杆由碳钢制成A2=1cm2,A3=3cm2,E2=E3=200GPa;α2=α3=125×10-5/℃。

设温度升高20℃，试求各杆的应力。

图2-66 刚性梁-杆结构的温度、装配应力
第3章习题
3-1 试确定图3-13所示联接或接头中的剪切面和挤压面。

图3-13 确定图示联接的剪切面和挤压面
3-2 可倾式压力机为防止过载采用了压环式保险器(见图3-14)。

当过载时，保险器先被剪断，以保护其他主要零件。

设环式保险器以剪切的形式破坏，且剪切面的高度δ=20mm，材料为HT21-40，其极限切应力τjx=200MPa，压力机的最大许可压力P=60kN。

试确定保险器剪切部分的直径D。

3-3 试校核图3-15所示联接销钉的剪切强度。

已知P=100kN，销钉直径d=30mm，材料的许用切应力[τ]＝60MPa。

若强度不够，应改用多大直径的销钉?
图3-14 压力机压环式保险器图3-15 销钉的尺寸设计
3-4 图3-16所示凸缘联轴节传递的力偶矩为m=200N·m，凸缘之间用四只螺栓联接，螺栓内径d≈10mm，对称地分布在D0=80 mm的圆周上。

如螺栓的许用切应力[τ]＝60MPa，试校核螺栓的剪切强度。

3-5 图3-7所示机床花键轴有八个齿。

轴与轮的配合长度l=60mm，外力偶矩m=4kN·m。

轮与轴的挤压许用应力为[σjy］=140MPa，试校核花键轴的挤压强度。

图3-17 花键的挤压强度
3-6 用夹剪剪断直径d1=3mm的铅丝，如图3-18。

若铅丝的极限切应力约为100MPa，试问需多大的P ? 若销钉B的直径为d2=8mm，试求销钉内的切应力。

图3-18 夹剪
3-7 图3-19所示铆接接头，承受轴向荷载P作用，已知：P=110kN,b=80mm,t=10mm,d=16mm,铆钉与板的材料相同，其许用应力[σ]＝160MPa，[τ]=140MPa,[σjy]=340MPa。

试校核此接头的强度。

图3-19 铆钉联接的强度计算
3-8 图3-20所示焊接结构，P=300kN，盖板厚t=5mm,h f=5mm，焊缝许用切应力[τ]=110MPa，试求焊缝长度l(上下共四条焊缝)。

第4章习题
4-1 试作图4-32所示各轴的扭矩图，并求出｜T max｜及其作用处。

图4-32 绘扭矩图
4-2 齿轮轴上有四个齿轮，见图4-33，已算出各轮所受外力偶矩为m
=52N·m、m B=120N·m、m C=40N·m、m D=28N·m。

已知各段轴的直径分别为d AB=15 A
mm、d BC=20mm、d CD=12mm。

①作该轴的扭矩图；
②求1—1、2—2、3—3截面上的最大切应力。

图4-33绘扭矩图、求最大切应力
4-3 发动机涡轮轴的简图如图4-34所示。

在截面B，I级涡轮传递的功率为21770kN·m/s；在截面C，Ⅱ级涡轮传递的功率为19344kN·m/s。

轴的转速n=4650r/min。

试画轴的扭矩图，并求轴的最大切应力。

图4-34 发动机涡轮轴的扭转
4-4 发电量为15000kW的水轮机主轴如图4-35所示。

D=550mm,d=300mm,正常转速n =250r/min。

材料的许用切应力[τ]=50MPa。

试校核水轮机主轴的强度。

4-5 图4-36所示AB轴的转速n=120 r/min，从B轮输入功率N=44130 kN·m/s，功率的一半通过锥形齿轮给垂直轴C，另一半由水平轴H输出。

已知D
=600mm,D2=240mm,d1=100mm,d2=80mm,d3=60mm,[τ]=20MPa。

试对各轴进行强度校1
核。

图4-36 校核各轴强度
4-6 图4-37所示圆轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，外径D=30mm，空心段内径d=20mm、外力偶矩m=200N·m，试计算AC段和CB段横截面外边缘的切应力，以及CB段内边缘处的切应力。

