湖南邵阳市九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试(培优提高)

一、选择题
1．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．B
解析：B
【分析】 根据两个函数图象与y 轴交于同一点可排除选项A ，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．
【详解】
解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），
∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故A 不符合题意；
当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；
当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而减小，故C 不符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．
2．已知抛物线2y x bx c =++的顶点在x 轴上，且经过点(3,)A m n -、(3,)B m n +，则n 的值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12C
解析：C
【分析】
先根据A 、B 两点的坐标可求出抛物线的对称轴，然后确定顶点坐标为(,0)m ，进而求得m 的值，最后代入即可．
【详解】
解：∵抛物线26y x x c =++经过(3,)A m n -、(3,)B m n +， ∴抛物线对称轴为直线332
m m x m -++=
=， ∵抛物线与x 轴只有一个交点，故顶点为(,0)m ， 2()y x m ∴=-．当3x m =+时，239y ==．
故答案为C ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质、运用二次函数顶点坐标与对称轴的求解等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
3．已第二次函数()2
240y ax ax a =-+->图象上三点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．132y y y <<
B ．312y y y <<
C ．123y y y <<
D ．213y y y <<B
解析：B
【分析】
把三点横坐标代入函数解析式，求出函数值，再进行比较大小即可．
【详解】
解：当x=-1时，y=-2a-a-4=-3a-4；
当x=1时，y=-2a+a-4=-a-4；
当x=2时，y=-8a+2a-4=-6a-4；
∵a ＞0
∴-6a-4＜-3a-4＜-a-4
∴312y y y <<
故选B
【点睛】
本题考查抛物线上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断y 1，y 2，y 3的大小．
4．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ）
A ．直线2x =-
B ．直线3x =
C ．直线1x =
D ．直线2x =D 解析：D
【分析】
直接利用二次函数对称轴求法得出答案．
【详解】
解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．
5．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．
A ．2148575152y x x =-
-+ B ．2148575152y x x =-++ C ．2148575152
y x x =-+ D ．2148575152y x x =++A 解析：A
【分析】
根据题意结合函数的图象，得出图中A 、B 、C 的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式即可．
【详解】 解：50.26 2.24 2.52
+==（米） 根据题意和所建立的坐标系可知，A （-5，12），B （0，52），C （52
，0）， 设排球运动路线的函数关系式为y=ax 2+bx+c ，将A 、B 、C 的坐标代入得：
125252255042a b c c a b c ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩
， 解得，1485,,75152
a b c =-=-=， ∴排球运动路线的函数关系式为2148575152
y x x =-
-+， 故选：A ．
【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数的关系式，根据题意得出图象所过点的坐标是正确解答的关键．
6．如图为二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4C
解析：C
【分析】 由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④．
【详解】
解：∵抛物线的开口向下
∴a ＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴x=2b a
-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；
由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；
由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确； 故选C ．
【点睛】
本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
7．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）
A ．①②③⑥
B ．①③④
C ．①③⑤⑥
D ．②④⑤C
解析：C
【分析】 根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0
即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确．
【详解】
解：由抛物线对称轴为直线x ＝2b a
