苏教版九年级上册数学 期末试卷同步检测(Word版 含答案)

苏教版九年级上册数学 期末试卷同步检测（Word 版 含答案）
一、选择题
1．如图，已知AB 为
O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=
（ ）
A ．72︒
B ．56︒
C ．62︒
D ．52︒ 2．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ≥1
B ．m ≤1
C ．m ≥－1
D ．m ≤－1
3．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ）
A ．3
B ．31+
C ．31-
D ．23
4．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝35°，则∠C 的度数为（ ）
A ．70°
B ．65°
C ．55°
D ．45°
5．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（ ）
A ．18°
B ．24°
C ．30°
D ．26°
6．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A ．8，10
B ．10，9
C ．8，9
D ．9，10
7．在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ）
A ．14
B ．34
C ．15
D ．35
8．抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( ) A ．y ＝(x+1)2+3
B ．y ＝(x+1)2﹣3
C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3
D ．y ＝(x ﹣1)2+3 9．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10．一元二次方程x 2﹣3x ＝0的两个根是（ ）
A ．x 1＝0，x 2＝﹣3
B ．x 1＝0，x 2＝3
C ．x 1＝1，x 2＝3
D ．x 1＝1，x 2＝﹣3 11．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）
A ．4233π-
B ．8433π-
C ．8233π-
D ．843
π- 12．如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=，则ADC ∠的度数为( )
A ．54
B ．36
C ．32
D ．27
二、填空题
13．若△ABC ∽△A′B′C′，∠A ＝50°，∠C ＝110°，则∠B′的度数为_____．
14．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++>的解集是_______.
15．抛物线2
1(5)33y x =--+的顶点坐标是_______．
16．某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩，那么甲的成绩为__． 17．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，
，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的
12
，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.
18．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________．
19．如图，在边长为 6 的等边△ABC 中，D 为 AC 上一点，AD=2，P 为 BD 上一点，连接 CP ，以 CP 为 边，在 PC 的右侧作等边△CPQ ，连接 AQ 交 BD 延长线于 E ，当△CPQ 面积最小时，QE=____________．
20．如图，边长为2的正方形ABCD ，以AB 为直径作
O ，CF 与O 相切于点E ，
与AD 交于点F ，则CDF ∆的面积为__________．
21．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图像上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表
x…－10123…
y…－3－3－139…
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0一个负数解x1满足k＜x1＜k+1（k为整数），则k＝
________．
22．如图，将二次函数y＝1
2
(x－2)2＋1的图像沿y轴向上平移得到一条新的二次函数图
像，其中A(1，m)，B(4，n)平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．
23．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm、4cm、6cm、8cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．
24．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=110°，则∠BOD等于________°.
三、解答题
25．如图1，矩形OABC的顶点A的坐标为（4,0），O为坐标原点，点B在第一象限，连
接AC ， tan ∠ACO=2，D 是BC 的中点，
（1）求点D 的坐标；
（2）如图2，M 是线段OC 上的点，OM=
23
OC ，点P 是线段OM 上的一个动点，经过P 、D 、B 三点的抛物线交x 轴的正半轴于点E ，连接DE 交AB 于点F. ①将△DBF 沿DE 所在的直线翻折，若点B 恰好落在AC 上，求此时点P 的坐标； ②以线段DF 为边，在DF 所在直线的右上方作等边△DFG ，当动点P 从点O 运动到点M 时，点G 也随之运动，请直接写出点G 运动的路径的长.
26．（1）解方程：27100x x -+=
（2）计算：cos60tan 452cos 45︒⨯︒-︒
27．如图，矩形OABC 中，O 为原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点B 的坐标为（4,3），抛物线238
y x bx c =-++与y 轴交于点A ，与直线AB 交于点D ，与x 轴交于C E ，两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，与此同
时，点Q 从点A 出发，在线段AC 上以每秒
53
个单位长度的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接DP DQ PQ 、、，设运动时间为t （秒）. ①当t 为何值时，DPQ ∆得面积最小？
②是否存在某一时刻t ，使DPQ ∆为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.
