江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三数学12月月考试题苏教版

兴化市安丰高级中学2014届高三
数学（文）试卷
2013年12月2日
注意事项：
①本试卷共有20题，满分160分，考试时间120分钟． ②答题前请将密封线内的内容填写清楚．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸相应位置的横线上．
1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（{}4,32，． 2．复数
5i
2i
=+12i +． 3. 函数1
()ln f x x x
=-的零点个数为1．
4. AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则
(1,1)--．
5. 设12
33,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，
则的值为，3． 6. 已知)0,2
(π
α-
∈，53cos =
α，则=+)4tan(πα7
1
-． 7. 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S
．则“||q =627S S =”的
充分而不必要条件．
8. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且862a a a =+，则
=5
5
a S 3． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C 在第一象限内，6
AOC π
∠=，
且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ+μ
10. 在
ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=
，则c =3．
11. 若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且a ，b 的夹角为
3
π
，则+=
a b ．
12. 已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，若点S y x P ∈),(，则
y x z +=2 的最大值为6.
13．设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -，则5()2
f -=
2
1
-
． 14. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]
k ，即
[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论：
① []20133∈； ② []22-∈；
③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；
④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]
0a b -∈”．
其中，正确结论的个数为3．
二、解答题：本大题共6小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式2
0x x m --=成立”是真命题．
（1）求实数m 的取值集合M ；
（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．
解: (1) 由题意知，方程2
0x x m --=在()1,1-上有解，
即m 的取值范围就为函数x x y -=2
在()1,1-上的值域，易得124M m m ⎧⎫
=-
≤<⎨⎬⎩⎭
(2) 因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以N M ⊆
当1=a 时，解集N 为空集，不满足题意
当1>a 时，a a ->2，此时集合{}a x a x N <<-=2|
则⎪⎩
⎪⎨⎧
≥-
<-2412a a ，解得49>a
当1<a 时，a a -<2，此时集合{}a x a x N -<<=2|
则⎪⎩
⎪⎨⎧
≥--
<2241a a ，解得41-<a
综上，94a >
或 1
4
a <- 16、（本小题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a
b ααββ==． （1）若6
7π
βα=
-，求a b ⋅的值； （2）若4,58a b πα⋅==，且
⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值． 解：（1）∵)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a
∴()2
3
67cos cos -==-=⋅πβαb a （2）∵54=
⋅b a ∴()54cos =-βα，()53sin -=-βα，()4
3
tan -=-βα
)(4
)(2βαπ
βααβα--=
--=+
∴)](4
tan[)tan(βαπβα--=+)tan(1)tan(1βαβα-+--==
4
3143
1-+
=7 17、（本小题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）
在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 .3tan )(2
22bc A a c b =
-+
（1）求角A ；
（2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.
解：（1）由已知得2
3
sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+
又在锐角△ABC 中，所以A =60°
（2）因为a =2，A =60°所以bc A bc S bc c b 4
3sin 21,42
2==
+=+ 而42422
2≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b
又344
3
43sin 21=⨯≤==
bc A bc S 所以△ABC 面积S 的最大值等于3
18、（本小题满分15分，第1小题6分，第2小题9分） 如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为
两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边
AE 满足函数22(02y x x =-+≤≤M 到边OA 距离为24()33
t t ≤≤．
（1）当2
3
t =时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
解：（1）022912:),9
14
,32(=-+y x l M
（2）
)2,(2+-t t M ，过切点
M 的切线
)(2)2(:2t x t t y l --=+--
即222
++-=t tx y ，令2=y 得2
t
x =，故切线l 与AB 交于点)2,2
(t ； 令0=y ，得t t x 12+=
，又t t x 12+=在]34,32[递减，所以]6
11,1217[12∈+=t t x 故切线l 与OC 交于点)0,1
2(t
t +。

∴地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，
面积t t t t t S 142)22122(21--=⋅-+--=2)1
(4≤+-=t
t ，
等号1=t ，2max =S 。

19、（本小题满分16分）
已知函数2()ln ,a
f x x a x
=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．
解：（1）∵2()ln a f x x x =+，∴212()a
f x x x
'=-．
∵()f x 在[2,)+∞上是增函数，
∴212()a f x x x
'=
-≥0在[2,)+∞上恒成立，即a ≤2x
在[2,)+∞上恒成立．
令()2x
g x =，则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞．
∵()2
x
g x =在[2,)+∞上是增函数，∴[]min ()(2)1g x g ==．
∴a ≤1．所以实数a 的取值范围为(,1]-∞． （2）由（1）得2
2()x a
f x x -'=
，[1,]x e ∈．
①若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．
所以()min (1)23f x f a ===⎡⎤⎣⎦，解得3
2a =（舍去）
． ②若12a e ≤≤，令()0f x '=，得2x a =．当12x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)a 上是减函数，当2a x e <<时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a e 上是增函数． 所以()()min
2ln(2)13f x f a a ==+=⎡⎤⎣⎦，解得2
2
e a =（舍去）
． ③若2a e >，则20x a -<，即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是减函数．
所以()()min 213a
f x f e e
==+
=⎡⎤⎣⎦，所以a e =． 20、（本小题满分16分，第1小题7分，第2小题9分） 已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2
1
-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式
③设数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，
是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。

解：①∵1)1)(1(2
1
-++=
n n a n S []
1111112121111
(2)(1)1(2)(1)(1)(1)22
(1)1(1)(2)1(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n n n n n
S n a a S S n a n a na n a n a n a n a na n a n a +++++++++++∴=++-∴=-=++-++=+-∴+=+-∴+-=+-+整理得， 12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+
∴数列{}n a 为等差数列。

②1)1(311-+==+n n a n na a ，21212152a a a a ∴=-=∴-=即公差为2
1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+
③)32)(12(111++=+n n a a n n
11122123n n ⎛⎫=-
⎪++⎝⎭
11111111111
()()23557
212323236
n n T n N T n n n *∴=-+-+
+
-=-∈<+++又当时， 要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥
6
1
， 所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立，M 的最小值为6
1。