东宝区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

东宝区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知a 为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A ．a ＞0
B ．a ＜0
C ．a ＞e
D ．a ＜e
2． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ） A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
3． 阅读如右图所示的程序框图，若输入0.45a =，则输出的k 值是（ ） （A ） 3 （ B ） 4 （C ） 5 （D ） 6
4． 设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ） A ．M=P B ．P ⊊M C ．M ⊊P D ．M ∪P=R
5． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．
14 B ．18 C ．23 D ．112
6． 已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）是偶函数，且满足xf ′（x ）＜0， =0，则满足
的x 的范围为（ ）
A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）
B ．（，1）∪（1，2）
C ．（，1）∪（2，+∞）
D ．（0，）∪（2，+∞）
7． 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）
A ．3y x =
B ． 21y x =-+
C ．||1y x =+
D ．2x y -=
8． 复数的虚部为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣2i
C ．2
D ．2i 9． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）
A ．9
B ．
C ．3
D ．
10．已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（ ）
A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定
B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定
C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定
D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定
11．已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）
A ．5A ∈
B ．1.5A ∉
C ．1A -∉
D ．0A ∈ 12．ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
二、填空题
13．定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．
3+4i|的最大值为 ．
BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； BN 是异面直线． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．
16．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单
位：小时）间的关系为0
e kt
P P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了 消除27.1%的污染物，则需要___________小时.
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用. 17．已知数列{a n }满足a n+1=e+a n （n ∈N *，e=2.71828）且a 3=4e ，则a 2015= ．
18．直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，则实数a 的值为 ．
三、解答题
19．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题： （1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；
（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？
（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S 合计
20．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；
（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．
21．已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．
22．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；111]
（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．
23．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点
（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．
（Ⅱ）证明：AM⊥PM．
24．设点P的坐标为（x﹣3，y﹣2）．
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先后两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点P在第二象限的概率；
（2）若利用计算机随机在区间上先后取两个数分别记为x、y，求点P在第三象限的概率．
东宝区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由积分运算法则，得
=lnx
=lne ﹣ln1=1
因此，不等式即
即a ＞1，对应的集合是（1，+∞）
将此范围与各个选项加以比较，只有C 项对应集合（e ，+∞）是（1，+∞）的子集
∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a ＞e
故选：C
【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．
2． 【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m ﹣1+a m+1=2a m ，
则a m ﹣1+a m+1﹣a m 2
=a m （2﹣a m ）=0，
解得：a m =0或a m =2，
若a m 等于0，显然S 2m ﹣1=
=（2m ﹣1）a m =38不成立，故有a m =2， ∴S 2m ﹣1=（2m ﹣1）a m =4m ﹣2=38， 解得m=10． 故选C
3． 【答案】 D.
【解析】该程序框图计算的是数列前n 项和，其中数列通项为()()
1
2121n a n n =
-+
()()
111
1111335
2121221n S n n n ⎡⎤∴=
+++
=
-⎢⎥⨯⨯-++⎣⎦
9
0.452
n S n n >∴>∴最小值为5时满足
0.45n S >，由程序框图可得k 值是6． 故选D ．
4． 【答案】B
【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x ＞1}； ∴P ⊊M ．
故选B ．
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 6． 【答案】D
【解析】解：当x ＞0时，由xf ′（x ）＜0，得f ′（x ）＜0，即此时函数单调递减， ∵函数f （x ）是偶函数，
∴不等式等价为f （||）＜，
即|
|＞，即
＞或
＜﹣，
解得0＜x ＜或x ＞2，
故x 的取值范围是（0，）∪（2，+∞） 故选：D
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
7． 【答案】C 【解析】
试题分析：函数3y x =为奇函数，不合题意；函数21y x =-+是偶函数，但是在区间()0,+∞上单调递减，不合题意；函数2x y -=为非奇非偶函数。