28．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
29．一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都
相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是 ；
（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．
30．小亮晚上在广场散步，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB 处的影子BE ；
（2）小亮的身高为1.6m ，当小亮离开灯杆的距离OB 为2.4m 时，影长为1.2m ，若小亮离开灯杆的距离OD ＝6m 时，则小亮（CD ）的影长为多少米？
31．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，B 点的坐标为（6，0），点M 为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x ＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M 位于x 轴下方抛物线图象上时，过点M 作x 轴的垂线，交BC 于点Q ，求线段MQ 的最大值；
（2）过点M 作BC 的平行线，交抛物线于点N ，设点M 、N 的横坐标为m 、n ．在点M 运动的过程中，试问m +n 的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m +n 的值．
32．在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，E 是射线DC 上的点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 翻折得AFE ∆．
（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：ABF ∆∽FCE ∆；
（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若1DE =，求EFC ∆的面积； （3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD 的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.
【详解】
解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,
∵AB 是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小．
【详解】
解：∵函数的对称轴为x=222
b m m a -
=-=-， 又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，
∵x ＞1时，y 随x 的增大而增大，
∴-m≤1，即m ≥-1
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．B
解析：B
【解析】
【分析】
设AC 、BD 交于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则CF ∥AB ，
△CDF 和△DEG 都是等腰直角三角形，设AB =2，则易求出CF CEF ∽△AEB ，可
得EF CF BE AB ==，于是设EF ，则2BE x =，然后利用等腰直角三角形的性质可依次用x 的代数式表示出CF 、CD 、DE 、DG 、EG 的长，进而可得CG 的长，然后利用正切的定义计算即得答案.
【详解】
解：设AC 、BD 交于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则CF ∥AB ，△CDF 和△DEG 都是等腰直角三角形，
∴△CEF ∽△AEB ，
设AB =2，∵∠ADB =30°，
∴BD =
∵∠BDC =∠CBD =45°，CF ⊥BD ，
∴CF=DF=BF =12
BD =，
∴32EF CF BE AB ==， 设EF =3x ，则2BE x =，
∴()
23BF CF DF x ===+，
∴()()2223226CD DF x x ==+=+，
()()233223DE DF EF x x x =+=++=+， ∴()()
222232622EG DG DE x x ===+=+， ∴()()226262CG CD DG x x x =-=+-
+=， ∴()62tan 312x EG ACD CG
x +∠===+.
故选：B.
【点睛】
本题以学生常见的三角板为载体，考查了锐角三角函数和特殊角的三角函数值、30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，构图简洁，但有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O 的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【详解】
解：∵OA=OB ，∠ABO=35°，
∴∠BAO=∠ABO=35°，
∴∠O=180°-35°×2=110°，
∴∠C=1
2
∠O=55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E的方程，解方程即可求得答案．
【详解】
解：如图，连接CO,
∵CE＝OB＝CO=OD，
∴∠E＝∠1，∠2＝∠D
∴∠D=∠2＝∠E+∠1＝2∠E．
∴∠3＝∠E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．
由∠3＝72°，得3∠E＝72°．
解得∠E＝24°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．
6．D
解析：D
【解析】
试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，
最中间的数是9，则中位数是9；
10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；
故选D．
考点：众数；中位数．
7．D
解析：D
【分析】
根据题意即从5个球中摸出一个球，概率为3 5 .
【详解】
摸到红球的概率=
33 235
=
+
，
故选：D.
