2019九年级数学上册 第四次质量评估试卷 (新版)浙教版

第四次质量评估试卷
[考查范围：1～4章]
一、选择题(每小题3分，共30分)
第1题图
1．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB＝2∶3，则下列结论中正确的是( B)
A.DE
BC
＝
2
3
B.
DE
BC
＝
2
5
C.
AE
AC
＝
2
3
D.
AE
EC
＝
2
5
2．若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4∶1，则△ABC与△DEF的相似比为( A) A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4
3．在四张背面完全相同的卡片上分别印着等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为( D)
A.3
4
B.
1
4
C.
1
3
D.
1
2
4．如图所示，有三个矩形，其中互为相似图形的是( B)
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
第4题图
5题图
6题图
5．如图所示，⊙O上A，B，C三点，若∠B＝50，∠A＝20°，则∠AOB等于( D) A．30°B．50°C．70°D．60°
6．如图所示，在△ABC中，AB＝3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB＝9，DE＝2，则线段FC 的长度是( C)
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如图所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，3)，将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°，得到线段OB ，则点B 的坐标是( A )
A ．(0，2)
B ．(2，0)
C ．(1，－3)
D ．(－1，3)
7题图
8题图
9题图
8．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＋BC ＝8，分别以AB ，AC ，BC 为半径作半圆，若记图中阴影部分的面积为y ，AC 为x ，则下列y 关于x 的图象中正确的是( A )
A B C D
9．如图所示，在钝角三角形ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝12 cm ，动点D 从点A 出发到点B 止，动点E 从点C 出发到点A 止，点D 运动的速度为1 cm/s ，点E 运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是( A )
A ．3 s 或4.8 s
B ．3 s
C ．4.5 s
D ．4.5 s 或4.8 s
10．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a≠0)过A(4，4)，B(2，m)两点，点B 到抛物线对称轴的距
离记为d ，满足0＜d≤1，则实数m 的取值范围是( B )
A ．m ≤2或m≥3
B ．m ≤3或m≥4
C ．2＜m ＜3
D ．3＜m ＜4
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．已知a b ＝52，则a ＋b a －b ＝__73
__． 12．如图，∠DAB ＝∠CAE，请你再补充一个边条件，使得△ABC∽△ADE：__∠D＝∠B(答案不唯一)__．
13．圆内接四边形ABCD ，两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠E＝40°，∠F ＝60°，则∠A＝__40°__．
第12题图
13题图
第15题图
16题图 14．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，写出y ＞－3时x
的取值范围：__x ＜0或x ＞2__．
15．如图所示，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且AB ＝42，AC ＝
5，AD ＝4，则⊙O 的直径AE ＝．
16．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝30，动点P 从点B 开始沿边BC 向点C 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CA 向点A 以每秒1个单位长度的速度运动，连结PQ ，点P ，Q 分别从点B ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t≥0)．
(1)当t ＝__6__秒时，点P ，C ，Q 所构成的三角形与Rt △ABC 相似；
(2)在整个运动过程中，线段PQ 的中点所经过的路程长为．
三、解答题(共66分)
17．(6分)有A ，B ，C 三种款式的帽子，E ，F 两种款式的围巾，穿戴时小婷任意选一顶帽子和一条围巾．
(1)用合适的方法表示搭配的所有可能的结果；
(2)求小婷恰好选中她所喜欢的A 款帽子和E 款围巾的概率．
解：(1)根据题意，小婷任意选取一顶帽子和一条围巾，有A 、E ，A 、F ，B 、E ，B 、F ，
C 、E ，C 、F ，6种情况，
(2)小婷恰好选中她所喜欢的A 款帽子和E 款围巾的概率＝16
.
第18题图
18．(8分)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图所示，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E 、南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，
FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过A 点，求FH 的长．
解：∵EG⊥AB，FH ⊥AD ，HG 经过A 点，∴FA ∥EG ，EA ∥FH ，
∴∠HFA ＝∠AEG＝90°，∠FHA ＝∠EAG，∴△AFH ∽△GEA ，∴AF EG ＝FH EA
. ∵AB ＝9里，AD ＝7里，EG ＝15里，∴FA ＝3.5里，EA ＝4.5里，∴3.515＝FH 4.5
，解得FH ＝1.05里．
第19题图
19．(8分)如图所示，正方形ABCD 的边长为1，其中弧DE 、弧EF 、弧FG 的圆心依次为点A ，B ，C.
