山西省高考前（3月）适应性测试数学试题(理)含答案

山西省高三下学期适应性考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z 满足12iz i =+，则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i -
C ．1-
D ．1
答案：D 解析：122
21
i i z i i +-=
==--，则z 的共轭复数z ＝2i +，虚部为1。

2.已知实数集R ，集合{}2|log 3M x x =<，{}
2|450N x x x =-->，则()R M N =
（ ） A ．[1,8)- B ．(0,5]
C ．[1,5)-
D ．(0,8)
答案：B
解析：集合{}|08M x x =<<，{}
|51N x x x =><-或，R C N ＝{x|－1≤x ≤5}， 所以，()R M
N =(0,5]
3.已知函数2
,0,
()1,0,
x
e a x
f x x a x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩a 为实数，若(2)()f x f x -≥，则x 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,1]-∞-
C ．[1,)-+∞
D ．[1,)+∞
答案：A
解析：由题可知，函数()f x 在R 上为单调递增函数，因为(2)()f x f x -≥， 所以，2x x -≥，解得1x ≤
4.若双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的中心为O ，过C 的右顶点和右焦点分别
作垂直于x 轴的直线，交C 的渐进线于A ，B 和M ，N ，若OAB ∆与OMN ∆的面积比为1:4，则C 的渐进线方程为（ ）
A ．y x =±
B ．3y x =±
C ．2y x =±
D ．3y x =±
答案：B
解析：依题可知△AOB 与△MON 相似，由三角形面积比等于相似比的平方，得：
2214a c =，所以，2c a =，即222a b a +＝4，所以，3b a
=， 所以，C 的渐进线方程为3y x =±
5.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概
率均为2
3，且各局比赛结果相互，则在甲获得冠的情况下，比赛进行了3局的概率为（ ） A ．13 B ．25 C ．23 D ．45
答案：B
解析：甲获得冠的概率为：，
其中比赛进行了3局的概率为：，
故所求概率为：
8202
27275
÷= 6.已知P 是圆2
2
2
x y R +=上的一个动点，过点P 作曲线C 的两条互相垂直的切线，切点
分别为M ，N ，MN 的中点为E ，若曲线C ：22221(0)x y a b a b
+=>>，且222
R a b =+，
则点E 的轨迹方程为22
22
2222x y x y a b
a b
++=
+，若曲线C ：22
221x y a b -=（0a b >>），且222R a b =-，则点E 的轨迹方程为（ ）
A ．2222222
2
x y x y a b a b
+-=
-B ．2222
2222x y x y a b
a b
+-=
+． 2222
222
2
x y x y a b a b
++=-
D ． 2222222
2
x y x y a b
a b
++=
+
答案：A
解析：由于椭圆与双曲线的定义中运算互为逆运算，所以，猜想双曲线对应的点E 的轨迹方程为：
2222
222
2
x y x y a b
a b
+-=-7.72
(1)x x
+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．1- B ．1
C ．7-
D ．7
答案：D
解析：展开式：6613
71()17C x C x ⨯=，故系数为7
8.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>与直线3y x =+只有一个公共点，且椭圆的离心率
为
5
C 的方程为（ ） A ．
22
1169
x y += B ．22154x y += C ．22
195x y += D ．
22
12520
x y += 答案：B
解析：把3y x =+代入椭圆的方程，得：2222222
()69a b x a x a a b +++-＝0， 由于只有一个公共点，所以，△＝0，得22a b +＝9，
又5c a =2245
b a =，解得22
5,4a b == 9.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2
π
ϕ<）的部分图像如图所示，将
函数()y f x =的图象向左平移
43
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =在区间5,22ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的最大值是（ ）
A ．3
B ．
33
2
C ．
32
2
D ．
22
答案：C
解析：由图可知，函数()f x 的周期为24π
πω
=，所以，12
ω=
， 又点3
(
,0),(0,)32
π
-在函数图象上，所以，有
10.如图，在ABC ∆中，6AB BC ==
，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD ∆沿
BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥
的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．7πB．5πC．3πD．π
答案：A
解析：依㼵意可得该三棱锥的面PCD是边长为3的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P－BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，
由BD＝3，O1D＝1，及OB＝OD，可得OB＝
7
2
，
即外接球的半径为
7
2
，则其表面积为7π
11.运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如1121
MOD=）．下列说法正确的个数是（）
①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
解析：由程序框图知，a 表示一个数的个数，b 表示其十位数，c 表示其得位数。

12.已知函数()cos sin sin a
f x x x x x x
=-
-，(,0)(0,)x k k ππ∈-（其中k 为正整数，a R ∈，0a ≠），则()f x 的零点个数为（ ） A ．22k - B ．2k
C ．21k -
D ．与a 有关
答案：C
解析：函数()cos sin sin a
f x x x x x x
=--的零点的个数等价于方程 函数cos sin sin a
x x x x x
-=
解的个数。

