高一第一册小专题训练集合和简易逻辑 寒假专题(1)

高一数学 第一册 小专题训练 集合和简易逻辑
一、单选题
1．设集合{}21log 0,33x A x x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
∣∣，则A B =（ ） A ．{01}x x <<∣ B ．{11}x x -<<∣ C ．{0}x x >∣ D ．R
2．对于集合A ，B ，我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉叫做集合A 与B 的差集，记作A B -.若{ln A x x =≤，{}1B x x =≥，则A B -为（ ）
A ．{}1x x <
B ．{}01x x <<
C ．{}13x x ≤<
D ．{}
13x x ≤≤
3．已知集合{|2A x cosx =≥
，集合2{|20}B x x x =+-≤，则A B =（ ） A ．2,6π⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,16π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,1- D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦ 4．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}
2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2 5．设函数2()log f x x x m =+-，则“函数()f x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭上存在零点”是“(1,4)m ∈-”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知集合22{|,N ,N}A t t m n m n = =+ ∈ ∈，且x A ∈，y A ，则下列结论中正确的是（ ） A ．x y A +∈ B ．x y A -∈ C ．xy A ∈ D ．x A y
∈ 7．已知函数()x x f x e e -=-，则不等式()
()2210f x f x +--<成立的一个充分不必要条件为（ ） A ．()2,1-
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 8．已知命题2:
11x p x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞
B ．[1,3]
C ．[1,)+∞
D ．[3,)+∞
二、多选题
9．给定非空数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a
b M ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，下列说法正确的是（ ）
A ．自然数集是闭集合
B ．集合{},Z M x x a a b ==+∈为闭集合
C ．0M ∈
D ．有理数集为闭集合
10．下列命题正确的是（ ）
A ．已知全集U =R ，2{|10}A x x =->，则
{|11}U A x x =-<< B ．“0b a <<”是“11a b
<”的充分不必要条件 C ．不等式202
m x mx ++>恒成立的条件是02m << D ．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是22a -<<
三、填空题
11．设集合{}260,M x x mx x R =-+=∈∣，且{2,3}M M =，则实数m 的取值范围是____.
12．若A ＝{x |x 2+（m +2）x +1＝0，x ∈R}，且A ∩R +＝∅，则m 的取值范围是__．
13．设集合(){}(){}
,4,,,628,x x A x y y x R B x y y x R ==∈==⨯-∈，则A B =__________． 14．已知函数()2f x ax =+()0a >，()21g x x =
-，若[]11,2x ∃∈-，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________.
四、解答题
15．已知函数3()lg
1
x f x x -=-定义域为A ，集{}22|240B x x mx m =-+-≤. （1）求集合A ，B ； （2）若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
16．已知集合{}5log (1)1(0)A x
ax a =+<>∣，{}
22320B x x x =--<∣. （1）求集合A ，B ；
（2）已知:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】
先化简集合,A B ，再求A B 得解.
【详解】
{}21log 0{01},3{1}3x A x x x x B x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<<=<=>-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣∣∣∣， 则{01}A B x
x ⋂=<<∣. 故选：A
【点睛】
易错点睛：解不等式2log 0x <容易漏掉函数的定义域{|0}x x >，从而得到1x <，导致出错.解答函数的问题，要注意“定义域优先”的原则.
2．B
【分析】
解对数不等式得集合A ，现根据新定义计算．
【详解】
{
ln {|03}A x x x x =≤=<≤，∴{|01}A B x x -=<<．
故选：B ．
【点睛】
思路点睛：本题考查集合的新定义，解题时关键是正确理解新定义运算，确定集合A 是解题基础．A B -是由集合A 中不属于集合B 的元素所组成，由此可得结论．
3．D
【分析】
化简集合A ，B ，根据交集运算求解即可.
【详解】
由2cosx ≥cos 2x ≥
， 解得22,66k x k k Z π
π
ππ-≤≤+∈，
所以{|2{|22,}66A x cosx x k x k k Z ππππ=≥=-
≤≤+∈，
当0k =时，{|}66A x x ππ
=-≤≤ 又2{|20}{|21}B x x x x x =+-≤=-≤≤， 所以,66A
B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
， 故选：D
4．B
【分析】 本题可根据{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭得出20
1b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩
，然后通过计算以及元素的互异性得出a 、b 的值，即可得出结果.
【详解】
因为{}
2,,1,,0b a a a b a ⎧
⎫=+⎨⎬⎩⎭， 所以20
1b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩
，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩， 当1a =时，不满足集合元素的互异性，
故1a =-，0b =，()
2019201920192019101a b +=-+=-， 故选：B . 【点睛】
易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.
