最新2018-2019学年高二上学期周测数学(文)试题

一、选择题
1、已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若
)
2,sin 1cos a b B B ===-，则sin A 的值为（ ）
A B C 2、圆22240x y x y ++-=的圆心的坐标和半径分别是（ ）
A 、()1,2,5-
B 、()1,2-、()1,2,5- D 、()1,2-3、已知{}n a 为等比数列，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则1a =（ ） A 、35 B 、33 C 、16 D 、29 4、方程2x xy x +=表示的曲线是（ ）
A 、一个点
B 、一条直线
C 、两条直线
D 、一个点和一条直线 5、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A 、
8
3
B 、
C 、12π
D 6、若点()2,1P -为圆()2
2
125x y -+=的弦AB 的
中点，则直线AB 的方程是（ ）
A 、30x y --=
B 、230x y +-=
C 、10x y +-=
D 、250x y --= 7、直线:1l y kx =-与曲线
21
12
y x -=-不相交，则k 的取值是（ ） A 、
12或3 B 、12 C 、3 D 、1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8、若椭圆
22
15x y m
+=每一个焦点坐标为()1,0，则实数m 的值为（ ）
A 、1
B 、2
C 、4
D 、6 9、若不等式()2
2
123013
a
ax a x -+
≥>+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A 、(]0,9 B 、1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C 、[)9,+∞ D 、10,9
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
10、如果在约束条件()10
20010
x y x y a ax y -+≥⎧⎪
+-≤<<⎨⎪-≤⎩
下，目标函数z x ay =+的最大值是53，则a =
A 、
23 B 、13
C 、12或13
D 、12 11、若圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 所
作的圆的切线长的最小值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、6
12、在正三棱柱111ABC A B C -中，若2AB =，11AA =，则点A 到平面1A BC 的距离为
（ ） A
B
C
二、填空题
13、若椭圆的焦距为6，1a b -=，则椭圆的标准方程为 .
14、已知点P 是圆22
:450C x y x ay +++-=上任意一点，点P 关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a = .
15、在ABC ∆中，高AD 与BE 所在直线的方程分别是530x y +-=和10x y +-=，AB 边所在直线的方程是310x y +-=，则ABC ∆的顶点坐标分别是A ；B ；C .
16、过点()1,2M 的直线l 与圆()()2
2
:3425C x y -+-=交于A ，B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 . 三、解答题
17、点()3,0P -是圆226550x y x +--=内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，求圆心M 的轨迹方程.
18、n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+. （1）求n a 的通项公式；
（2）设1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.
19、自点()4,0A 引圆2
2
4x y +=的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程.
20、已知直线10x y -+=与圆22:420C x y x y m +--+=交于A ，B 两点.
（1）求线段AB 的垂直平分线的方程；
（2）若||AB =m 的值；
（3）在（2）的条件下，求过点()4,4P 的圆C 的切线方程.
21、某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书的单价定为x 元时，销售量可达到()150.1x -万套.现出版社为配合该书商的活动，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单元：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=单价-供货价格.求：
（1）每套丛书的单价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书的单价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
22、如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，0
60BCD ∠=，E 是CD 的
中点，PA ⊥底面ABCD ，PA =
（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （2）求二面角A BE P --大小.
数学答案: 1.C 2.D 3.C 4.C 5.C 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.B
13.252x + 162y =1或252y +16
2x =1
14.-10
15.（-2，1） （1，0）（2，5） 16.x+y-3=0
17.解 已知圆为（x-3）2
+y 2
=64，其圆心C （3，0）半径为8，由于动圆M 过P 点，所以｜MP ｜等于动圆的半径r ，即｜MP ｜=r ，又圆M 与已知圆C 相内切，所以圆心距等于半径之差即｜MC ｜=8- r ，从而有｜MC ｜=8-｜MP ｜，即｜MC ｜+｜MP ｜=8，根据椭圆的定义，动点M 动两定点C 、P 的距离之和为定值8〉6=｜CP ｜，所以动点M 的轨迹是椭圆，并且2a=8，a=4；2c=6，c=3；
b 2
=16-9=7，因此M 点的轨迹方程为162x +7
2y =1
答案：162x +7
2
y =1
18.解析（1）由a 2
n +2a n =4S n +3，可知a 21+n +2a n+1=4S n+1+3。