【点睛】
此题考查事件的简单概率的求法，正确理解题意，明确可能发生的总次数及所求事件发生的次数是求概率的关键.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
按“左加右减，上加下减”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】
抛物线y＝x2先向右平移1个单位得y＝（x﹣1）2，再向上平移3个单位得y＝（x﹣1）2+3.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
将x=2代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2，
∴22-3×2+k=0，
解得，k=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．10．B
解析：B
【解析】
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：连接OD，
在Rt△OCD中，OC＝1
2
OD＝2，
∴∠ODC＝30°，CD＝2223
OD OC
+=
∴∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积＝
2
60418
223=23 36023
π⨯
-⨯⨯π-，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．12．D
解析：D
【解析】
由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠
【详解】
切线性质得到90BAO ∠=
903654AOB ∴∠=-=
OD OA =
OAD ODA ∠=∠∴
AOB OAD ODA ∠=∠+∠
27ADC ADO ∴∠=∠=
故选D
【点睛】
本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
二、填空题
13．20°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠B 的度数，然后根据相似三角形的性质得到∠B′的度数．
【详解】
解：∵∠A＝50°，∠C＝110°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣110°＝20°
解析：20°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠B 的度数，然后根据相似三角形的性质得到∠B′的度数．
【详解】
解：∵∠A ＝50°，∠C ＝110°，
∴∠B ＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B ＝20°．
故答案为20°．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例，它们对应面积的比等于相似比的平方.
14．【解析】
求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.
【详解】
由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x
解析：15x -<<
【解析】
【分析】
求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.
【详解】
由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<.
故答案为15x -<<
【点睛】
要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.
15．(5,3)
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式的性质直接求解．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标是（5，3）
故答案为：（5，3）．
【点睛】
本题考查二次函数性质其顶点坐标为（h ，k ），题目比较
解析：(5,3)
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式2()y a x h k =-+的性质直接求解．
【详解】 解：抛物线2
1(5)33y x =--+的顶点坐标是（5，3）
故答案为：（5，3）．
【点睛】
本题考查二次函数性质2()y a x h k =-+其顶点坐标为（h ，k ），题目比较简单． 16．74
【解析】
【分析】
利用加权平均数公式计算.
【详解】
甲的成绩=，
故答案为：74.
【点睛】
此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键. 解析：74
【解析】
【分析】
利用加权平均数公式计算.
【详解】
甲的成绩=705602903
74
523
，
故答案为：74.
【点睛】
此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键.
17．（1，2）
【解析】
解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．
解析：（1，2）
【解析】
解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的1
2
，∴
点A′的坐标是（2×1
2
，4×1
2
），即（1，2）．故答案为（1，2）．
18．120°．
【解析】
试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．
考点：旋转对称图形
解析：120°．
【解析】
试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．
考点：旋转对称图形．
19．【解析】
【分析】
如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相
解析：67 7
【解析】
【分析】
如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝
∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相似三角形的性质可求AE的长，即可求解．
【详解】
如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵△ABC，△PQC是等边三角形，
∴BC＝AC，PC＝CQ，∠BCA＝∠PCQ＝60°，
∴∠BCP＝∠ACQ，且AC＝BC，CQ＝PC，
∴△ACQ≌△BCP（SAS）
∴AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，
∵AC＝6，AD＝2，
∴CD＝4，
∵∠ACB＝60°，DF⊥BC，
∴∠CDF＝30°，
∴CF＝1
2
CD＝2，DF＝CF÷tan30°3＝3
∴BF＝4，
∴BD22
DF BF
+1612
+7，∵△CPQ是等边三角形，
∴S△CPQ 3
2，
∴当CP⊥BD时，△CPQ面积最小，
∴cos ∠CBD ＝BP BF BC BD
=， ∴
6BP =，
∴BP ＝7
，
∴AQ ＝BP ， ∵∠CAQ ＝∠CBP ，∠ADE ＝∠BDC ，
∴△ADE ∽△BDC ， ∴
AE AD BC BD =， ∴
6AE =，
∴AE ＝7
，
∴QE ＝AQ−AE ．
． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出BP 的长是本题的关键．
20．【解析】
【分析】
运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答．
【详解】
解：∵与相切于点，与交于点
∴EF=AF,EC=BC=2
设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x
在Rt△C 解析：32
【解析】
【分析】
运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答．
【详解】
解：∵CF 与O 相切于点E ，与AD 交于点F
∴EF=AF,EC=BC=2
设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x
在Rt △CDF 中,由勾股定理得:
DF 2=CF 2-CD 2,即(2-x)2=(2+x)2-22
解得:x=12,则DF=32
∴CDF ∆的面积为
13222⨯⨯=32 故答案为
32
． 【点睛】 本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．
21．－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k ．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3
解析：－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x 1，再利用夹逼法可确定x 1 的取值范围，可得k ．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得
313c a b c a b c -=⎧⎪-=++⎨⎪-=-+⎩，解得113a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
，∴y=x²+x-3,
∵△=b 2-4ac=12-4×1×（-3）=13，
∴
=
， ∵1x <0,
∴1x =−1
＜0，
∵-4≤-13≤-3，
∴
133
2
22 -≤-≤-，
∴-3≤−1−13
≤ 2.5
-，
∵整数k满足k＜x1＜k+1，
∴k=-3，
故答案为:-3．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.
