12【精品讲义】高中数学 必修五_三角形中的几何计算_知识点讲解+巩固练习(含答案)提高

三角形中的几何计算
【学习目标】
1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；
2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识. 【要点梳理】
要点一：正弦定理和余弦定理的概念
①正弦定理公式：
②余弦定理公式：
第一形式：
第二形式：
要点二：三角形的面积公式
要点三：利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.
在ABC
∆中，已知,a b和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：
sin
sin()
sin()
()
a b A
a b A
b A a b
a b
<
=
<<
≥
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
无解
一解直角
二解一锐，一钝
一解锐角
sin
a b A
=a b
≥sin
b A a b
<<sin
a b A
<一解一解两解无解
②若A为直角或钝角时：
()
a b
a b
≤
>
⎧
⎨
⎩
无解
一解锐角
要点四：三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：222
a b c
+=，
互余关系：0
90
A B
+=，cos0
C=，sin1
C=；
（2）等腰三角形：a b
=，A B
=；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角A的余弦值的符号）
（1）在ABC
∆中，
222
00222
090cos0
2
b c a
A A b c a
bc
+-
<<⇔=>⇔+>；
（2）在ABC
∆中，
222
0222
90cos0
2
b c a
A A b c a
bc
+-
=⇔==⇔+=；
（3）在ABC ∆中，222
22290cos 02b c a A A b c a bc
+-<⇔=<⇔+<.
要点五：解三角形时的常用结论 在ABC ∆中，0180A B C ++=，
0902
A B C
++= （1）在ABC ∆中sin sin cos cos A B a b A B A B >⇔>⇔>⇔<； （2）互补关系：
（3）互余关系：
【典型例题】
类型一：利用正、余弦定理解三角形
例1. ABC ∆
中，=c 452A a =︒=，，求b B C 和，.
【思路点拨】本题已知边边角，用正弦定理比较简单，但要注意结合三角形中大边对大角定理以及有解、无解的图形来考虑.
【解析】
解法一 ：正弦定理
由
sin sin sin sin a c A C =︒得245 若60C =︒，则75B =︒
，2
sin sin 751,sin sin 45a b B A =
=︒︒
若
120C =︒，则15B =︒，2sin sin15 1.sin sin 45a b B A ==︒︒
解法二：余弦定理
22222cos 641,a b c bc A b b =+-=+-==，解得
若
1b =，则222cos 2a c b B ac +-==
，所以7560B C =︒=︒，.
若
1b =，则222cos 2a c b B ac +-==
，所以15120B C =︒=︒，. 解法三：正余弦定理
22222cos 64a b c bc A b =+-=+-=，解得1b =.
若
1b =，由
sin sin sin a b c
A B C
==
，得sin B C = ∵b c a >>，所以B C A >>，所以7560B C =︒=︒， B=75°，C=60°；
若
1b =，由
sin sin sin a b c
A B C
==
，得sin B C =. ∵c a b >>，所以C A B >>，所以15120B C =︒=︒，.
【总结升华】
①解三角形时，对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路.但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论.
②解三角形时，要留意三角形内角和为180°、同一个三角形中大边对大角等性质的应用. 举一反三：
【变式1】在
ABC ∆中，若2a =，b =，c =A 和sin C ．
【答案】根据余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=== ∵0180A <<， ∴30A =，sin 30(6sin c A C a =
==
.
【变式2】ABC ∆中，1,30a b A ==∠=︒，求边c 的值.
【答案】解法一：利用正弦定理
sin sin a b
A B
=
得sin B ， ∴60B =︒或120︒，90C =︒或30C =︒， ∴sin 1C =或1
sin ,2
C =
由
sin sin a c
A C
=
，得2c =或1c =. 解法二：利用余弦定理列方程
222
222cos (2cos )()0,2b c a A c b A c b a bc
+-=⇒-+-=
即得到关于c 的一元二次方程，解方程得到2c =或1c =. 例2．锐角 ABC ∆中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边. （1）若()()(),a c a c b b c +-=-求A ∠的大小
（2）函数22sin sin(2)6
y B B π
=++取最大值时，求B ∠的大小.