两式相减，可得a 21+n - a 2n +2（a 1+n - a n ）=4 a 1+n ，
即2（a 1+n + a n ）= a 21+n - a 2
n = （a 1+n + a n ）
（a 1+n - a n ）， 由于a n 〉0，可得a 1+n - a n =2.
又a 21+2 a 1=41a +3，解得，a 1=-1（舍去）或a 1=3， 所以数列｛a n ｝是首项为3，公差为2的等差数列， 其通项公式为a n =2n+1 （2）由a n =2n+1，可知 b n =
11
++n a a n =)3(2n 1n 2(1++）
=21（321_1n 2(1++n ））
设数列｛b n ｝的前n 项和为T n ,则 T n = b 1+ b 2+…+ b n
=
21[(31-51)+(51-71)+…+(3
21
_1n 2(1++n ）)]
=
)
32(3+n n
19.解，方法一：设坐标原点为O ，连接OP,则OP ⊥BC ， 设P （x,y ）（-2≤x ≤2），当x ≠0时，k OP ·k AP =-1, 即
x
y ·4-x y =-1，即x 2+y 2
-4x=0.①当x=0时，点P 的坐标为（0，0），是方程①的解， 所以弦BC 的中点P 的轨迹议程为x 2
+y 2
-4x=0（在已知圆内部分） 方法二：由方法一，知OP ⊥AP ，取OA 的中点M ，则M （2，0），PM =2
1
OA =2 由圆的定义知，点P 的轨迹是以M （2，0）为圆心，2为半径长的圆， 故P 的轨迹方程为（x-2）2
+y 2
=4(在已知圆内部分)
20.解（1）由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心（2，1），斜率为-1； ∴该直线方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0
（2）圆x 2
+y 2
-4x-2y+m=0可化为(x-2)2
+(y-1)2
=-m+5
∵AB =22,∴圆心到直线的距离为25-+-m =m -3
∵圆心到直线的距离为d=2
1
12+-=2,∴m -3=2
∴m=1
(3)由题意，知圆C: x 2+y 2-4x-2y+1=0 ，即(x-2)2+(y-1)2
=4. 则点P （4，4）在圆外，过点P 的圆C 的切线有两条。

①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-4)，即kx-y-4k+4=0 由圆心到切线的距离等于半径，得
1
4
4122
++--k
k k =2
解得k=
12
5
，所以所求切线的方程为5x-12y+28=0 ②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x=4， 综上，所求切线的方程为x=4或5x-12y+28=0
21.解析 （1）每套丛书的单价定为100元时，销售量为15-0.1×100=5（万套） 此时每套丛书的供货价格为30+
5
10
=32（元） 书商所获得的总利润为5×（100-32）=340（万元）
答：每套丛书的单价定为100元时，书商能获得的总利润的340万元。

（2）每套丛书的单价定为x 元时
由⎩
⎨⎧>>-000115x x ，得0<x<150
依题意，设单套丛书的利润为P 元
则P=x-(30+
x
1.01510-)=x-x -150100
-30
∴p=-[(150-x)+ x
-150100
]+120
∵0<x<150，∴150-x>0， ∵(150-x)+
x -150100≥x
x -∙-150100
)150(2=20
当且仅当150-x=
x
-150100
，即x=140时，等号成立，
∴P max = -20+120=100
答：每套丛书的单价定为140元时，单套丛书的利润最大。

22.解(1)证明 如图所示，连接BD
∵四边形ABCD 是菱形且∠BCD=60°. ∴△BCD 是等边三角形 ∵E 是CD 的中点，∴BE ⊥CD ∵AB ∥CD ∴BE ⊥AB ∵PA ⊥平面ABCD, BE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BE ∵PA ∩AB=A , ∴BE ⊥平面PAB
又∵BE ⊂平面PBE, ∴平面PBE ⊥平面PAB.
(2)解 由（1）知BE ⊥平面PAB,PB ⊂平面PAB, ∴PB ⊥BE 又∵AB ⊥ BE ，∴∠PBA 是二面角A-BE-P 的平面角 在Rt △PAB 中，tan ∠PBA=
AB
PA
=3,∴∠PBA=60°. 故二面角A-BE-P 的大小是60°.。