图4-37 求切应力
4-7 二空心圆轴，其内外径之比分别为α1=d1/D1=0.5、α2=d2/D2=0.8。

试问：根据强度条件，二轴所能承受的扭矩分别为截面面积与其相等的实心圆轴的几倍?
4-8 图4-38所示实心圆轴通过牙嵌离合器把功率传给空心圆轴。

传递的功率N=7kW，轴的转速n=80r/min。

试选择实心圆轴的直径d和空心圆轴的外径d2。

已知空心圆轴的内外径之比α1=d1/d2=0.8，许用扭转切应力[τ]=40 MPa。

4-9图4-39所示绞车同时由两人操作，若每人加在手柄上的力都是P=200N，已知轴的许用切应力[τ]=40MPa；试按强度条件初步估算AB轴的直径，并确定最大起重量Q。

4-10 阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图4-40所示。

已知由轮3输入的功率为N3=3kW，轮1输出的功率为N1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用切应力[τ]=60MPa，G=80GPa，许用扭转角[θ]＝2°/m。

试校核轴的强度和刚度。

图4-39 校核扭转强度和刚度图4-40扭转强度问题〖TS〗〗
4-11 桥式起重机如图4-41所示。

若传动轴传递的力偶矩m=108kN·m，材料的许用切应力[τ]=40MPa，G=80GPa，同时规定［θ］=0.5°/m。

试设计轴的直径。

图4-41 设计轴的直径
4-12 传动轴的转速为n=500r/min，如图4-42，主动轮1输入功率N
=368kN·m/s，从动轮2、3分别输出功率N2=147kN·m/s，N3=221kN·m/s。

已1
知[τ]=70MPa,［θ］=1°/m，G=80GPa。

①试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。

②若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。

③主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
图4-42〓常见传动轴的扭转问题〖TS〗〗
钉铆接(见图4-43)。

若铆钉直径d=20mm，许用切应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σjy]=160MPa，筒的两端受扭转外力偶矩m=30kN·m作用，试求铆钉的间距s。

图4-43 求铆钉间距
4-14 悬臂圆轴AB，承受均布外力偶矩t的作用，试导出该杆B端扭转角
的计算公式(见图4-44)。

图4-44 求扭转角
4-15 图4-45所示圆锥形轴，锥度很小，两端直径分别为d1、d2，长度为l，试求在图示外力偶矩m的作用下，轴的总扭转角。

图4-45 求扭转角
4-16 轴的转速n=240 r/min，传递功率为N=447 kW，许用切应力[τ]=40MPa，单位长度的许用扭转角[θ]=1°/m，剪切弹性模量G=80Gpa，试按强度和刚度条件计算轴的直径。

4-17 图4-46所示为四辊轧钢机的传动机构，已知万向接轴的直径d=110mm，材料为40Cr，其剪切屈服极限τ
=450MPa，转速n =164r/min，轧钢机
s
电机的功率N =60kW，试求此轴的工作安全系数。

4-18 图4-47所示密圈螺旋弹簧的平均直径D =250mm，簧丝直径d=125mm，承受轴向拉力P =180N，求该弹簧的轴向变形及簧丝的最大切应力。

已知弹簧有效圈数n=10,G=80GPa。

4-19 图4-48所示锥形密圈弹簧的上底平均半径R1=70mm，下底平均半径R
=200mm，簧丝直径d=25mm，弹簧有效圈数n=8，受轴向拉力P=2kN的作用，试2
求簧丝的最大切应力和弹簧轴向伸长量。

已知G=80GPa。

图4-47 求弹簧的变形及最大切应力图4-48 锥形弹簧
4-20 油泵分油阀门的弹簧丝直径2.25mm，簧圈外径18mm，有效圈数n=8，轴向压力P=89 N，弹簧材料的G=82GPa。

试求弹簧丝的最大切应力及弹簧的变形λ值。

4-21 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径D=300mm，簧丝横截面直径d=30mm，有效圈数n=10，受力前弹簧的自由长度为400mm，材料的[τ]=140MPa,G=82GPa。