【思路点拨】在（1）中，将所给边的关系式化简变形后，根据结构形式可判断出应该用余弦定理.
【解析】
（1）∵()()(),a c a c b b c +-=-， ∴222.b c a bc +-=，
故由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-==
∵A 是锐角三角形的内角，所以02
A π
<<
∴3
A π
=
.
（2）22sin sin(2)6
y B B π
=++=1cos2sin 2cos cos2sin 6
6
B B B ππ
-++
11cos 221sin(2)26
B B B π
=-=+-
当且仅当3
B π
=时取等号
∴3
B π
=
【总结升华】对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性或二次函数的知识解决问题
举一反三：
【变式】在ABC ∆中，三内角满足的方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-= 有两个相等的根. （1）求证：角B 不大于
3
π
（2）当角B 取最大值时，判断ABC ∆的形状 【答案】
（1）由韦达定理得
sin sin 1,sin sin C B
B A
-=-即2sin sin sin B A C =+，
由正弦定理，有2b=a+c 由余弦定理得222
2
2
2
22)(
)
3()26212cos 22882
a c a c a c b
a c ac ac ac B ac
ac ac ac ++-+-+--==
==
≥，
∴03
B π
<≤
.
（2）当角B 取最大值时，3
B π
=，且a c =，易知ABC ∆为正三角形.
类型二：正、余弦定理的综合应用
例3．已知ABC ∆中，689a b c ===，，，试判断此三角形的形状.
【思路点拨】已知三边判断三角形的形状，通常先用勾股定理判断是否为直角三角形，斜三角形再用余弦定理判断最大边所对角的余弦值的符号.
【解析】因为a b c <<，所以A B C <<，
又22219
cos 0296
a b c C ab +-==>，
所以2
C <
π 所以三角形是锐角三角形. 【总结升华】
余弦定理用于判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）：
（1）在ABC ∆中，222
222090cos 02b c a A A b c a bc
+-<<⇔=>⇔+>；
（2）在ABC ∆中，222
22290cos 02b c a A A b c a bc
+-=⇔==⇔+=；
（3）在ABC ∆中，222
22290cos 02b c a A A b c a bc
+-<⇔=<⇔+<.
举一反三：
【变式】ABC ∆的三边若满足下列条件，试判断三角形的形状： (1)6810a b c ===，，； (2) 6811.a b c ===，， 【答案】
（1）因为2222226810010a b c +=+===，所以三角形为直角三角形.
（2）因为a b c <<，所以A B C <<，
又22221
cos 0296
a b c C ab +-==-<，所以2C >π，
所以三角形是钝角三角形.
例4.在△ABC 中满足2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-，判断三角形形状.
【思路点拨】题目中给的是角与边的混合关系式，可用正弦定理化简成单一的角的关系，然后判断.
【解析】
∵2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-， ∴222sin cos 2sin cos a B A b A B =，
由正弦定理得：22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =， ∵ABC ∆中，sin 0A ≠， sin 0B ≠， ∴sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =， ∴22A B =或22A B π=-，即：A B =或2
A B π
+=，
∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形. 【总结升华】
（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？
（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断.
（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角.
（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可.一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理.