-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确； 抛物线开口向下，与y 轴相交于正半轴，则a ＜0，c ＞0，而b ＝﹣2a ＞0，因而abc ＜0，故②错误；
方程ax 2＋bx ＋c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点
故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故③正确；
由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B （4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；
由图象可知，当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确；
因为x ＝1时，y 1有最大值，所以a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 实数），故⑥正确．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．抛物线()2
512y x =--+的顶点坐标为（ ）
A ．()1,2-
B ．()1,2
C ．()1,2-
D ．()2,1B 解析：B
【分析】
由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．
【详解】
解：∵y=-5（x-1）2+2，
∴此函数的顶点坐标是（1，2）．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．
9．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（ ）
A ．3a 1-<<-
B ．2a 1-<<
C ．1a 0-<<
D ．2a 4<<C 解析：C
【分析】
根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．
【详解】 解：二次函数2
y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9， 0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，
设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，
∴当5x =时，0y >，
即2(52)90a -+>，解得，1a >-，
a ∴的取值范围时10a -<<，
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．在平面直角坐标系中，将函数25y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的解析式是（ ）
A ．25(1)3y x =-++
B ．25(1)3y x =--+
C ．25(1)3y x =-+-
D ．25(1)3y x =---B 解析：B
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
由“左加右减”的原则可知，
抛物线25y x =-的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：()251y x =--； 由“上加下减”的原则可知，
抛物线()2
51y x =--的图象向上平移3个单位长度所得函数图象的关系式是()2
513y x =--+．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 二、填空题
11．一条抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），若点M ，N 的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P 在线段MN 上移动．点B 的横坐标的最大值为3，则点A 的横坐标的最小值为__________．-3【分析】根据顶点P 在线段MN 上移动又知点MN 的坐标分别为(-1-2)(1-2)分别求出对称轴过点M 和N 时的情况
即可判断出A 点横坐标的最小值【详解】根据题意知点B 的横坐标的最大值为3即可知当对称轴
解析：-3
【分析】
根据顶点P 在线段MN 上移动，又知点M 、N 的坐标分别为(-1，-2)、(1，-2)，分别求出对称轴过点M 和N 时的情况，即可判断出A 点横坐标的最小值．
【详解】
根据题意知，点B 的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N 点时，点B 的横坐标最大，
此时的A 点坐标为(-1，0)，
当对称轴过M 点时，点A 的横坐标最小，
此时B 点坐标为(1，0)，
此时A 点的坐标最小为(-3，0)，
故点A 的横坐标的最小值为-3，
故答案为：-3．
【点睛】
本题主要考査二次函数的综合，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点．
12．如果抛物线y =x 2﹣6x +c 的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于____．c=6或12
【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3列出方程求出解则可【详解】解：根据题意得：±3解得：c=6或12故答案为：c=6或12【点睛】本题考查了二次函数的性质熟记顶点的纵坐标公式是解题的
解析：c =6或12
【分析】
根据题意得顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解则可．
【详解】
解：根据题意得：
2
4(6)4
c --=±3， 解得：c =6或12．
故答案为：c =6或12．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟记顶点的纵坐标公式是解题的关键．
13．将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为________.y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数 的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x
