2015届高考数学一轮复习课件：第36讲 基本不等式

为－2. (2)2xy≤2(x＋2 y)2＝2，当且仅当 x＝y＝1 时取等号，故 2xy
的最大值为 2.
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第36讲 基本不等式
•
双 向
固
基
础
(3)当 sin x＝sin4 x时，sin x＝±2，显然等号取不到． 事实上，设 t＝sin x，则 t∈(0，1]，y＝t＋4t 在(0，1]上为
•
点 面
等且式a＋b＋c＝1，证明：
讲 考 向
(1)ab＋bc＋ca≤13； (2)ab2＋bc2＋ca2≥1.
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第36讲 基本不等式
•
点 面
讲
考
向
［思考流程］ (1)条件：a，b，c 为正数，且和为 1. 目标：证明不等式．方法：不等式中的 a，b，c 有对称转 换关系，所以从基本不等式入手，再根据不等式的性质推
•
双 向
固
基
础
•
点 面
讲
考
向
•
多 元
提
能
力
•
教 师
备
用
题
第36讲 基本不等式
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考试说明 1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
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第36讲 基本不等式
•
双 向
固
基
础
1．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过
总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平
均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)．
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第36讲 基本不等式
•
点 面
讲
考
向
［思考流程］ (1)条件：已知年收入与支出．目标： 确定累计收入何时超过总支出．方法：列函数式解不等式．
导出要证明的结论． (2)条件：a，b，c 为正数，且和为 1.目标：证明不等
式．方法：利用基本不等式及不等式的性质证明．
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第36讲 基本不等式
证明：(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
)
(4)函数 y＝ x2＋4＋ x21＋4的最小值是 2.(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
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第36讲 基本不等式
•双
向
固 基 础
[解析] (1)当 x<0 时，－x>0，y＝x＋1x＝
≤
－2 （－x）·－1x＝－2，
当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时取等号，即 y 的最大值
∴21|a|＋|ba|＝4a|a|＋4b|a|＋|ba|.
∵b>0，|a|>0，∴4b|a|＋|ba|≥1(当且仅当 b2＝4a2 时取等号)，
∴21|a|＋|ba|≥4a|a|＋1.
故当 a<0 时，21|a|＋|ba|的最小值为34.
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第36讲 基本不等式
第36讲 基本不等式
变式题 (1)[2013·福建卷] 若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值
范围是( )
•
点 面
A．[0，2]
B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
讲 (2)[2013·山东卷] 设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z
考 向＝0，则当xzy取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为(
值为________．
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第36讲 基本不等式
［思考流程］ (1)分析：给出两代数式的积的形式．推
理：这两数式之和为定值．结论：利用基本不等式求出最
•
点 面
大值．
讲 (2)分析：给出两数之和．推理：通过数式代换，构造
考 向
两式的积为定值．结论：利用基本不等式及绝对值的性质 确定最小值．
≤
a2＋b2 2
，
所
以
2ab a＋b
≤
ab
≤
a＋b 2
≤
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第36讲 基本不等式
•
双 向
固
基
础
2．确定最值的易错点
(1)当 x<0 时，函数 y＝x＋1x的最大值为－2.(
)
(2)若 x>0，y>0，且 x＋y＝2，则 2xy 的最大值为 1.( )
(3)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2 的最小值为 4.(
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第36讲 基本不等式
•
双 向
固
基
础
[答案] (1)√
(2)×
(3)×
(4)√
[解析] (1)因为(a－b)2≥0，展开即得 a2＋b2≥2ab.
(2)a，b 必须是正数，例如 a＝－2，b＝－1，则不等式 不成立．
(3)若 a，b 同号，则不等式成立；若 a，b 异号，则不
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第36讲 基本不等式
• ► 例探究2 点(二1)[201利3·重用庆基卷本]不等（式3－求a）最（值a＋6） ( －
•
点 面
6≤a≤3)的最大值为(
)
讲 考 向
A．9 B.92 C．3 D.3 2 2
(2)[2013·天津卷] 设 a＋b＝2，b>0，则21|a|＋|ba|的最小
(1)基本不等式成立的条件：__a_>_0__且___b_>__0__． (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b___时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥___2_a_b___(a，b∈R)．
(2)ab＋ba≥____2____(a，b 同号)．
(3)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
xy·1 4xy－3＝1，
当且仅当xy＝4xy，即 x＝2y 时，等号成立，
∴2x＋1y－2z＝22y＋1y－4y2－62y2＋4y2＝－1y－12＋1≤1.
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第36讲 基本不等式
• ► 例探3 究[2点013三·山东泰基安本质不检]等小式王与于年其初他用知50识万元 的购综买合
480＋320·2 x·4x＝480＋320×2 4＝1760，
当且仅当 x＝4x，即 x＝2 时，ymin＝1760 元． 故当池底长为 2 m 时，这个水池的造价最低，最低造 价为 1760 元．
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第36讲 基本不等式
•
双 向
固
基
础
—— 疑 难 辨 析 ——
[答案] (1)B
3 (2)4
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第36讲 基本不等式
[解析] (1)因为－6≤a≤3，所以 （3－a）（a＋6）≤
•
点 面
（3－a）＋2 （a＋6）＝92，当且仅当 等号成立．
3－a＝a＋6，即
a＝－32时
讲 考 向
(2)∵a＋b＝2，∴a＋2 b＝1，
等式不成立，例如 a＝－2，b＝1 时，不等式不成立．
(4)根据基本不等式和不等式的性质，有a2＋abb≤2
2ab ＝ ab
ab；
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第36讲 基本不等式
•
双 向
固
基
础
因
为
a＋b 2
＝
a2＋b2＋a2＋b2 4
＝
a2＋b2 2.