（5）sin sin αβαβαπβ=⇒==-或，不要丢解. 举一反三：
【变式】已知ABC ∆满足cos cos a A b B =，试判断ABC ∆的形状. 【答案】
方法一：用余弦定理化角为边的关系
由cos cos a A b B =得222222
22b c a a c b a b bc ac
+-+-⋅=⋅
， 整理得22222222()()a b c a b a c b +-=+-， 即22222()()0a b a b c -+-=，
当220a b -=时，ABC ∆为等腰三角形；
当2220a b c +-=即222a b c +=时，则ABC ∆为直角三角形； 综上：ABC ∆为等腰三角形或直角三角形. 方法二：用正弦定理化边为角的关系
由正弦定理得：
2sin sin a b R A B
==， 即2sin a R A =，2sin b R B =. ∵cos cos a A b B =，
∴2sin cos 2sin cos R A A R B B =， 即sin2sin2A B =. ∵0A B π∈、（，）
， ∴22A B =或22A B π+=，即A B =或2
A B π
+=.
故ABC ∆为等腰三角形或直角三角形.
【高清课堂：正余弦定理在解三角形中的应用 377477 例1】 例5．在
ABC ∆中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，tan C =（1）求cos C ；
（2）若52
CB CA ⋅=，且9a b +=，求边c . 【解析】
（1）∵
tan C =∴
sin cos C
C
= 又∵22sin cos 1C C +=，解得1cos 8
C =±. ∵tan 0,C >∴C 是锐角，1cos 8
C =. （2）∵5,2
CB CA ⋅=∴5cos 2
ab C =，∴20ab =.
又∵9a b +=，∴22281a ab b ++=，∴2241a b +=. ∴2222cos 36c a b ab C =+-=，
∴6c =.
【总结升华】本题中应注意整体代换思想及向量的夹角问题 举一反三：
【变式】在ABC ∆中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，设a b c ，，满足条件222b c bc a +-=和
1
2
c b =A 和tan B 的值. 【答案】利用余弦定理可求3
A =π
，利用正弦定理可求tan B =12
.
【巩固练习】 一、选择题
1．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c ，，. 若2b ac ＝，且2c a ＝，则cos B 等于( )
A.1
4
B.
34
2．在ABC ∆中， 1201ABC
A b S ＝，＝，＝︒A 的对边的长为( )
B. C. D.
3. 在ABC ∆中，60A =， 1b =，ABC S ∆=，则sin sin sin a b c
A B C
++++等于 ( )
A ．
B C D ．4. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A ．090
B ．0120
C ．0135
D ．0150 5．ABC ∆中，三边a b c ，，与面积S 的关系式为2221()4
S a b c =+-，则C =（ ） A 、030 B 、045 C 、060 D 、090
6. 在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a b c >>，222a b c <+，则角A 的取值范围为( )
A.(,)2
π
π B.(,)42
ππ
C.(,)32
ππ
D.(0,)2
π
二、填空题
7. 锐角
ABC ∆的面积为BC ＝4，CA ＝3，则AB ＝________.
8. 在ABC ∆中，三边a b c ，，与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为________．
9. ABC ∆中三边分别为a b c ，，，且222,4
ABC
a b c S ∆+-=那么角C=
10．
ABC ∆中三边分别为a b c ，，，若2,sin cos a b B B ==+=则角A 的大小_______． 11．在ABC ∆中，三边a b c ，，与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为________． 三、解答题
12. 已知ABC ∆的三角内角A 、B 、C 有2B A C =+，三边a 、b 、c 满足2b ac =，
求证：a c =.
13. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，，且满足cos 2
A
=
，3AB AC ⋅=. (1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．
14．在ABC ∆中，a ＋b ＝10，cos C 的值是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求三角形周长的最小值．
15. 如果
ABC ∆内接于半径为R 的圆，且222(sin sin ))sin ,R A C b B -=-求ABC ∆的面积的最大值.