22．y=0.5(x-2)+5
【解析】
解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC
解析：y=0.5(x-2)2+5
【解析】
解：∵函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象过点
A（1，m），B（4，n），∴m=1
2
（1﹣2）2+1=11
2
，n=1
2
（4﹣2）2+1=3，∴A（1，11
2
），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则
C（4，11
2
），∴AC=4﹣1=3．∵曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部
分），∴AC•AA′=3AA′=12，∴AA′=4，即将函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移4
个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=1
2
（x﹣2）2+5．故答案
为y=0.5（x﹣2）2+5．
点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题的关键．
23．【解析】
【分析】
根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、
解析：1 4
【解析】
【分析】
根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，
其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，
所以恰好能搭成一个三角形的概率＝1
4
．
故答案为1
4
．
【点睛】
本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．
24．140
【解析】
试题解析：：∵∠A=110°
∴∠C=180°-∠A=70°
∴∠BOD=2∠C=140°．
解析：140
【解析】
试题解析：：∵∠A=110°
∴∠C=180°-∠A=70°
∴∠BOD=2∠C=140°．
三、解答题
25．（1）D（2,2）；（2）①P（0,0）；②1 3
【解析】【分析】
（1）根据三角函数求出OC 的长度，再根据中点的性质求出CD 的长度，即可求出D 点的坐标；
（2）①证明在该种情况下DE 为△ABC 的中位线，由此可得F 为AB 的中点，结合三角形全等即可求得E 点坐标，结合二次函数的性质可设二次函数表达式（此表达式为交点式的变形，利用了二次函数的平移的特点），将E 点代入即可求得二次函数的表达式，根据表达式的特征可知P 点坐标；
②可得G 点的运动轨迹为'GG ，证明△DFF'≌△FGG'，可得GG'＝FF'，求得P 点运动到M 点时的解析式即可求出F'的坐标，结合①可求得FF'即GG'的长度. 【详解】
解：（1）∵四边形OABC 为矩形， ∴BC=OA=4，∠AOC=90°， ∵在Rt △ACO 中，tan ∠ACO=OA
OC
=2， ∴OC=2， 又∵D 为CB 中点， ∴CD=2， ∴D （2,2）； （2）①如下图所示，
若点B 恰好落在AC 上的'B 时,根据折叠的性质1
'','2
BDF B DF BDB BD B D ∠=∠=∠=, ∵D 为BC 的中点， ∴CD=BD, ∴'CD B D =, ∴1
''2
BCA DB C BDB ∠=∠=
∠, ∴BCA BDF ∠=∠，
∴//DF AC ,DF 为△ABC 的中位线， ∴AF=BF,
∵四边形ABCD 为矩形 ∴∠ABC=∠BAE=90° 在△BDF 和△AEF 中，
∵
ABC BAE BF AF BFD AFE ∠=∠⎧⎪
=⎨
⎪∠=∠⎩
∴△BDF ≌△AEF ， ∴AE=BD=2, ∴E(6,0), 设(2)(4)2y a x x ，将E （6,0）带入，8a+2=0
∴a=14
-
，则二次函数解析式为213
42y x x =-+，此时P （0,0）；
②如图，当动点P 从点O 运动到点M 时，点F 运动到点F'，点G 也随之运动到G'．连接GG'．当点P 向点M 运动时，抛物线开口变大，F 点向上线性移动，所以G 也是线性移动．
∵OM=
23OC=4
3 ∴4(0,)3
M ,
当P 点运动到M 点时，设此时二次函数表达式为1(2)(4)2y a x x ，将4
(0,)3
M 代
入得
14823
a ，解得11
12
a ，所以抛物线解析式为1
(2)(4)212
y x x ，整理得21141223
y x x =-
++. 当y=0时，2114
01223
x x -
++=，解得x=8（已舍去负值）， 所以此时(8,0)E ，
设此时直线'DF 的解析式为y=kx+b ，
将D （2,2），E （8,0）代入2208k b k b =+⎧⎨=+⎩解得13
83k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
所以18
33
y x =-
+，
当x=4时，43
y =，所以4'3AF =,
由①得1
12
AF AB =
=， 所以1''3
FF AF AF =-=
, ∵△DFG 、△DF'G'为等边三角形，
∴∠GDF ＝∠G'DF'＝60°，DG ＝DF ，DG'＝DF'， ∴∠GDF ﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'， 即∠G'DG ＝∠F'DF ， 在△DFF'与△FGG'中，
''''DF DG F DF G DG DF DG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DFF'≌△FGG'（SAS ）， ∴GG'＝FF'， 即G 运动路径的长为13
