河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试卷 Word版含解析

高三数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则集合可以为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解集合A,对照选项即可求解
【详解】因为，所以当时，
故选：C
【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力与推理论证能力，是基础题
2.在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如下：
有此表估计这名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.
【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3
故选：C
【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.
4.若函数有最大值，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.
【详解】由题,单调递增，故
单调递减，故,因为函数存在最大值，所以
解.
故选：B.
【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.
5.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系设抛物线，点
在抛物线上求出P即可
【详解】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.
故选：D
【点睛】本题考查抛物线的标准方程及其基本性质，考查抽象概括能力与建模的数学思想，是基础题
6.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为
A. 32
B. 40
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将三视图还原，即可求组合体体积
【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为
4，则体积为，利用张衡的结论可得
故选：C
【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题
7.已知函数，则下列判断错误的是（）
A. 为偶函数
B. 的图像关于直线对称
C. 的值域为
D. 的图像关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
化简f（x）＝1+2cos4x后，根据函数的性质可得．
【详解】f（x）＝1+cos（4x）sin（4x）＝1+2sin（4x）＝1+2cos4x，f（x）为偶函数，A正确；
4x得,当k=0时，B正确；
因为2cos4x的值域为，C正确；
故D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题
8.如图，在直角坐标系中，边长为的正方形的两个顶点在坐标轴上，点分别
在线段上运动，设，函数，则与的图像为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题，将向量坐标化即可求解f(x)和g(x)的表达式，对照选项即可判断
【详解】由已知得，则，所以
，由图知A正确
故选.
【点睛】本题考查函数的图像的应用，考查向量坐标运算，准确计算向量坐标是关键,是基础题
9.已知，设满足约束条件的最大值与最小值的比值为，则（）
A. 为定值
B. 不是定值，且
C. 为定值
D. 不是定值，且
【答案】C
【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为3求得实数m的值．. 【详解】画出m＞0，x，y满足约束条件的可行域如图：
当直线z＝x+y经过点A（2，m+4），z取得最大值，当直线经过B（﹣1，﹣2）时，z 取得最小值，故k2为定值．
故选：C．
【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
10.设为等差数列的前项和，若，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可.
【详解】∵解得
∴设
当0<x<7时，当x>7时，,故的最小值为f(7)=-343.
【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.
11.过点引曲线的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设切点坐标为，求出切线方程，进一步求出切点横坐标，由
，解a即可
【详解】设切点坐标为，，即
.
解得或，，即.
故.
故选：B
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查数形结合以及化归与转化的数学思想,熟记切线方程的求法，准确转化是关键，是中档题
12.正方体的棱上(除去棱AD)到直线与的距离相等的点有个，记这
个点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面EFG所成角的正弦值．
【详解】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），
假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则E（1，2，0），F（，2，2），G（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），∴（），（），（﹣2，2，2），
设平面EFG的法向量（x，y，z），
则，即，取x＝4，得（4，﹣3，﹣1）．
设直线AC1与平面EFG所成角为θ，
则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为sinθ＝|cos|．
故选：D．
【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题：本大题共4个小题，把答案填在答题卡中的横线上.
13.的展开式的第项为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由二项式定理的通项公式求解即可
【详解】由题展开式的第2项为
【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.
14.若函数则_____．
【答案】6
【解析】
【分析】
确定,再由对数的运算性质代入求值即可
【详解】由题
-
故答案为6
【点睛】本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题.
15.若存在等比数列，使得，则公比的取值范围为___．
【答案】
【解析】
【分析】
由题得，看做关于的方程，讨论二次项系数：当时
满足题意，当时，方程有解，利用判别式得q的不等式，解不等式即可求解
【详解】，
，.当时，易知满足题意，但；当时，，解得，综上，
.
故答案为
【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的数学思想以及运算求解能力，注意转化为的方程是关键，注意等比数列公比q≠0,是易错题
16.已知分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限.记直线
的斜率分别为，当取得最小值时，的垂心到轴的距离为______．
【解析】
【分析】
易证，利用基本不等式求解取最小值时，进而得的方程为
，与双曲线联立解得的坐标为由，得=0，向量坐标化解得y即可
【详解】易证，则，当且仅当，即
时，等号成立，此时直线的方程为，与联立，得，解得或（舍去），则的坐标为，设的垂心的坐标为，由，得，解得，则到轴的距离为.
故答案为2
【点睛】本题考查双曲线的综合，考察抽象概括能力与运算求解能力，掌握双曲线的常见二级结论，转化垂心为垂直关系是关键，是中档题
三、解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在中，.
证明：为等腰三角形.