(1)求点D 沿三条弧运动到点G 所经过的路线长；
(2)判断直线GB 与DF 的位置关系，并说明理由．
解：(1)根据弧长公式，得所求路线长为90π×1180＋90π×2180＋90π×3180
＝3π. (2)GB⊥DF.理由如下：
在△FCD 和△GCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CG ，∠FCD ＝∠GCB，CD ＝CB ，
∴△FCD ≌△GCB(SAS)，∴∠G ＝∠F，∵∠F ＋∠FDC＝90°，∴∠G ＋∠FDC＝90°，∴∠GHD ＝90°，∴GB ⊥DF.
第20题图
20．(8分)如图所示，在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 分别交AC ，AD 于点F ，E ，若AD ＝1，AB ＝CF ，求AE 的长．
解：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝1，∠BAE ＝∠ABC＝90°，∴∠ABE ＋∠CBF＝90°， ∵BE ⊥AC ，∴∠BFC ＝90°，∴∠BCF ＋∠CBF＝90°，∴∠ABE ＝∠FCB，
在△AB E 和△FCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB＝∠BFC＝90°，AB ＝CF ，∠ABE ＝∠FCB，
∴△ABE ≌△FCB ，∴BF ＝AE ，BE ＝BC ＝1，∵BE ⊥AC ，∴∠BAF ＋∠ABF＝90°，
∵∠ABF ＋∠AEB＝90°，∴∠BAF ＝∠AEB，∵∠BAE ＝∠AFB，∴△ABE ∽△FBA ，∴AB BF
＝BE AB ，∴AB AE ＝1AB
，∴AE ＝AB 2， 在Rt △ABE 中，BE ＝1，根据勾股定理，得AB 2＋AE 2＝BE 2＝1，∴AE ＋AE 2
＝1，∵AE ＞0，
∴AE ＝
5－12
. 21．(8分)已知一次函数y 1＝x ＋b 的图象与二次函数y 2＝a(x 2＋bx ＋3)(a≠0，a ，b 为
常数)的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(0，3)．
(1)求出a ，b 的值；
(2)求出点B 的坐标，并直接写出当y 1≥y 2时x 的取值范围；
(3)设s ＝y 1＋y 2，t ＝y 1－y 2，若n≤x≤m 时，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，求n 的最小值和m 的最大值．
解：(1)把A(0，3)代入y 1＝x ＋b 中，得b ＝3，∴y 1＝x ＋3，y 2＝a(x 2＋3x ＋3)，把A(0，
3)代入y 2＝a(x 2＋3x ＋3)中，得3a ＝3，a ＝1，
∴a ＝1，b ＝3. (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2＋3x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝1.
第21题答图
∴B(－2，1)，
如图所示，当y 1≥y 2时x 的取值范围是－2≤x≤0.
(3)s ＝y 1＋y 2＝x ＋3＋x 2＋3x ＋3＝x 2＋4x ＋6＝(x ＋2)2＋2，∵抛物线开口向上，
∴当x≥－2时，s 随着x 的增大而增大，t ＝y 1－y 2＝x ＋3－(x 2＋3x ＋3)＝－x 2－2x ＝
－(x ＋1)2＋1，
∵抛物线开口向下，∴当x≤－1时，t 随着x 的增大而增大，
∴当－2≤x≤－1时，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大， ∵n ≤x ≤m ，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，
∴n 的最小值－2，m 的最大值－1.
第22题图
22．(8分)有一块锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC ＝120 cm ，高AD ＝80 cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点均分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示．
(1)求矩形纸片较长边EH 的长；
(2)裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．
解：(1)设EF ＝2x ，EH ＝5x ，∵矩形对边EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴EH BC ＝AR AD ，即5x 120
＝80－2x 80
，解得x ＝15，EH ＝5x ＝15×5＝75 cm ， 所以矩形纸片较长边EH 的长为75 cm.