设12cos sin ,sin a
y x x x y x x
=-=
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.命题“x N ∀∈，2
1x >”的否定是 ． 答案：0x N ∃∈，2
01x ≤
解析：由命题的否定就是把任意改为存在，再否定结论，所以，0x N ∃∈，2
01x ≤
14.在ABC ∆中，已知2AB =，1AC =，60A ∠=︒，D 为AB 的中点，则向量AD 在BC 上的投影为 ． 答案：3
2
-
解析：由2AB =，1AC =，60A ∠=︒可得BC ＝3，由勾股定理，知三角形ABC 为直角三角形，
且∠B ＝30°，所以，向量AD 在BC 上的投影为
＝－
32
15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23b =，
3sin (sin 3cos )sin C A A B =+，则AC 边上的高的最大值为 ．
答案：3
解析：因为sin()sin A B C +=，所以，有3sin()(sin 3cos )sin A B A A B +=+， 化简，得：3sin cos sin sin A B A B =
所以，AC 边上的高的最大值为3。

16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
答案：
163
解析：如图所示，该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体。

四棱柱的底面面积为2，高为2，四棱锥的底面面积为25，高为
25
5
， 则该几何体的体积V ＝
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列{}n a 满足222cos 2
n n a π
=+，*n N ∈，
等差数列{}n b 满足112a b =，22a b =． （Ⅰ）求n b ；
（Ⅱ）记212122n n n n n c a b a b --=+，求n c ；
（Ⅲ）求数列{}n n a b 前2n 项和2n S ．
18.将某质地均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字1,2,3，…，12．抛掷该玩具一次，记事件A ：向上的面标记的数字是完全平方数（即能写成整数的平方形式的数，如293=，9为完全平方数）．
（Ⅰ）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：
①甲抛掷该玩具一次，若事件A 发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A 没有发生，则甲得0分；
②乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分． （i ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；
（ii ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；
（Ⅱ）抛掷该玩具一次，记事件B ：向上一面的点数不超过k （112k ≤≤）．若事件A 与B 相互，试求出所有的整数k ．
19.在三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，D 为11A B 的中点．
（Ⅰ）证明：1
//AC 平面1BC D ； （Ⅱ）若11A A A C =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且BC 与平面1BC D 所成角的正
弦值为
15
5
，求三棱柱111ABC A B C -的高． 20.已知抛物线C ：2
4y x =和直线l ：1x =-．
（Ⅰ）若曲线C 上存在一点Q ，它到l 的距离与到坐标原点O 的距离相等，求Q 点的坐标； （Ⅱ）过直线l 上任一点P 作抛物线的两条切线，切点记为A ，B ，求证：直线AB 过定点．
21.已知函数1
()ln f x x ax b x
=+-+． （Ⅰ）若函数2
()()g x f x x
=+
为减函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若()0f x ≤恒成立，证明：1a b ≤-．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为cos ,
sin ,
x a y b θθ=⎧⎨
=⎩（0a b >>，θ为参数），以坐标原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为r ρ=（0r >）．
（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数； （Ⅱ）若b r a <<，求由两曲线1C 与2C 交点围成的四边形面积的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式||2x x m m --≥． （Ⅰ）当0m =时，求该不等式的解集；
（Ⅱ）当[]
2,3x ∈时，该不等式恒成立，求m 的取值范围．
理科数学答案
一、选择题
1-5:DBABB 6-10:ADBCA 11、12：CC
二、填空题
13.0x N ∃∈，2
01x ≤ 14.33 16.163
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由题意知3cos n a n π=+，当n 为奇数，2n a =；当n 为偶数，4n a =， 于是11
2
b =
，11a =，224b a ==，故数列{}n b 的公差为3， 故1(1)332n b n n =+-⋅=-．
（Ⅱ）[][]
23(21)243(2)23618n c n n n =--+-=-． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，数列{}n c 为等差数列，
故212112*********()
182
n n n n n n n n c c S a b a b a b a b c c c n --+=++++=+++=
=…． 18.解：（Ⅰ）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X ，Y ． （i ）易得X ，Y 的分布列为：
点数
1 4 9 其他 X 6
24
54
P
1
12 112 112 912
点数
1 2 … 12 Y 1
2
(12)
P
112
112 …
112
故7EX =，132
EY =
． （ii ）(6,16)(24)(54)P P X Y P X P X ==≤≤+=+=16115
1212121224
=
⨯++=
．
（Ⅱ）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有12个，事件A 包含3个基本事件（1点，4点，9点）．