【答案与解析】 1. 答案： A
解析： 由余弦定理得
2221
cos 24
a c
b B a
c +-==
2. 答案： C
解析： 由S
△ABC ＝12
bc sin A ＝12
×1×c ·sin 120° ∴c ＝4
由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ∴a 2＝12＋42－2×1×4cos 120°＝21
∴a ＝ C. 3. 答案： B ；
解析：∵60A =， 1b =，1
sin 2
ABC S bc A ∆== ∴4c =
由余弦定理有2222cos 13a b c bc A =+-=， ∴a
由正弦定理有2sin a R A =
=2sin sin sin a b c
R A B C
===
，
∴
239
2sin sin sin a b c R A B C ++==
++. 4. 答案：B
解析： 设中间角为θ，则22200005871cos ,60,180601202582
θθ+-===-=⨯⨯为所求
5. 答案： B ；
解析：∵ 22211sin ()2
4
ABC S ab C a b c ∆==+-，∴2222sin ab C a b c =+-，
即222
sin cos 2a b c C C ab
+-==， ∴tan 1C = ， 故045C =
6. 答案： C ；
解析：∵a b c >>，∴A B C >>，∴3A B C A π=++<，即3
A π
>
，
又∵2
2
2
a b c <+， ∴222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2A π<
故(,)32
A ππ
∈
7. 答案： 13
解析： 由三角形面积公式得
12×3×4·sin C ＝33，sin C ＝3
.
又∵△ABC 为锐角三角形 ∴C ＝60°. 根据余弦定理
AB 2＝16＋9－2×4×3×12
＝13. AB ＝13. 8. 答案： 45°
解析： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又已知a 2＋4S ＝b 2＋c 2，故S ＝1
2
bc cos A ＝12
bc sin A ，从而sin A ＝cos A ，tan A ＝1，A ＝45°.
9. 答案：45o 解析：∵2221
sin ,42
ABC
a b c S ab C ∆+-==
∴222sin ,2a b c C ab
+-=即cos sin C C =
∴045C =
10. 答案：6
π 解析：由
sin cos B B += 可得 sin()1,4
B π
+=
∴4B π=
，由正弦定理得：sin 1sin 2
a B A
b == 又∵,,6
a b A B A π
<∴<∴=
11. 答案： 45°
解析： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又已知a 2＋4S ＝b 2＋c 2，故S ＝12bc cos A ＝12
bc sin A ，从而sin A ＝cos A ，tan A ＝1，A ＝45°.
12. 解析：
∵2B A C =+且0180A B C ++=，∴060B =，0120A C +=， ∵2b ac =， ∴2sin sin sin B A C =⋅，即3sin sin 4
A C ⋅=，
又∵0120A C +=， ∴ 1cos()cos cos sin sin 2
A C A C A C +=-=-， 即 1cos cos 4
A C =，
∴13cos()cos cos sin sin 144
A C A C A C -=+=+=， ∵ 00180180A C -<-<， ∴0A C -=，即A C =， 故a c =. 13.解析：
(1)∵cos 2
A ， ∴cos A ＝2cos
2
2
A －1＝35，sin A ＝45
， 又由3AB AC ⋅=，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5， ∴S △ABC ＝1
2
bc sin A ＝2.
(2)由(1)得bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝
14.解析： 设三角形的另一边是c ， 方程2x 2－3x －2＝0的根是x ＝－12
或x ＝2. ∵cos C ≤1，∴cos C ＝－12
. 由余弦定理得
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2ab 1
()2
-＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a ·(10－a )＝100＋a 2－10a ＝75＋(a －5)2. 要使三角形的周长最小，只要c 最小． ∴当a ＝5时，c 2最小，
∴c 最小，c
的最小值是
∴三角形周长的最小值是10
＋15.
解析：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ⋅-⋅=-
222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=---
2222
2
2
0,cos 452a b c a b c C C ab +-+-====
2222,2sin ,2,sin c
R c R C a b R C
==+-=
2222
22,R a b ab ab =+≥≤
2
1sin 2S ab C ==
2max S
另法：1
sin 2sin 2sin 2S ab C R A R B ==
=⨯
22sin 2sin sin sin R A R B A B =
⨯
21
[cos()cos()]2
A B A B =⨯⨯--+
21[cos()2(1A B =⨯⨯-≤
2
max S ∴=
此时A B =取得等号。