圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线午练专题练习(六)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．若AB 是过椭圆
中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且
AM ,BM 与坐标轴不平行,
,
分别表示直线AM ,BM 的斜率,则
=( )
A. B. C.
D.
2．(汇编山东文)在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为
2
1
，则该双曲线的离心率为（ C ） (A)2
2
(B)2 (C) 2 (D)22
3．(汇编全国3理)已知双曲线12
2
2=-
y x 的焦点为F 1.F 2，点M 在双曲线上且021=∙MF MF ，则点M 到x 轴的距离为( )
A.34
B.
35 C.3
32 D.3 4．(汇编天津理)从集合}11,,3,2,1{ 中任选两个元素作为椭圆方程122
22=+n
y m x 中的
m 和n ,则能组成落在矩形区域,11|||),{(<=x y x B 且}9||<y 内的椭圆个数为
（ ） (A)43
(B) 72
(C) 86
(D) 90
5．（汇编）直线2y k =与曲线2
2
2
2
918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)
6．（汇编全国卷Ⅱ理）已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右焦点为F ,过F 且
斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 ( ) m A ．
65 B. 75 C. 58 D. 9
5
【解析】设双曲线22
221x y C a b
-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l
⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为
3,知直线AB 的倾斜角
1
6060,||||2
BAD AD AB ︒∴∠=︒=
, 由双曲线的第二定义有
1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11
||(||||)22
AB AF FB ==+.
又156
43||||25
AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= .
7．（汇编四川卷文、理）已知双曲线
)0(122
2
2>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、
2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( )
A. －12
B. －2
C. 0
D. 4
8．（汇编江西卷文）设1F 和2F 为双曲线22
221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若
12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )
A ．32
B ．2
C ．5
2
D ．3
9．（汇编全国卷3)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A ．
22
B ．
21
2
- C ．22- D ．21-
10．（汇编全国文12）椭圆3
122
2y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）
A ．±43
B ．±23
C ．±22
D ．±4
3
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11．设抛物线2
4x y =的焦点为F ，经过点P(1，4)的直线l 与抛物线相交于Ａ、Ｂ两点，点P 为线段AB 的中点，则AF BF +的值为_________.
12．如图，已知过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点
P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率
为 .
13．与双曲线x 29－y 2
16＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线的标准方程为
14．已知椭圆
22
12516
x y +=上的点P 到一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为______
15．在平面直角坐标系xoy 中，P 是椭圆
22
1259
x y +=上的一点，F 是椭圆的左焦点，且()
1,2OQ OP OF =
+4OQ =,则点P 到该椭圆左准线的距离为 52
16．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的
四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是
()(
)
2,0,
2,0-
，则PC ·PD 的最大值为 ．
评卷人
得分
三、解答题
17．已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一
象限内的一点，点B 与点A 关于原点对称，0212=⋅F F AF ，若椭圆的离心率等于
.22
（1）求直线AB 的方程； （2）若2ABF ∆的面积等于24，求椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，椭圆上是否存在点M 使得MAB ∆的面积等于38？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
18． （16分）椭圆22
221(0)x y a b a y
+=>>上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的
左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线//AB OM （1）、求椭圆的离心率e ；
（2）、设Q 是椭圆上任意一点，2F 是右焦点，1F 是左焦点，求12FQF ∠的取值范围
19．已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦
24=AB ．
⑴求p 的值；
⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的离心率为22
3，试求点(0,)P a 与椭圆上的动
点M 的距离的最大值。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．B
【解析】本题可用特殊值法．不妨设弦AB 为椭圆的短轴．M 为椭圆的右顶点，则
A (0，b )，
B (0，－b )，M (a ，0)．所以
．故选B ．
2．ABCE
解析：不妨设双曲线方程为22
221x y a b -=（a >0，b >0），则依题意有
2221
22
b a
c a c =-=且， 据此解得e ＝2，选C 3．C 4．B
5．D 6．AA
7．C 由渐近线方程为x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是22
2
=-y x ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且)1,3(P 或)1,3(-P .不妨去
)1,3(P ，则)1
,32(1---=PF ，)1,32(2--=PF . ∴1PF ·2PF ＝01)32)(32()1,32)(1,32(=+-+-=----- 8．B
解析：B 由3tan 6
23c b π
=
=有2222
344()c b c a ==-,则2c e a
==,故选B. 9．D 10．A
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11． 12． 13． 14．7 15． 16．4； 评卷人
得分
三、解答题
17． 解：（1）由.0212212F F AF F F AF ⊥=⋅知
椭圆离心率等于
222
1,22,22a b a c ==所以，故椭圆方程可以写成2222a y x =+，
设,2
1
),,(a y y c A A A =
代入方程得所以)21,22(a a A ， 故直线AB 的斜率22=
k ，因此直线AB 的方程为.2
2
x y =
（2）连接AF 1、BF 1，由椭圆的对称性可知2112F AF ABF ABF S S ∆∆∆==，
所以,8,16,242
12212
2===⋅⋅b a a c 解得故椭圆方程为.181622=+y x （3）由（2）可以求得,342)22(222
2
=+==OA AB
假设在椭圆上存在点M 使得MAB ∆的面积等于38，设点M 到直线AB 的距离为d ，则应有
38342
1
=⋅⋅d ，所以.4=d 设M 所在直线方程为
06422=±-y x 与椭圆方程联立消去x 得方程
0326842=+±y y
即08622=+±y y 084)62(2
<⨯-±=∆ 故在椭圆上不存在点M 使得MAB ∆的
面积等于.38 18． （1）
1MF x ⊥轴 ,M x c ∴=-代入椭圆方程2222
1(0)x y a b a b +=>> 得2
M b y a
=， 2OM b K ac ∴=-. 又
AB
b K a =-且//OM AB ，2b b a
c a
∴-=-，
故b c =从而2
2
e =
c
F F a r r QF F r QF r QF 2,2,,2121212211==+=∠==θ设
2222222
1212122
12121212
4()24cos 110
22()2r r c r r r r c b b r r r r r r r r θ+-+--∴===-≥-=+当且仅当12r r =时，上式成立.0cos 1θ∴≤≤故0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
19．⑴由⎩⎨
⎧==py
x x y 22
解得)2,2(),0,0(p p B A
∴p p p AB 22442422=+==，∴2=p ………………………………………4 ⑵由⑴得)4,4(),0,0(,42B A y x =
假设抛物线L 上存在异于点A 、B 的点C )4,0()4
,(2
≠≠t t t t ，使得经过A 、B 、C 三点
的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线
令圆的圆心为),(b a N ，则由⎩⎨⎧==NC NA NB NA 得⎪⎩
⎪
⎨⎧-+-=+-+-=+222222
222)
4()()4()4(t b t a b a b a b a 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+83248
481244222t t b t
t a t t tb a b a …………………………………………6 ∵抛物线L 在点C 处的切线斜率)0(2
|≠=
'==t t
y k t x 又该切线与NC 垂直， ∴
04
12212432=--+⇒-=⋅--
t t bt a t t a t b ∴08204
1
28324)84(223322=--⇒=--++⋅++-⋅t t t t t t t t t t (8)
∵4,0≠≠t t ，∴2-=t
故存在点C 且坐标为（-2,1） …………………………………………10 20．3
344
b。