5．A
【分析】
由f （12
）f （2）1()(3)02m m =---<，解得m 范围，即可判断出结论． 【详解】
由题得f （12）f （2）1()(3)02m m =---<，解得132
m -<<， 设1(,3)2A =-
，(1,4)B =-， 显然A B ,
所以“函数()f x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在零点”是“(1,4)m ∈-”的充分不必要条件. 故选：A
【点睛】 方法点睛：判断充分必要条件常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择合适的方法求解.
6．C
【分析】
设22x m n =+，22N,N N,,,N n b b y
a m a ，再利用22()()xy ma n
b mb na =++-，可得解. 【详解】
由x A ∈，y A ，设22x m n =+，22N,N N,,,N n b b y a m a ， 所以22222222222222()()()()xy m n a b m a m b n a n b ma nb mb na =++=+++=++-，
且N,N ma nb mb na +-∈∈，
所以xy A ∈，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛，本题的解题关键是2222222222()()m a m b n a n b ma nb mb na +++=++-，另外本题可以通过列举法得到集合的一些元素，进而排除选项可得解.
7．B
【分析】
根据解析式可判断出()f x 是定义在R 的增函数且是奇函数，不等式可化为()()221f x
f x <+，即得221x x <+，
解出即可判断.
【详解】
可得()f x 的定义域为R ，
x y e =和x y e -=-都是增函数，()f x ∴是定义在R 的增函数，
()()x x f x e e f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，
则不等式()()2210f x f x +--<化为()()()2
211f x f x f x <---=+， 221x x ∴<+，解得112
x -<<， 则不等式成立的充分不必要条件应是1,12⎛⎫-
⎪⎝⎭的真子集， 只有B 选项满足.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出()f x 是增函数且是奇函数，从而将不等式化为()()221f x
f x <+求解. 8．C
【分析】
化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果.
【详解】 因为211x x <-，所以2101
x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<， 当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >，
因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<，
当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意，
当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意，
综上所述：1a ≥.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解：
（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；
（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；
（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．
9．BC
【分析】
根据集合的新定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，对于任意,a b M ∈，有a
b M ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合， 对于A 中，如2,4a b ==，可得a b N ，且a b N -∉，所以不符合题意；
对于B 中，集合{}
,Z M x x a a b ==+∈，
令11221122,,,Z x a b x a b a b a b =+=+∈，
则1212121(,x x a a b b k k N k Z +=+++=+∈，
12121222(,x x a a b b k k N k Z -=-+-=-∈，所以B 符合题意；
对于C 中，由0M ∈，可得0a b ，则0,0a b M a b M +=∈-=∈，符合题意；
对于D 中，任取1122,x A x A ∈∈，
由12x x R -∈，则121x x A -∈或122x x A -∈，
若121x x A -∈，则11221()x x x x A --=∈，
因为22x A ∈，可得21A A ⊆，所以1
21A A A =，从而得到121A A A R ==， 这与1A R 矛盾；
若122x x A -∈，同理可得12x A ∈，可得12A A ⊆，从而得到1
22A A A R ==， 这与2
A R 矛盾，所以D 不正确.
【点睛】 解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
10．BC
【分析】
对于A ，求出集合A 的补集即可判断；对于B ，由不等式的基本性质即可判断；对于C ，利用判别式∆<0，求出
m 的取值范围即可判断；对于D ，取2a =时，不等式恒成立，即可判断．
【详解】
解：对于A ，已知全集U =R ，2{|10}{|1A x x x x =->=<-或1}x >，则
{|11}U A x x =-，故A 错误； 对于B ，若0b a <<，则11a b <成立，若11a b
<，则不一定能推出0b a <<，比如1,1a b =-=， 故“0b a <<”是“11a b
<”的充分不必要条件，故B 正确； 对于C ，不等式202
m x mx ++>恒成立，则220m m -<，解得02m <<，故C 正确； 对于D ，若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，
当2a =时，不等式即为40-<恒成立，故2a =满足，故D 错误．
故选：BC ．
【点睛】
思路点睛：形如()2
00ax bx c ++<>的不等式恒成立问题的分析思路： （1）先分析0a =的情况；
（2）再分析0a ≠，并结合∆与0的关系求解出参数范围；
（3）综合（1）（2）求解出最终结果.
11．({}5m ∈- 【分析】
由题意{}2,3M M =，可得M 是集合{}2,3的子集，按集合M 中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解.