试确定弹簧所能承受的压力(注意弹簧可能的压缩量)。

4-22 AB轴的两端分别与DE和BF两杆刚性联接，如图4-49。

P力作用前，轴及两杆皆在水平面内。

设BF和DE为刚体(即弯曲变形不计)，D点和E点的两根弹簧的刚度皆为C。

安置于AB轴两端的轴承允许轴转动，但不能移动，轴的直径为d，长为l。

试求P力作用点的位移。

4-23 若图4-50中1、2两根弹簧的簧圈平均半径、材料和簧丝横截面的直径都相等，如要求两根弹簧的负担相同(即受力相等)，试求两根弹簧的圈数之比。

设横梁为刚体。

4-24 在图4-51所示机构中，除了1、2两根弹簧外，其余构件都可假设为刚体。

若两根弹簧完全相同，簧圈半径R=100 mm,[τ]=300MPa，试确定弹簧丝的横截面直径，并求出每一弹簧所受的力。

4-25 拖拉机通过方轴带动悬挂在后面的旋耕机。

方轴的转速n=720 r/min，传递的最大功率N=25725kN·m/s，截面为30mm×30mm，材料的[τ]=100MPa，试校核方轴的强度。

4-26 有一矩形截面的钢材，其横截面尺寸为100mm×50mm，长度l=2m，在杆件的两端作用着一对力偶矩。

若材料的[τ]=100MPa,G=80GPa，杆件的许可扭转角为[φ]=2°，试求作用于杆件两端的力偶矩的许可值。

4-27 如图4-52 T形薄壁截面杆件长为l=2m，材料的G=80GPa，受纯扭矩T=200N·m的作用。

试求：
①最大切应力及扭转角。

②作图表示沿截面的周边和厚度切应力分布的情况。

图4-51 求弹簧的受力图4-52 T形截面杆的扭转
4-28 外径为120mm，厚度为5mm的薄壁圆杆件，受T=4 kN·m的扭矩作用，试按下列两种方式计算切应力：
①按闭口薄壁杆件扭转的近似理论计算。

②按空心圆截面杆件扭转的精确理论计算。

4-29 有一截面为矩形的闭口薄壁杆件如图4-53，其截面面积A和厚度t保持不变，而比值β=a/b可以改变。

在扭矩作用下，试证明切应力τ正比于(1+β)2/β。

若将上述闭口薄壁杆件改为开口薄壁杆件，在纯扭转下，改变比值β=a/b，会不会引起切应力的变化?
图4-53 薄壁杆件的扭转
第5章习题
5-1 求图5-16所示各图形中阴影部分对z轴的静矩。

图5-16 求静矩
5-2 求图5-17所示各图形的形心位置。

图5-17 求形心位置
5-3 求图5-18所示截面对z、y轴的惯性矩和惯性积。

图5-18 求惯性矩和惯性积
5-4 求图5-19所示各图形对z、y轴的惯性矩和惯性积。

5-5 求图5-20所示截面对水平形心轴的惯性矩I z C。

图5-20 求图形对形心轴z C的惯性矩
5-6 图5-21所示矩形b=2/3h，在左右两侧切去两个半圆形(d=h/2)。

试求切去部分的面积与原面积的百分比和惯性矩I z、I y比原来减少了百分之几。

5-7 两个10号槽钢按两种形式组成的组合截面如图5-22a、b所示。

试分
和I y，以及I z与I y的比值。

别计算图a和b的惯性矩I
z
图5-21 求面积之比和惯性矩之比图5-22 求两种情形的惯性矩I z、I y及比值
5-8 试确定图5-23所示图形对通过坐标原点O的主惯性轴的位置，并计算主惯性矩。

图5-23确定主惯性轴位置并计算主惯性矩
5-9 求图5-24所示图形的形心主轴位置及形心主惯性矩。

图5-24 确定形心主惯性轴的位置并计算其主
第6章习题
6-1 求图6-21所示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。

图6-21 习题6-1图
6-2 设已知图6-22所示各梁的载荷P、q、m和尺寸a：(1)列出梁的剪力方
程和弯矩方程；(2)作剪力图和弯矩图；(3)确定｜Q｜
max 及｜M｜
max。

6-3 用简易法作图6-23所示各梁的剪力图和弯矩图。

6-4 用区段叠加法作图6-24所示各梁的弯矩图。

6-5 图6-25所示以三种不同方式悬吊着的长12m、重24kN的等直杆，每根吊索作用于杆上的力相同。

试分别作三种情况下杆的弯矩图，并加以比较。

这些结果说明什么问题?
6-6 如欲使图6-26所示外伸梁的跨度中点处的正弯矩值等于支点处的负弯矩值，则支座到端点的距离a与梁长L的比a/L应等于多少?
6-7 一根搁在地基上的梁，受荷载如图6-27所示。