(2)小聪的剪法不正确．
理由如下：设正方形的边长为a ，AR ＝AD －RD ＝80－2×15＝50 cm ，AK ＝50－a ，由题意，知△APQ∽△AEH，
∴PQ EH ＝AK AR ，即a 75＝50－a 50，解得a ＝30，与边EH 平行的中位线＝12
×75＝37.5 cm ，∵37.5≠30，∴小聪的剪法不正确．
图(a) 图(b)
第23题图
23．(10分)(1)如图(a)所示，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC ＝BC ＝6，CD ＝CE ，AE ＝3，∠CAE ＝45°，求AD 的长；
(2)如图(b)所示，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC ＝∠CED ＝∠CAE＝30°，AC ＝3，AE ＝8，求AD 的长．
解：(1)如图(a)所示，连结BE ，∵∠ACB ＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB ＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
又∵AC＝BC ，DC ＝EC ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠BCE ＝∠ACD，DC ＝EC ，
∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∵AC ＝BC ＝6，∴AB ＝62，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠BAC ＝∠ABC＝45°.
∵∠BAC ＝∠CAE＝45°，∴∠BAE＝90°，在Rt △BAE 中，AB ＝62，AE ＝3，∴BE ＝9，∴AD ＝9.
第23题答图(a)
第23题答图(b)
(2)如图(b)所示，连结BE ，∵∠ACB ＝∠DCE＝90°，∠ABC ＝∠CED＝30°，∴AC BC ＝CD CE
＝1
3，AB ＝2AC ＝6，∠BAC ＝60°.
∵∠ACB ＝∠DCE＝90°，∠ABC ＝∠CED＝30°，∴Rt △ABC ∽Rt △DCE ，∴AC DC ＝BC CE
，∴∠BCE ＝∠ACD，
∴△ACD ∽△BCE ，∴AD BE ＝AC BC ＝33
，∵∠BAC ＝60°，∠CAE ＝30°，∴∠BAE ＝90°，又AB ＝6，AE ＝8，∴BE ＝10，∴AD ＝103
3. 24．(10分)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－14x 2＋32
x ＋4的图象与x 轴交于B ，C 两点(B 在C 的左侧)，与y 轴交于点A.
(1)求出点A ，B ，C 的坐标；
(2)在抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴上有另一动点Q ，若以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P 的坐标；
(3)向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过△ABC 的外心，求出平移后的抛物线的解析式．
解：(1)当x ＝0时，y ＝4，∴与y 轴交点A(0，4)，当y ＝0时，－14x 2＋32
x ＋4＝0，解得：x 1＝－2，x 2＝8，∴B(－2，0)，C(8，0)．
(2)y ＝－14x 2＋32x ＋4＝－14(x －3)2＋254
，当P 在x 轴的上方时，即为抛物线的顶点P ⎝
⎛⎭⎪⎫3，254时，可以构成平行四边形BPCQ ，如图1， 当P 在x 轴的下方时，∵BC ＝2＋8＝10，若四边形BPCQ 为平行四边形，则BC∥PQ，BC ＝PQ ＝10，
有两种情况：①当P 在抛物线对称轴的左侧时，如图2，
∴点P 的横坐标为－7，当x ＝－7时，y ＝－14×(－7)2＋32×(－7)＋4＝－754
，此时
P ⎝
⎛⎭⎪⎫－7，－754； ②当P 在抛物线对称轴的右侧时，如图3，
∴点P 的横坐标为13，当x ＝13时，y ＝－14×132＋32×13＋4＝－754，此时P ⎝
⎛⎭⎪⎫13，－754； 综上所述，点P 的坐标为P ⎝
⎛⎭⎪⎫3，254或⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－754或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－754. (3)如图3，
∵A(0，4)，B(－2，0)，C(8，0)，∴OA ＝4，OB ＝2，OC ＝8，∴OB OA ＝24＝12，OA OC ＝48＝12
，∴OB OA ＝OA OC
， ∵∠AOB ＝∠AOC＝90°，∴△AOB ∽△COA ，∴∠BAO ＝∠ACO，
∵∠ACO ＋∠OAC＝90°，∴∠BAO ＋∠OAC＝90°，∴∠BAC ＝90°，
∴△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外心就是斜边AB 的中点E ，
∵BC ＝10，∴BC 的中点E 的坐标为(3，0)，
即平移后的解析式经过E(3，0)，
∴相当于把原抛物线向右平移5个单位，
∴平移后的解析式为y ＝－14(x －3－5)2＋254＝－14x 2＋4x －394.
第24题答图
第24题答图
第24题答图。