辽宁东北育才双语学校数列多选题试题含答案

辽宁东北育才双语学校数列多选题试题含答案
一、数列多选题
1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第(
)*
n n ∈N
次得到数列1，
123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++
++，数列{}n a 的前n 项为n S ，
则（ ） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2
332
n a n n =
+
D ．()1
33234
n n S n +=
+- 【答案】ABD 【分析】
根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】
由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,
,,,k x x x x ，2 此时21n k =-
所以12n k +=，故A 项正确；
结合A 项中列出的数列可得： 12
3433339339273392781
a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩
123333(*)n n a n N ⇒=+++
+∈
用等比数列求和可得(
)33132
n n a -=+
则 (
)12
1
331
3
3332
2
n n n a
+++--=+
=+2
3
3
22
n +=+ 又 (
)331
333339
2n n a ⎡⎤
-⎢⎥-=+
-=⎢⎥⎣
⎦
22393332222
n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；
由B 项分析可知(
)()
3313
3312
2
n n
n a -=+=+
即()
2
332
n a n n ≠
+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++
23
1
333322
22n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()
23133132
2
n
n --=
+ 2339424n n +=+-()
133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若831a =，10210S =，则（ ） A ．19919S a = B ．数列{}22n
a 是公比为8的等比数列
C ．若()1n
n
n
b a =-⋅，则数列{}n b 的前2020项和为4040
D ．若11n n n b a a +=
，则数列{}n b 的前2020项和为2020
24249
【答案】CD 【分析】
由等差数列性质可判断A ；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及22n a ，结合等比数列的定义可判断B ；写出n b ，由定义写出2020T 的表达式，进行分组求和即可判断C ；11144143n b n n ⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，裂项相消即可求和.
【详解】
由等差数列的性质可知，191019S a =，故A 错误；设{}n a 的公差为d ，则有
81101731
1045210
a a d S a d =+=⎧⎨
=+=⎩，解得13a =，4d =，故41n a n =-，28122n
a n -=， 则数列{}22
n
a 是公比为82的等比数列，故B 错误；若()
()()1141n
n
n
n b a n =-⋅=-⋅-，
则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=，故C 正确；
若()()1
111414344143n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，则{}n b 的前2020项和
2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=
⎪⎝⎭，故D 正确． 故选:CD ． 【点睛】 方法点睛:
求数列的前n 项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列±等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列⨯等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.
3．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ） A ．数列{}n a 是等差数列 B ．12n n a
C ．22222123
21
3
n n
a a a a -++++= D ．
122334
1
1111
1n n b b b b b b b b +++++
< 【答案】BCD 【分析】
利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】
对任意的n *∈N ，21n n S a =-.
当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =； 当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-， 上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，
所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11
122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B
选项正确；
()
2
211
2
4
n n n
a --==，所以，2222123
1441
143
n
n n a a a a --==
-+++
+，C 选项正确； 212log log 2n n n b a n +===，
()11111
11
n n b b n n n n +==-++， 所以，
122334
1111
111111
11111122334
11
n n b b b b b b b b n n n +++++
=-+-+-++
-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d = C ．()261n S n n =+ D ．数列11n n a a +⎧
⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前n 项和为64n
n + 【答案】BCD 【分析】
根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、
C ，
再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】
因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，
对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；
对于选项C ：()()
2222132612
n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以前n 项和为1111111
1132558811
3132n n ⎛⎫
-+-+-++
-
⎪-+⎝⎭
()611132322324
n n n n n ⎛⎫=-== ⎪
++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于
同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
5．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．1q =
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
【答案】BC 【分析】 计算可得2q
，故选项A 错误；
8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；
lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.
【详解】
∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴
231423
32,
12,a a a a a a ==⎧⎨
+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或23
8,
4a a =⎧⎨=⎩，
∵{}n a 为递增数列，
∴234,
8
a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，21
2a a q ==，故选项A 错误； ∴2n
n a =，(
)1
2122
212
n
n n
S +⨯-==--，
∴9822510S =-=，1
22n n S ++=，
∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg n
n n a ==⋅，
∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.
故选：BC. 【点睛】
方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝
，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2
920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】AB 【分析】
利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到
12n n
a ，进而得到n
b ；利用1
0n
n
b b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的
取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】
当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=
21n n S a ∴=-
当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-
1
122n n n
n n a S S a a ，即：12n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
12n n
a
2
920n n a b n n =-+-，21
920
2n n n n b --+-∴=
()()2
2211191209201128
0222
n n n n n
n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()2
1128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<
又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．
7．将()2
3n
n ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：
11a 12a 13a ……1n a
21a 22a 23a ……2n a 31a 32a 33a ……3n a
……
1n a 2n a 3n a ……nn a
该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为
S .下列结论正确的有（ ）
A ．2m =
B ．7
67132a =⨯
C ．()1
212
j ij a i -=+⨯
D ．()()
221n
S n n =+-
【答案】ACD 【分析】
由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D. 【详解】
由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或1
3
m =-（舍去），A 正确；
()666735132a m m =+=⨯，B 错误；
()()11
2132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确；
()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++
1121(12)
(12)(12)121212
n n n nn a a a ---=++
+
--- ()()()11211332(1)21212n n
n n a a a n ++-⎛⎫=++
+-=⨯- ⎪⎝⎭
()()221n n n =+-，D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ） A ．2
n S n =
B ．
1223101111120
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=
C ．11k =
D ．21n a n =-
【答案】ACD 【分析】
先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得
,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310*********
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】
依题意，95981S a ==，解得59a =； 而713a =，故75
275
a a d -=
=-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2
n S n =，故D 、A 正确：
因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，
故()2
2
3171617k S S S S a =-=，
则22933k =，解得11k =，故C 正确； 而
1223101111110
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ． 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和； （2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；
（3）利用裂项相消法，对12231011
111
a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.
二、平面向量多选题
9．下列命题中真命题的是（ ）
A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）
B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则
3
π
＜θ≤π
C ．A 、B 、C 、
D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形
D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】
对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】
对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即1
2
a b ⋅＜，又
1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3
π
＜θ≤π，即B 正确.
对于C ：
()()
22
0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，
0||
BC BD cosB BC BD ⋅=
⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所
以C 正确.
对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.
10．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥
C ．//FG BC
D ．FG EF ⊥
【答案】ABD 【分析】
取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】
如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底， 则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111
()33233
PG PH a b a b =
=⨯+=+， 1121111
,3333333
EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，
1111
3333
FG PG PF a b b a =-=+-=，
11
21133
333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，
∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；
0FG EF ⋅=，D 正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.。