． 【点睛】
本题考查二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，一次函数的应用，折叠问题.（1）中能根据正切求得OC 的长度是解决此问的关键；（2）①熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题关键；②中能通过分析得出G 点的运动轨迹为线段GG',它的长度等于FF'，是解题关键. 26．（1）∴x 1＝2，x 2＝5；（2）12
- 【解析】 【分析】
（1）用因式分解法解一元二次方程；
（2）先将特殊角三角形函数值代入，然后进行实数的混合运算． 【详解】
解：（1）27100x x -+=
(2)(5)0x x --=
∴x 1＝2，x 2＝5
（2
）cos60tan 4545︒⨯︒-︒
1122=⨯ 12
=-．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键． 27．（1）233384
y x x =-++；（2）① 32t =；
②1234531724,3,,,2617t t t t t =
====
【解析】 【分析】
（1）根据点B 的坐标可得出点A ，C 的坐标，代入抛物线解析式即可求出b ，c 的值，求得抛物线的解析式；
（2）①过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，推出△QFA ∽△CBA ，△CGP ∽△CBA ，用含t 的式子表示OF ，PG ，将三角形的面积用含t 的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可． 【详解】
解：（1）由题意知：A (0,3),C (4,0)， ∵抛物线经过A 、B 两点，
∴3316408
c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得，343b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
∴抛物线的表达式为：233
384
y x x =-++． (2)① ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B =90O ， ∴AC 2=AB 2+BC 2=5；
由233
3384
x x -
++=，可得120,2x x ==，∴D （2,3）． 过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ， ∵∠FAQ =∠BAC ， ∠QFA =∠CBA ， ∴△QFA ∽△CBA ． ∴
AQ QF AC BC
=， ∴53
35
AQ QF BC t t AC =
⋅=⋅=． 同理：△CGP ∽△CBA ， ∴
PG CP AB AB =∴CP PG AB AB =⋅，∴45
PG t =， 11541
62(5)2(3)
22352
DPQ ABC QAD PQC PBD S S S S S t t t t ∆∆∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-
222229323323(3)3()3342322
t t t t t =-+=-+-+=-+ 当3
2t =
时，△DPQ 的面积最小.最小值为32
． ② 由图像可知点D 的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC 的解析式为：3
y 34
x =-+． 三角形直角的位置不确定，需分情况讨论： 当DPG 90∠=︒时，根据勾股定理可得出：
()()2
2
2
2
2255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 整理，解方程即可得解；
当DGP 90∠=︒时，可知点G 运动到点B 的位置，点P 运动到C 的位置，所需时间为t=3；
当PDG 90∠=︒时,同理用勾股定理得出：
()()2
2
2
2
2255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 整理求解可得t 的值． 由此可得出t 的值为：132t =
,23t =,3176t =,42417t =,517145
t -=．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键． 28．（1）13；（2）1
3
，见解析 【解析】 【分析】
（1）袋中一共有3个球，有3种等可能的抽取情况，抽取红球的情况只有1种，摸到红球的概率即可求出；
（2）分别使用树状图法或列表法将抽取球的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次有2种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有6种，找出两次都是白球的的抽取结果，即可算出概率． 【详解】
解：（1）∵袋中一共有3个球，有3种等可能的抽取情况，抽取红球的情况只有1种，
∴
1
P=
3（摸到红球）
；
（2）画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
一共有6种等可能出现的结果，两次都抽取到白球的次数为2次，
∴
21
P==
63（两次白球）
；
用列表法，根据题意，列表结果如下：
一共有6种等可能出现的结果，两次都抽取到白球的次数为2次，
∴
21
P==
63（两次白球）
．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．