解析：y=2（x+1）2-1
【分析】
利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．
【详解】
解：将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4
∴y=2（x+1）2-1.
故答案为：y=2（x+1）2-1.
【点睛】
本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
14．若抛物线256y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为
_______________．7【分析】根据抛物线y=x2-5x-6与x 轴分别交于AB 两点可以令y=0求得点AB 的坐标从而可以求得AB 的长【详解】解：∵y=x2-5x-6∴y=0时x2-5x-6=0解得x1=-1x2=6∵抛物线
解析：7
【分析】
根据抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，可以令y=0求得点A 、B 的坐标，从而可以求得AB 的长．
【详解】
解：∵y=x 2-5x-6，
∴y=0时，x 2-5x-6=0，
解得，x 1=-1，x 2=6．
∵抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，
∴点A 的坐标为(-1，0)，点B 的坐标为(6，0)，
∴AB 的长为：6-(-1)=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查抛物线与x 轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x 轴相交时，y=0．
15．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．
18【分析】先建立平面直角坐标系以直线DE 为x 轴y 轴
为经过点C 且垂直于AB 的直线设AB 与y 轴交于H 求出OC 的长然后设该抛物线的解析式为：根据条件求出解析式再令y=0求出x 的值即可得到DE 的长度
【详解
解析：18
【分析】
先建立平面直角坐标系，以直线DE 为x 轴，y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线，设AB 与y 轴交于H ，求出OC 的长，然后设该抛物线的解析式为：2
y ax k =+，根据条件求出解析式，再令y =0，求出x 的值，即可得到DE 的长度．
【详解】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，以直线DE 为x 轴，y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线，
设AB 与y 轴交于点H ，
∵AB=12，
∴AH=BH=6，
由题可知：
OH=5，CH=4，
∴OC=5+4=9，
∴B （6，5），C （0，9）
设该抛物线的解析式为：2y ax k =+，
∵顶点C （0，9），
∴抛物线29y ax =+，
代入B （6，5）
得5=36a +9，解得19
a =-， ∴抛物线解析式为2199y x =-
+， 当y=0时，21099
x =-
+， 解得x =±9，
∴E （9，0），D （-9，0），
∴OE=OD=9，
∴DE=OD+OE=9+9=18，
故答案为：18．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合应用问题，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，是一道非常典型的试题．
16．抛物线y ＝x 2+2x-3与x 轴的交点坐标为____________________．【分析】要求抛物线与x 轴的交点即令y ＝0解方程即可【详解】令y ＝0则x2+2x ﹣3＝0解得x1＝﹣3x2＝1则抛物线y ＝x2+2x ﹣3与x 轴的交点坐标是（﹣30）（10）故答案为：（﹣30）（10）
解析：()()3.0,1,0-
【分析】
要求抛物线与x 轴的交点，即令y ＝0，解方程即可．
【详解】
令y ＝0，则x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1．
则抛物线y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0）．
故答案为：（﹣3，0），（1，0）．
【点睛】
此题考察二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解即为二次函数图像与x 轴交点的横坐标．
17．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B 的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）
①②【分析】根据开口向上故；对称轴再y 轴的
的左边根据同左异右故抛物线交y 轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x 轴的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故；
解析：①②
【分析】
根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方；对称轴为1x =-，故有12b a
-=- 即2b a =，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-等信息，利用这些信息进行答题．
【详解】
解：根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方，故0c < ，因此0abc <①正确
对称轴为1x =-，故有12b a
-=- 即2b a = 故②20a b -=也正确 由抛物线知道，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==- 当当0y >时，图形上是在x 轴的上方，有1x >或者3x <- 故③错误