若的面积为，为边上一点，且求线段的长.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
由正弦定理得，由得，利用余弦定理求得b=c即可证明；由
的面积求a,设，在中运用余弦定理求得x，即为所求
【详解】（1）证明：，
，
设的内角的对边分别为，，，
由余弦定理可得
即，则为等腰三角形.
（2），
则的面积
解得.
设，则，由余弦定理可得，
解得（负根舍去），从而线段的长为.
【点睛】本题考查正余弦定理，同角三角函数基本关系，证明三角形形状，熟练运用定理及三角公式，准确计算是关键，是中档题
18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为.
甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；
某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？
【答案】（1）；（2）选择方案①更划算．
【解析】
【分析】
（1）利用对立事件概率公式即可得到结果；
（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．得到相应的分布列及期望值，计算两种方案购买总价的数学期望从而作出判断.
【详解】(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24，
所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76．
(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．
X的分布列为
则EX＝184×0.6+188×0.4＝185.6．
若选择方案②，则购买总价的数学期望为185.6×650＝120640元．
若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，
从而购买总价为200×600＝120000元．
因为120640>120000，所以选择方案①更划算．
评分细则：
第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.6×0.4+0.42+0.62＝0.76同样得分；
第(2)问中，在方案②直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析过程作如下相应的调整：
设在折扣优惠中购买总价为X元，则X＝184×650或188×650．
X的分布列为
则EX＝184×650×0.6+188×650×0.4＝120640．
【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，概率的计算，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
19.如图，在多面体中，四边形为正方形，，，.
（1）证明：平面平面.
（2）若平面，二面角为，三棱锥的外接球的球心为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
证明平面即可证明平面平面（2）由题确定二面角的平面角为，进而推出为线段的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系由空间向量的线面角公式求解即可
【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，
所以，
又，，
所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知平面，又，则平面，从而，
又，所以二面角的平面角为.
以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，.
因为三棱锥的外接球的球心为，所以为线段的中点，
则的坐标为，.
设平面的法向量为，则，
即令，得.
易知平面的一个法向量为，
则.
由图可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查面面垂直的判定，空间向量计算线面角，第二问确定球心O的位置是关键，是中档题.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为为上的一个动点，且的最大值为，的离心率与椭圆的离心率相等.
求的方程；
直线与交于两点（在轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值.
【答案】(1) (2)2
【解析】
【分析】
依题意可知解得a,c即可延长交于点，由可知
，设，设的方程为，与椭圆联立得
，①设与的距离为，转化S为，进一步列出
，将①的韦达定理代入得面积表达式
，利用基本不等式求最值即可
【详解】依题意可知
解得
则，故的方程为.
延长交于点，由可知，
设，设的方程为，
由得，
故
设与的距离为，则四边形的面积为S，
当且仅当，即时，等号成立，
故四边形面积的最大值为.
【点睛】本题考查椭圆的综合，考察直线与椭圆的位置关系，面积公式，转化与化归思想，第二问利用椭圆对称性，将面积转化是关键，是中档题
21.已知函数的导函数满足对恒成立.
判断函数在上的单调性，并说明理由.
若，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增；（2）.
【解析】
【分析】
（1）对求导利用已知条件即可判断单调性；（2）将代入条件，
转化为恒陈立，求，讨论的正负求解即可
【详解】（1）由，，得.
，
则，
故在上单调递增.
（2）∵，∴，
即.
设函数，
，
∵，∴，为增函数，
则.
当，即时，，则在上单调递增，
从而.
当，即时，则，，
若，；若，.
从而，这与对恒成立矛盾，故不合题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】本题考查导数与函数的单调性问题，不等式恒成立问题，明确第二问分类讨论的标准是关键，是中档题.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为
若与相交于两点，，求；
圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径
【答案】（1）6；（2）13.
【解析】
【分析】
（1）将代入,利用t的几何意义及韦达定理即可求解；（2）化直
线和圆为普通方程，利用圆的弦长公式求得半径
【详解】（1）由，得，
将代入，得，
则，
故.
（2）直线的普通方程为，
设圆的方程为.
圆心到直线的距离为，
因为，所以，
解得（舍去），
则圆的半径为13.
【点睛】本题考查直线参数方程，圆的弦长公式，熟练运用直线与圆的位置关系，准确计算是关键，是中档题.
23.[选修4-5：不等式选讲]
设函数
求不等式的解集；
证明：
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（2）零点分段分情况证明再由绝对值不等式证明即可
【详解】（1）∵，∴，即，
当时，显然不合；
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，不等式的解集为.
（2）证明：当时，；
当时，，
则；
当时，，
则.
∵，∴.
∵，∴.
故.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题。