假设地基的反力是均匀分布的，求地基反力的集度q R，并作梁的剪力图和弯矩图。

图6-22 习题6-2图图6-23 习题6-3图
图6-24 习题6-4图
6-8 土壤与静水压力往往按线性规律分布。

若简支梁在按线性规律分布的载荷作用下(图6-28)，试作剪力图和弯矩图。

图6-25 习题6-5图
图6-26 习题6-6图图6-27 习题6-7图
图6-28 习题6-8图
6-9 作图6-29所示刚架的弯矩图。

图6-29 习题6-9图
6-10 作图6-30所示斜梁的剪力图、弯矩图和轴力图。

6-11 折杆ABC的受力如图6-31所示，作此杆的剪力图、弯矩图和轴力图。

图6-30 习题6-10图图6-31 习题6-11图
6-12 圆弧形曲杆受力情况如图6-32所示。

已知曲杆轴线的半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式(表示成θ角的函数)，并作此曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。

图6-32 习题6-12图
第7章习题
7-1 长度为250mm，截面尺寸为h×b=0.8 mm×25mm的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为60°的圆弧。

已知弹性模量E＝21×105MPa。

试求钢尺横截面上的最大正应力。

7-2 厚度为h=1.5mm的钢带，卷成直径为D＝3m的圆环，求此时钢带横截面上的最大正应力。

已知钢的弹性模量E＝21×105MPa。

7-3 直径为d的钢丝，其名义流动极限为σ0.2。

现在其两端施加外力偶使弯成直径为D的圆弧。

试求当钢丝横截面上的最大正应力等于σ0.2时D与d的关系式。

并据此分析为何钢丝绳要用许多高强度的细钢丝组成。

7-4 截面形状及所有尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁，如果所受外力也相同，则内力图是否相同?它们的横截面上的正应力变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同?
7-5 梁在铅垂平面内受外力作用而弯曲。

当梁具有图7-24所示各种不同形状的横截面时，试分别绘出各横截面上的正应力沿其高度变化的图。

图7-24 习题7-5图
7-6 一根25a号槽钢，在纵向对称平面内受矩为M e=5kN·m的一对外力偶作用，如图7-25a所示。

试求截面上A、B、C、D四点处的正应力。

若力偶仍作用于铅垂平面内，但将槽钢绕其轴线转90°，如图7-25b所示，则此四点处的正应力又如何?
图7-25 习题7-6图
7-7 矩形截面的悬臂梁，受集中力和集中力偶作用，如图7-26所。

试求Ⅰ-Ⅰ截面和固定端Ⅱ-Ⅱ截面上A、B、C、D四点处的正应力。

图7-26 习题7-7图
7-8 一外径为250mm，壁厚为10mm，长度L＝12 m的铸铁水管，两端搁在支座上，管中充满水，如图7-27所示。

铸铁的重力密度γ=76kN/m3，水的重力密度γ＝10 kN/m3。

试求管内最大拉、压正应力的数值。

图7-27 习题7-8图
7-9 对于横截面边长为b×2b的矩形截面梁，试求当外力偶矩分别作用在平行于截面长边及短边之纵向对称平面内时，梁所能承担的容许弯矩之比，以及梁的抗弯刚度之比。

7-10 正方形截面的梁，按图7-28a、b所示的两种方式放置：
(1)若两种情况下横截面上的弯矩M z相等，试比较横截面上的最大正应力；
(2)对于h=200mm的正方形，若如图7-28c所示切去两个高度分别为u=10 mm 的尖角，则抗弯截面模量W z与未切角时(图6-22b)相比有何变化?
(3)为了使抗弯截面模量W z为最大，则图7-28c中截面切去的尖角尺寸u应等于多少?这时的W z比未切去尖角时增加百分之多少?
图7-28 习题7-10图
7-11 图7-29所示为一由16号工字钢制成的简支梁，其上作用着集中荷载P；在截面C—C处梁的下边缘上，用标距s=20mm的应变计量得纵向伸长Δs=0.008 mm。

已知梁的跨长L＝1.5m,a=1m，弹性模量E＝21×105MPa。

试求P力的大小。