当x=1是，由图可以知道0a b c ++= 即2220a b c ++= 由2b a =，便有320b c += 故④错误
由图形可以知道当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故⑤错误
故答案为①②
【点睛】
本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，
18．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a +b =0；②b 2-4ac ＜0；③当y ＞0时，x 的取值范围是 -1＜x ＜3；④当 x ＞0时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有a+b≥at 2+bt ．
其中结论正确的是_________．
①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判
断【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（30）∵对称轴为x=−＝1从而可知：2a+b=0故①正确；∵抛物线与x
解析：①③⑤
【分析】
根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】
解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1，
∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（3，0）
∵对称轴为x=−2b a
＝1， 从而可知：2a+b=0，故①正确；
∵抛物线与x 轴有两个交点（-1，0），（3，0）
∴△=b 2-4ac ＞0，
而②b 2-4ac ＜0，故②错误；
由图象可知：当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，故③正确；
由图象可知：当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故④错误；
若t 为任意实数，x=1时，函数取得最大值，故a+b+c≥at 2+bt+c ，
∴a+b≥at 2+bt ，故⑤正确，
所以，结论正确的是①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点．若顶点C 到x 轴的距离为6，则线段AB 的长为______．
2【分析】先确定抛物线的解析式令得到AB 两点的坐标即可得到
结果；【详解】∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6∴化二次函数解析式为顶点式为：∴令得解得：∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 与
解析：3【分析】
先确定抛物线的解析式，令0y =，得到A ，B 两点的坐标，即可得到结果；
【详解】
∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6，
∴化二次函数解析式为顶点式为：()22
6y x h =--+， ∴令0y =，得()22
60x h --+=， 解得：13x h =+23x h =-，
∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，
∴()A h +，()B h -
，
∴(AB h h =+--=
故答案是
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键． 20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式 解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】 先把函数解析式配成顶点式得到21124
()y x =--
，然后根据顶点式即可得到顶点坐标． 【详解】 解：2211()24
y x x x =-=--， 所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．
三、解答题
21．一网店经营一种玩具，购进时的单价是30元．根据市场调查表明：当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该玩具的销售单价为x 元（40x >），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：
x 应定为多少元？
（3）若该网店要完成不少于550件的销售任务，求网店销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
解析：（1）101000x -+，210130030000x x -+-；（2）销售单价x 应定为50元或80元；（3）最大利润为8250元．
【分析】
（1）根据题意可直接进行列式求解即可；
（2）由（1）可得210x 1300x 3000010000-+-=，然后求解即可；
（3）由题意易得101000550x -+≥，然后可得4045x <≤，最后由二次函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（1）由题意得：
销售量()6001040101000y x x =--=-+；
销售玩具获得利润()()2
3010100010130030000w x x x x =--+=-+-； 故答案为101000x -+，210130030000x x -+-；
（2）由（1）及题意得：
210x 1300x 3000010000-+-=，
213040000x x -+=，
解得：1250,80x x ==，
∵40x >，
∴1250,80x x ==；
答：销售单价x 应定为50元或80元．
（3）由题意得：
101000550x -+≥，
解得：45x ≤，
∵40x >，
∴4045x <≤，
∵()2
210130030000106512250w x x x =-+-=--+， ∴100a =-<，对称轴为直线65x =，
∴当4045x <≤时，w 随x 的增大而增大，
∴当x=45时，w 有最大值，即为()2