29．（1）2
5
；（2）组成的两位数是奇数的概率为
3
5
．
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出组成的两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】
解：（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率
2
5 ；
故答案为：2
5
；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中组成的两位数是奇数的结果数为12， 所以组成的两位数是奇数的概率123205
==． 【点睛】
本题主要考查了列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果
n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B
的概率．
30．（1）如图，BE 为所作；见解析；（2）小亮（CD ）的影长为3m ． 【解析】 【分析】
（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B 处沿BO 所在的方向行走到达O 处的过程中，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则可得到小亮站在AB 处的影子； （2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】
（1）如图，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则线段BE 即为小亮站在AB 处的影子：
（2）延长PC 交OD 于F ，如图，则DF 为小亮站在CD 处的影子， AB ＝CD ＝1.6，OB ＝2.4，BE ＝1.2，OD ＝6， ∵AB ∥OP ， ∴△EBA ∽△EOP ，
∴
,AB EB OP EO =即1.6 1.2
,1.2 2.4OP =+ 解得OP ＝4.8， ∵CD ∥OP ，
∴△FCD ∽△FPO ， ∴CD FD OP FO =，即1.64.86FD
FD =+， 解得FD ＝3
答：小亮（CD ）的影长为3m ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答．
31．（1）①y＝x2﹣8x+12；②线段MQ的最大值为9．（2）m+n的值为定值．m+n＝6．【解析】
【分析】
（1）①根据点B的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式；
②设M（m，m2﹣8m+12），利用待定系数法求出直线BC的解析式，从而求出Q（m，﹣2m+12），即可求出MQ的长与m的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可；
（2）将B（6，0）代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据一次函数的性质设出直线MN的解析式，然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论．
【详解】
（1）①由题意
3660
4
2
b c
b
++=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
，
解得
8
12
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），
∵B（6，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，
∵MQ⊥x轴，
∴Q（m，﹣2m+12），
∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，QM有最大值，最大值为9．
（2）结论：m+n的值为定值．
理由：如图2中，
将B （6，0）代入二次函数解析式中，得
3660++=b c
解得：366=--c b
∴二次函数解析式为2
366=+--y x bx b ∴C （0，﹣36﹣6b ），
设直线BC 的解析式为y ＝kx ﹣36﹣6b ， 把（6，0）代入得到：k ＝6+b ，
∴直线BC 的解析式为y ＝（6+b ）x ﹣36﹣6b ， ∵MN ∥CB ，
∴可以假设直线MN 的解析式为y ＝（6+b ）x +b ′，
由2366(6)y x bx b y b x b ⎧=+--⎨=++⎩，消去y 得到：x 2﹣6x ﹣36﹣6b ﹣b ′＝0， ∴x 1+x 2＝6，
∵点M 、N 的横坐标为m 、n ， ∴m +n ＝6．
∴m +n 为定值，m +n ＝6． 【点睛】
此题考查的是二次函数与一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键．
32．（1）见解析；（2）EFC ∆的面积为513；（3）53、5、15、345)3
【解析】 【分析】
（1）先说明∠CEF=∠AFB 和90B C ∠=∠=，即可证明ABF ∆∽FCE ∆；
（2）过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠=；再结合矩形的性质，证得△FGE ∽△AHF ，得到AH=5GF ；然后运用勾股定理求得GF 的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（3）分点E 在线段CD 上和DC 的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．。