故选C 。

考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性。

8． 【答案】C
【解析】解：复数=
=
=1+2i 的虚部为2．
故选；C ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
9． 【答案】B
【解析】解：令f （a ）=（3﹣a ）（a+6）=﹣+
，而且﹣6≤a ≤3，由此可得函数f
（a ）的最大值为
，
故（﹣6≤a ≤3）的最大值为=，
故选B ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
10．【答案】C
【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79）， ∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，
∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定， 故选：C ．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
11．【答案】A 【解析】
试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且
05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1
考点：集合与元素的关系. 12．【答案】A.
【解析】在ABC ∆中2
2
2
2
cos 2cos 212sin 12sin sin sin sin sin B A B A A B A B >⇒->-⇔>⇔>
A B ⇔>，故是充分必要条件，故选A.
二、填空题
13．【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由()
21()0f x x e
f x '≤
≥⇒≥′时，()
21()0f x x e
f x '><⇒<′时，所以()y f x =的
增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间 14．【答案】 6 ．
【解析】解：∵|z|=1，
|z ﹣3+4i|=|z ﹣（3﹣4i ）|≤|z|+|3﹣4i|=1+=1+5=6，
∴|z ﹣3+4i|的最大值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查复数求模，着重考查复数模的运算性质，属于基础题．
15．【答案】③④ 【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM 与ED 是异面直线，所以是错误的；②DN 与BE 是平行直线，所以是错误的；③从图中连接,AN AC ，由于几何体是正方体，所以三角形ANC 为等边三角形，所以,AN AC 所成的角为60︒，所以是正确的；④DM 与BN 是异面直线，所以是正确的．
考点：空间中直线与直线的位置关系． 16．【答案】15
【解析】由条件知5000.9e k
P P -=，所以5e 0.9k
-=.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为00.729P ，
于是000.729e
kt P P -=，∴315e 0.7290.9e kt
k --===，所以15t =小时.
17．【答案】 2016 ．
【解析】解：由a n+1=e+a n ，得a n+1﹣a n =e ， ∴数列{a n }是以e 为公差的等差数列， 则a 1=a 3﹣2e=4e ﹣2e=2e ，
∴a 2015=a 1+2014e=2e+2014e=2016e ． 故答案为：2016e ．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
18．【答案】1
【解析】 【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a 的值． 【解答】解：直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，
∴
，解得 a=1．
故答案为 1．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5，
②中的值为
=0.40，③中的值为50×0.2=10，
④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为=0.30；
（2）不低于85的概率P=×0.20+0.30=0.40，
∴获奖的人数大约为800×0.40=320；
（3）该程序的功能是求平均数，
S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82，
∴800名学生的平均分为82分
20．【答案】
【解析】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，
则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，
=，，
所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，
因为以AB为直径的圆经过原点O，
所以∠AOB=90°，
即，
所以，
解得k=﹣，
即所求直线l的方程为y=﹣．
（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），
则由（1）得，，
所以线段AB的中垂线方程为，
令y=0，得==，又由（1）知k＜，且k≠0，得或，
所以
， 所以=，
所以△POQ 面积的取值范围为（2，+∞）．
【点评】本题考查直线l 的方程的求法和求△POQ 面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵f （5）=3，
∴
， 即log a 27=3
解锝：a=3…
（2）由（1）得函数
，
则=… （3）不等式f （x ）＜f （x+2），
即为
化简不等式得
…
∵函数y=log 3x 在（0，+∞）上为增函数，且
的定义域为R ． ∴x 2+2＜x 2+4x+6… 即4x ＞﹣4，
解得x ＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…
22．【答案】（１） 24y x ；（２）证明见解析；(3,0)．
【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则直线：(1)y k x =-，1212(,)22
x x y y M ++， 由24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，
2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系． 【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)
0)((0)(''<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
参数的取值是)('x
f不恒等于的参数的范围．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP；
证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形，
所以CM平行且相等于DN，
所以四边形MCNA为矩形，
所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP，
所以CN∥平面AMP．
（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，
因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点
所以PE⊥平面ABCD，CM=，
所以PE⊥AM，
在△AME中，AE==3，ME==，AM==，
所以AE2=AM2+ME2，
所以AM⊥ME，
所以AM⊥平面PME
所以AM⊥PM．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．
24．【答案】
【解析】解：（1）由已知得，基本事件（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0）（0，1）共9种…4（分）
设“点P在第二象限”为事件A，事件A有（﹣2，1），（﹣1，1）共2种
则P（A）=…6（分）
（2）设“点P在第三象限”为事件B，则事件B满足…8（分）
∴，作出不等式组对应的平面区域如图：
则P（B）==…12（分）。