（a＋b）2 4
＝
a2＋b2＋2ab 4
P2
值____4________．
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第36讲 基本不等式
•
双 向
固
基
础
—— 链接教材 ——
1．[教材改编] 函数 y＝x＋1x(x＞0)的值域为________．
[答案] [2，＋∞)
[解析] ∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当 x＝1x，即 x ＝1 时取等号，故函数 y＝x＋1x(x＞0)的值域为[2，＋∞)．
1．基本不等式的变形的常用结论
(1)若 a，b 是两个实数，则 a2＋b2≥2ab.( )
(2)若 a，b 是两个实数，则a＋2 b≥ ab.(
)
(3)若 a，b 是两个实数，则ab＋ba≥2.( )
(4)如果 a>0，b>0，则一定有a2＋abb≤
ab
≤
a＋b 2
≤
a2＋b2 2 .( )
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•
点 面
应了一用辆大货车，第一年因ห้องสมุดไป่ตู้纳各种费用需支出
6
万元，从
讲 第二年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每
考 向
年的运输收入均为 25 万元．小王在该车运输累计收入超过 总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x
年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的
报废年限为 10 年)．
减函数，故当 t＝1 时，y 取最小值 5.
(4) x2＋4＋ x21＋4≥2
x2＋4· x21＋4＝2，
当 x2＋4＝ x21＋4时，x2＋4＝1，x∈∅，等号取不到．
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第36讲 基本不等式
• ► 例探1究点[20一13·新课利标用全基国卷本Ⅱ不] 设等a式，b证，明c 均简为正单数不，
∴l＝a＋b＋ a2＋b2≥2 ab＋ 2ab＝4＋2 2，故最
合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋2 2) m.
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第36讲 基本不等式
•
双 向
固 基 础
4．[教材改编] 建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方 体无盖水池，若池底的造价为每平方米 120 元，池壁的造价
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第36讲 基本不等式
•
双 向
固
基 础
2．[教材改编] 一段长为 40 m 的篱笆围成一个矩形菜
园，则菜园的最大面积是________．
[答案] 100
[解析] 设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 2(x＋y) ＝40，即 x＋y＝20.
∴矩形的面积 S＝xy≤x＋2 y2＝100，当且仅当 x＝y＝10 时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是 100.
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第36讲 基本不等式
•
双 向
固
基
础
3．利用基本不等式求最值问题
已知 如果
xS，是y定∈值R＋，，那x＋么y当＝且P，仅x当y＝__S_x.有_＝_下_y_列__命_时题，：x＋y
有最
小值_如_2_果__P_S_是__定_；值，那么当且仅当___x_＝__y____时，xy 有最大
•
点
由题可知(a＋b＋c)2＝1，即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
面 ＝1.
讲 考 向
所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤13.
(2)因为ab2 ＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，
所以ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即ab2＋bc2＋ca2≥
)
A．0
B．1
9 C.4
D．3
[答案] (1)D (2)B
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第36讲 基本不等式
[解析] (1)1＝2x＋2y≥2 2x＋y⇒2x＋y≤2－2⇒x＋y≤－
2，当且仅当 x＝y＝－1 时，等号成立．
•
点 面
讲
考
向
(2)由题意得 z＝x2－3xy＋4y2， ∴xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋41xy－3≤2
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第36讲 基本不等式
•双
向
固 基 础
3．[教材改编] 将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，则最合理(够用且浪费最少)
的铁丝的长为________m.
[答案] 4＋2 2
[解析] 设两直角边分别为 a，b，直角三角形的框架 的周长为 l，则12ab＝2，即 ab＝4，
(2)条件：用 x 表示获得的利润．目标：求平均利润的 最大值．方法：利用基本不等式，求得最大值以及相应的 x 的值．
为每平方米 80 元，这个水池的最低造价为________元．
[答案] 1760
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第八页，编辑于星期五：十点 二分。
第36讲 基本不等式
•
双 向
固
基
础
[解析] 设水池的总造价为 y 元，池底长为 x m，则宽 为4x m，由题意可得
y＝4×120＋2(2x＋8x)·80＝480＋320·(x＋4x)≥
•
点 面
［归纳总结］ 利用基本不等式求函数最值时，注意 “一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”，“一
讲 考
正”是各项为正数，“二定”是求和的最小值时积为定
向 值、求积的最大值时和为定值，“三相等”是必须验证等
号是否成立．常用的方法为拆、凑、代换、平方．
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a＋b＋c.又 a＋b＋c＝1，所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
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第十八页，编辑于星期五：十点 二分。
第36讲 基本不等式
•
点 面
讲
考
向
［归纳总结］ 利用基本不等式证明不等式是综合法证 明不等式的一种情况，证明思路是由问题的已知条件出发， 观察题中的条件是否满足基本不等式的使用条件，若不满 足，可通过添项、拆项、配系数、“1”的代换等方法，构造 满足基本不等式的条件，再借助不等式的性质和基本不等 式，经过逐步的逻辑推理，最后转化为待证问题．