104565122508250w =-⨯-+=； 答：销售该玩具所获最大利润为8250元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，会根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键．
22．温州某大超市计划销售一种水果，已知水果的进价为每盒9元，并且水果的销售量由售价决定．经市场调查表明，当售价在10到15元之间（含10元，15元）波动时，每盒水果的销售价格每减少1元则日销售量增加80盒，当水果售价为每盒15元时，日销售量为160盒，现设每盒水果的销售价为x 元．（每盒毛利润＝每盒售价－每盒进价）
（1）当每盒销售价为13元时，超市的当日销售量为______盒．
（2）如果规定该种水果的日均销售量不低于400盒时，设销售这种水果所获得的日毛利润为y （元），求y 关于x 的函数解析式，并求出日毛利润y 的最大值．
（3）为了提高水果的知名度，超市给当天售出的每盒苹果进行精包装，包装费每盒1元，另外从该种水果的日毛利润中提取50元作为销售员当天的额外奖励，且保证提取后日毛利润不低于750元，同时又要使顾客得到实惠，则当日水果的销售量至少是______盒．（直接写出答案）
解析：（1）320；（2）280208012240y x x =-+-；当12x =，max 1200y =；（3）
480
【分析】
（1）根据题意列式求解可得；
（2）根据“毛利润=每盒毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得；
（3）根据题意列出方程：()2
8020801224050136080750x x x -+----=，解方程可得结论．
【详解】
（1）当每盒销售价为13元时，超市的当日销售量为：
()151380160320-⨯+=(盒)，
故答案为：320；
（2）由题意得：()()80151609y x x ⎡⎤=-+-⎣⎦
228020*********(13)1280x x x =-+-=--+，
∵规定该种水果日均的销售量不低于400盒，
∴801360400x -+≥，解得：12x ≤，
∵1015x ≤≤，
∴1012x ≤≤，
∵800-<，
∴当1012x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，
∴当x=12时，y 取得最大值，最大值为1200，
答：应将售价定为每盒12元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1200元； （3）由题意得：()2
80208012240508015160x x x ⎡⎤-+----+=⎣⎦750， 整理得：2271800x x -+=，
解得：121215x x ==，，
∵要使顾客得到实惠，
∴215x =应该舍去，
当12x =时，当日水果的销售量为：()8015160480x -+=(盒)，
答：当日水果的销售量至少是480盒．
故答案为：480．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题．
23．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设每件涨价(0)x x ≥元．
（1）写出一周销售量y （件）与x （元）的函数关系式．
（2）设一周销售获得毛利润w 元，写出w 与x 的函数关系式，并确定当x 在什么取值范围内变化时，毛利润w 随x 的增大而增大．
（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得纯利润（纯利润=毛利润－经营费用）最大，超市对该商品售价为______元，最大纯利润为______元．
解析：（1）50010y x =-；（2）2104005000w x x =-++，当020x ≤≤时，毛利润w 随x 的增大而增大；（3）75，5000．
【分析】
（1）根据每件涨价x 元，每周销量就减少10x 件即可得；
（2）根据“毛利润=（每件的售价-每件的成本）⨯销售量”可得w 与x 的函数关系式，再根据二次函数的性质即可得；
（3）设一周销售获得的纯利润为Q 元，先根据纯利润的计算公式求出Q 与x 的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
（1）由题意，每件涨价x 元，每周销量就减少10x 件，
则50010y x =-；
（2）由题意得：(5040)(10)(50010)w x y x x =+-=+-，
整理得：2104005000w x x =-++，
将此二次函数的解析式化成顶点式为2
10(20)9000w x =--+，
由二次函数的性质可知，当020x ≤≤时，毛利润w 随x 的增大而增大；
（3）设一周销售获得的纯利润为Q 元，
则220%(50)1040050000.2(50)(50010)Q w x y x x x x =-+=-++-+-，
整理得：28400Q x x =-+，
即28(25)5000Q x =--+，
由二次函数的性质可知，当25x =时，Q 取得最大值，最大值为5000，
则此时该商品售价为50502575x +=+=（元），
故答案为：75，5000．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的应用、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
24．某商场新上市一款运动鞋，每双进货价为150元，投入市场后，调研表明：当销售价为200元时，平均每天能售出10双；而当销售价每降低5元时，平均每天就能多售出5双．
（1）商场要想尽快回收成本，并使这款运动鞋的销售利润平均每天均达到675元，那么这款运动鞋的销售价应定为多少元？
（2）请用配方法求：这款运动鞋的销售价定为多少元时，可使商场平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
解析：（1）商场要想尽快回收成本，这款运动鞋的销售价应定为165元；（2）这款运动鞋的销售价定为180元时，利润最大，最大利润是900元．
【分析】
（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据销售利润=一双运动鞋的利润×销售运动鞋数量，一双运动鞋的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每部的盈利×销售的数量=y ，即可列函数关系式；利用函数最值求法得出即可．
【详解】