【详解】
由题意{}2,3M M =，可得M 是集合{}2,3的子集， 又{}
260,M x x mx x R =-+=∈，
当M 是空集时，即方程260x mx -+=无解，则满足()2460m ∆=--⨯<，解得m -<<(
m ∈-，此时显然符合题意；
当M 中只有一个元素时，即方程260x mx -+=只有一个实数根，此时 ()2
460m ∆=--⨯=，解得m =±x =x ={}2,3的子集中的元素，不符合题意，舍去；
当M 中有两个元素时，则2,3M ，此时方程260x mx -+=的解为12x =，23x =，由根与系数之间的关系，
可得两根之和为5，故235m =+=；当5m =时，可解得2,3M
，符合题意.综上m 的取值范围为({}
5m ∈-.
故答案为：({}5m ∈-
【点睛】 方法点睛：根据集合的运算求参数问题的方法：
1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；
2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；
3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需要注意端点值是否取到.
12．m ＞﹣4．
【分析】
根据题意可得A 是空集或A 中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.
【详解】
解：A ∩R +＝∅知，A 有两种情况，一种是A 是空集，一种是A 中的元素都是小于等于零的，
若A ＝∅，则∆＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m ＜0 ，①
若A ≠∅，则∆＝（m +2）2﹣4≥0，解得m ≤﹣4或m ≥0，
又A 中的元素都小于等于零
∵两根之积为1，
∴A 中的元素都小于0，
∴两根之和﹣（m +2）＜0，解得m ＞﹣2
∴m ≥0，②
由①②知，m ＞﹣4，
故答案为：m ＞﹣4．
【点睛】
易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A =∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.
13．()(){}1,4,2,16
【分析】
先分析集合A 的元素是曲线4x y =上的点，集合B 的元素是曲线628x y =⨯-上的点，A B 的元素是两个曲线
的交点，所以解方程4628x
x y y ⎧=⎨=⨯-⎩
即可求解 【详解】
由题意可知曲线4x y =上的点构成集合A ，曲线628x y =⨯-上的点构成集合B ，
所以A B 的元素是两个曲线的交点的坐标，
由4628
x
x y y ⎧=⎨=⨯-⎩可得4628x x =⨯-， 则()226280x x -⨯+=，解得22x =或24x =，所以14x y =⎧⎨=⎩或216
x y =⎧⎨=⎩， 所以()(){}1,4,2,16A B ⋂=，
故答案为：()(){}1,4,2,16
14．[1,)+∞
【分析】
根据函数的单调性，分别求得函数()f x 和()g x 的值域构成的集合,A B ，结合题意，得到B A ⊆，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数()21
g x x =-在[]2,3为单调递减函数，可得()12g x ≤≤， 即函数()g x 的值域构成集合[1,2]B =，
又由函数()2(0)f x ax a =+>在区间[]1,2-上单调递增，可得()222a f x a -+≤≤+，
即函数()f x 的值域构成集合[2,22]A a a =-++，
又由[]11,2x ∃∈-，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，即B A ⊆,
则满足21222a a -+≤⎧⎨+≥⎩
，解得1a ≥， 即实数a 的取值范围是[1,)+∞.
故答案为：[1,)+∞.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈
（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；
（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；
（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；
（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 15．（1）()
(–,13,)A =∞+∞，[]2,2B m m =-+；（2）(,1)(5,)-∞-+∞. 【分析】
（1）利用对数函数的定义域和一元二次不等式的解法化简求解集合A B 、即可.
（2）根据x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，得集合B 是A 的真子集，求解得实数m 的取值范围.
【详解】
解：（1）由题意知：
30(3)(1)01x x x x ->⇔-->-，解得3x >或1x <. ∴集合()(–,13,)A =∞+∞.
对于集合B 满足：2224(2)(2)0x mx m x m x m -+-=---≤+.
又22m m -<+，∴[]2,2B m m =-+.
（2）若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，则集合B 是A 的真子集，
由（1）知，只需满足21m +<或23m ->即可，解得1m <-或5m >.
综述，满足题意的m 的取值范围是(,1)
(5,)-∞-+∞． 【点睛】
结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数的范围，相关结论为：
（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；
（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；
（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．
16．（1）14A x x a a ⎧
⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，122B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭
；（2）详见解析. 【分析】
（1）根据对数不等式求解集合A ，一元二次不等式求集合B ；（1）若选择条件①转化为B A ，列不等式求解；
若选择条件②，转化为A B ，列不等式求解；若选择条件③，则A B =，求解实数a .
【详解】
（1）()5log 11015ax ax +<⇔<+<，()0a >， 解得：14x a a -<<，即14A x x a a ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， ()()223202210x x x x --<⇔-+<， 解得：122x -<<，即122B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭； （2）p 是q 的必要不充分条件，
则B A ，即112420a a
a ⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩
，且等号不能同时成立，解得：02a <<；。