记()n AB ，()n B 分别表示事件AB ，B 包含的基本事件数， 由()()()P AB P A P B =及古典概型，得
()3()
121212
n AB n B =⋅
，∴()4()n B n AB =，① 故B 事件包含的基本事件数必为4的倍数，即{}4,8,12k ∈， 当4k =时，()4n B =，{}1,4AB =，()2n AB =，不符合①， 当8k =时，()8n B =，{}1,4AB =，()2n AB =，符合①， 当12k =时，()12n B =，{}1,4,9AB =，()3n AB =，符合①， 故k 的值可能为8或12．
19.（Ⅰ）证明：连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE ．
则E 为1B C 的中点，又D 为11A B 的中点，所以1//DE A C ，且DE ⊂平面1BC D ，1AC ⊄平面1BC D ，则1
//AC 平面1BC D ． （Ⅱ）取AC 的中点O ，连接1A O ，因为点1A 在平面ABC 上的射影在AC 上，且11A A A C =， 所以1A O ⊥平面ABC ，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．
设1AO a =，又ABC ∆中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，则(3,0)B -，(1,0,0)C -，1(2,0,)C a -，33
()2D a -，所以(1,3,0)BC =-，1(0,3,)BC a =-，
113
(,22
C D =，
设(,,)n x y z =为平面1BC D 的法向量，
则11110,0,n BC n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,
13
0,2
2az x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取y a =-， 则(3,,3)n a a =-为平面1BC D 的一个法向量，
由23315
|cos ,||
|5
243
a a n BC a +<>==
+，可得3a =， 即三棱柱111ABC A B C -的高为3．
20.解：（Ⅰ）设(,)Q x y ，则2
2
2
(1)x x y +=+，即2
21y x =+，
由2
2
21,4,
y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得1(,2)2Q ±．
（Ⅱ）设过点(1,)t -的直线方程为(1)y t k x -=+（0k ≠），代入2
4y x =， 得2
4440ky y t k -++=， 由0∆=，得210k kt +-=，
特别地，当0t =时，1k =±，这是切点为(1,2)A ，(1,2)B -． 显然AB 过定点(1,0)F ，
一般地方程210k kt +-=有两个根， ∴12k k t +=-，121k k =-， ∴两切点分别为211
12(
,)A k k ，2
2212
(,)B k k ， ∴21112(
1,)FA k k =-，222
12
(1,)FB k k =-， 又2212211212
1212111(
1)(1)2(1)()0k k k k k k k k ---=+-=， ∴//FA FB ，∴AB 过点(1,0)F ， 综上，直线AB 过定点(1,0)F ．
21.解：（Ⅰ）∵21
()()ln g x f x x ax b x x
=+=+++，0x >． ∴211
'()g x a x x
=
+-，0x >． ∵()g x 为减函数，∴'()0g x ≤，即2211111
()24
a x x x ≤-=--， ∴1
4
a ≤-
． （Ⅱ）222
111
'()(0)ax x f x a x x x x
++=++=>，令21y ax x =++， 当0a ≥时，'()0f x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，不满足()0f x ≤恒成立； 当0a <时，140a ∆=->，由210ax x ++=， 得11402a x a --=
>或11402a x a -+-=<，设01142a
x a
---=，
函数()f x 在0(0,)x 上单调递增；在0(,)x +∞上单调递减． 又()0f x ≤恒成立，所以0()0f x ≤，即000
1
ln 0x ax b x +-
+≤． 由上式可得0001
ln b ax x x ≤
--，由20010ax x ++=，得020
1x a x +=-， 所以0000220000
1111
ln ln 1x a b ax x x x x x x ++≤
---=-+-+， 令0
1t x =
，0t >，2
()ln 1h t t t t =+-+， 212(21)(1)'()t t t t h t t t
+--+-==，
当01t <<时，'()0h t >，函数()h t 在(0,1)上单调递增， 当1t ≥时，'()0h t ≤，函数()h t 在(1,)+∞上单调递减，
()(1)1h t h ≤=，故1a b +≤，即1a b ≤-．
22.解：（Ⅰ）1C ：22221(0)x y a b a b
+=>>，2C ：222
x y r +=（0r >）．
当r a =或b 时，两曲线有两个公共点； 当b r a <<时，两曲线有四个公共点； 当0r b <<或r a >时，两曲线无公共点．
（Ⅱ）由于曲线1C 与曲线2C 关于x 轴、y 轴以及原点对称， 所以四边形也关于x 轴、y 轴以及原点对称， 设四边形位于第一象限的点为(cos ,sin )a b θθ，
则四边形的面积为4cos sin 2sin 22S a b ab ab θθθ=⋅=≤． 当且仅当sin 21θ=，即4
π
θ=
时，等号成立．
23.解：（Ⅰ）当0m =时，原不等式化为||20x x -≥，
等价于20,2,x x ≥⎧⎨≥⎩或20,2,
x x <⎧⎨-≥⎩解得2x ≥
所以所求的不等式的解集为{
}
|2x x ≥
．
（Ⅱ）∵[]
2,3x ∈，∴0x >，∴原不等式化为2
||m x m x
+-≥
，① 当2m ≤-，即20m +≤时，①式恒成立，所以2m ≤-； 当2m >-，即20m +>时，①式化为2m x m x +-≥
或2
m x m x
+-≤-． 化简得2
2(1)x m x -≥+，或2
2(1)x m x +≤-， ∵[]
2,3x ∈，∴10x +>，10x ->，
∴221x m x -≤+，或22
1
x m x +≥-，
又
221111x x x x -=--++，2231211x x x x +=-++--， 所以当[]2,3x ∈时，2min 22(
)13x x -=+，2max 2
()61x x +=-， 所以2
3
m ≤
或6m ≥， 所以2
23
m -<≤或6m ≥，
综上，实数m 的取值范围为2|63m m m ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭
或．。