解：（1）设这款运动鞋的销售价应定为x 元. 200(150)(105)6755
x x --+⨯= 解得：x 1=195，x 2=165
因为商场想尽快回收成本，所以定价应为165元；
（2）200(150)(105)5
x y x -=-+⨯ 2(180)900x =--+
∴当定价为180元时，获利最多，最大利润为900元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，本题关键是找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的顶点A 与原点重合，顶点
B 在x 轴的正半轴上，点D 在y 轴的正半轴上．抛物线2y x bx c =-++经过点B 与点
D ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将正方形ABCD 向左平移m 个单位（0m >），边AD 与BC 分别与（1）中的二次
函数图像交于P 、Q ，若点Q 纵坐标是点P 纵坐标的2倍，求m 的值．
解析：（1）22y x x =-++；（2 【分析】
（1）由题意可知点B 、D 的坐标分别为（2，0），（0，2），利用待定系数法即可求得二次函数关系式；
（2）先分别表示出点P 、Q 的横坐标，进而可表示出它们的纵坐标，再根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可知点B 、D 的坐标分别为（2，0），（0，2），
将（2，0），（0，2）代入2y x bx c =-++，得 4202b c c -++=⎧⎨=⎩
解得12b c =⎧⎨=⎩
∴二次函数的表达式为22y x x =-++；
（2）∵正方形ABCD 向左平移m 个单位（0m >），边AD 与BC 分别与（1）中的二次函数图像交于P 、Q ，
∴点P 的横坐标为-m ，点Q 的横坐标为2-m ，
当x=-m 时，2
2y m m =--+，
当x=2-m 时，2(2)22y m m +=---+ 23m m =-
∵点Q 纵坐标是点P 纵坐标的2倍，
∴2232(2)m m m m -=--+
解得152m -=，252
m -=（舍去）
∴m 的值为
52-+． 【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，正方形的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键．
26．已知二次函数y ＝﹣x 2+4x +5，完成下列各题：
（1）求出该函数的顶点坐标．
（2）求出它的图象与x 轴的交点坐标．
（3）直接写出：当x 为何值时，y ＞0．
解析：（1）（2，9）；（2）（5，0）、（﹣1，0）；（3）当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．
【分析】
（1）由y=-x 2+4x+5=-（x-2）2+9即可求解；
（2）令y=-x 2+4x+5=0，解得x=5或-1，即可求解；
（3）a=-1＜0，则抛物线开口向下，即可求解．
【详解】
解：（1）y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，
则抛物线的顶点坐标为（2，9）；
（2）令y ＝﹣x 2+4x +5＝0，
∴()-5(1
=0x x ++） 解得x ＝5或﹣1，
故图象与x 轴的交点坐标为（5，0）、（﹣1，0）；
（3）∵a ＝﹣1＜0，
故抛物线开口向下，
故当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．
【点睛】
【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
27．如图，二次函数2y x bx c =-++与x 轴交于点B 和点()1,0A -，与y 轴交于点()0,4C ，与一次函数y x a =+交于点A 和点D ．
（1）求出a 、b 、c 的值；
（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E ，可使得EAD 面积最大，求点E 的坐标； （3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d ，求d 的最小值及此时点F 的坐标．
解析：（1）1a =，3b =，4c =；（2）()1,6；（3）最小值为5，F 点的坐标为()1,2
【分析】
（1）将()1,0A -与()0,4C
分别代入二次函数2y x bx c =-++和一次函数y x a =+求解
即可；
（2）过点E 作x 轴的垂线1，交x 轴于点G ，交AD 于点H ，过点D 作l 的垂线，垂足为T ，由（1）可设点()
2,34E m m m -++，则点H 的坐标为(),1m m +，然后根据割补法进行求解面积即可；
（3）过A 作y 轴的平行线AS ，过F 作FG y ⊥轴交AS 于点M ，过F 作FN x ⊥轴于N ，由题意易得45DAB ∠=︒，则可证FM FN =，进而可得当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，然后问题可求解．
【详解】
（1）解：将()1,0A -与()0,4C
分别代入二次函数2y x bx c =-++，
得()2104b c c ⎧---+=⎪⎨=⎪⎩ ， 解得34b c =⎧⎨=⎩
； 将点()1,0A -代入一次函数y x a =+，
得10a -+=，解得1a =，
∴1a =，3b =，4c =；
（2）解：由（1）所求的a ，b ，c 的值可得一次函数的解析式为：1y x =+，抛物线的解析式为：2
34y x x =-++，
联立1y x =+与234y x x =-++得2134y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩ ∴点D 的坐标为：()3,4，设点()
2,34E m m m -++， 过点E 作x 轴的垂线1，交x 轴于点G ，交AD 于点H ，则点H 的坐标为(),1m m +，
过点D 作l 的垂线，垂足为T ；
∴223EH m m =-++，4=AD ， ∴()11112222
AED AEH HED S S S EH AG EH DT EH AG DT =+=⨯+⨯=+=△△△ ()()223414218m m m m -++--⨯=--+，
当1m =时，最大值为8，此时点E 的坐标为()1,6；。