江苏省泰兴中学2015-2016学年高二数学高考假期作业2 含答案

江苏省泰兴中学高二数学（理）假期作业（2)
完成时间：2016年6月7日 班级： 姓名： 家长签名: 一 填空题
1．已知二项分布X ～)3
2,6(B ，则==)2(X P （用最简分数作答)
2．设异面直线1
2
,l l 的方向向量分别为(1,1,0),(1,0,1)a b =-=-，则异面直线1
2
,l l
所成角的大小为 。

3．有6件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为 ．
4．已知矩阵12A ⎡=⎢⎣
3a ⎤⎥⎦的一个特征值是1-，则矩阵
A 的另一个特征
值是 ． 5．设7722107
)
1(x a x a x a a x ++++=- ,则7210,,,a a a a 中最大的数是 ．
6．某停车场内有序号为5,4,3,2,1的五个车位顺次排成一排，现在,,,A B C D 四辆车需要停放，若,A B 两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为 ．(用数字作答）
7．若6
2
1x ax ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的二项展开式中3
x 的系数为52
，则a = （用数字作答）．
8．小明通过英语四级测试的概率为43，他连续测试3次，那么其中恰有一次获得通过的概率 _.
9．在二项式3n
x x ⎫
-⎪
⎭的展开式中,各项系数之和为A ，各项二项式系
数之和为B ，且128A B +=．则n = ．
10．参数方程231141t x t
t y t -⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
,化成普通方程是
11.若直线m y x =+ 与圆
,
x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数,0>m ）相切，则m 为 ．
12。

若*
n N ∈，100<n ，且二项式321n
x x ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
的展开式中存在常数项,则所有
满足条件的n 值的和是 。

13．在直三棱柱1
1
1
C B A ABC -中，2
π=∠BAC ,11===AA AC AB ，G 与E 分别为1
1B
A 和1
CC 的中点,D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）.若
EF GD ⊥,则线段DF 长度的取值范围为 。

14.将数字6,5,4,3,2,1按第一行1个数，第二行2个数,第三行3个数的形式随机排列，设)3,2,1(=i N i
表示第i 行中最大的数，则满足321
N N N
<<的所
有排列的方法数为 。

（结果用数字作答) 二、解答题
15. 已知P 为半圆C:cos ,
sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数,πθ≤≤0)上的点,点A 的坐标为()0,1,O 为坐标原点,点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为3
π.
（1）以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；
(2）求直线AM 的参数方程.
16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(2,0),(2,1)A B C --。

设k 为非零实
数，矩阵M =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡100k
，N =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0110，点C B A ,,在矩阵MN 对应的变换下得到
的点分别为1
1
1
,,C B A ，△1
1
1
C B A 的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值。

17.已知四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ，且4PA =,底面为直角梯形,0
90,CDA BAD ∠=∠=2,1,2,AB CD AD ===
,M N 分别是,PD PB 的中点。

(1）设Q 为线段AP 上一点,若//MQ 平面PCB ，求CQ 的长; （2)求平面MCN 与底面ABCD 所成锐二面角的大小.
18。

一个袋中装有黑球，白球和红球共n(*
n∈N)个,这些球除颜色外完
．现从袋全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2
5
中任意摸出2个球．
（1）若n=15,且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是4
,设ξ表示
7
摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望ξE; (2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？
19。

设有编号为1，2,3，4, 5的五个球和编号为1，2，3,4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内．
(1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
(2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法？
（3)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
20． 已知2220122(1)
(*)4
n
n n x a a x a x a x n N +=++++∈。

（1)若0122625
256
n a
a a a +++
+=
，求3a 的值; （2）求证：*)(1
21N n n a
n
∈+<
（3)若存在整数k (0≤k ≤n 2)，对任意的整数m (0≤m ≤n 2)，总有k
a ≥m
a
成立,这样的k 是否唯一？并说明理由.
高二数学（理）假期作业（2）参考答案
一、填空题：
1．24320
2．3
π 3．815 4．5 5．4
a 6．48 7．2a = 8．649
9．6
10．35110(3)x y x +-=≠- 11。

2 12。

13．⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,55 14. 240
二、解答题
15.解：(1)由已知，M 点的极角为3π，且M 点的极径等于3
π,
故点M 的极坐标为（
3
π
，
3
π
）. ………………………………7分
（2）M 点的直角坐标为（3,
66
ππ），A （1，0），故直线AM 的参数
方程为
1(1),63x t y ππ⎧
=+-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参
数）. ………………………………14分
16。

解:由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
. ……………………4分
由0001000k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，0201002k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，021012k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 可知1
(0,0)A ，1
(0,2)B -，1
(,2)C k -。

………………………………10分
计算得△ABC 的面积是1,△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知
||212k =⨯=。

所以
k
的值为
2
-或
2。

……………………………………………………14分 17。

（1)因为PA ⊥平面ABCD , ︒=∠90BAD ,所以以A 为原点，以,,AD AB AP 分
别为
,,x y z
轴建立空间直角坐标系
O xyz
-,又因为
︒=∠90ADC ,4PA =,2,1,2,AB CD AD ===,M N 分别是,PD PB 的中点,所以有
2
(0,0,0),(0,2,0),(2,1,0),2,0,0),(0,0,4),(
(0,1,2)2
A B C D P M N ,……2分
因为Q 为线段AP 上一点,所以可设
()0,0,Q t ，
则()(2,1,0),0,2,4BC PB =-=-,
(2)2
MQ t =-
-，……………………………4分
设平面PBC 的法向量为()0
,,n x y z =，
则有
:00(,,)1,0)00
(,,)(0,2,4)0240
n BC x y z y n PB x y z y z ⎧⊥⇒⋅-=⇒-=⎪⎨
⊥⇒⋅-=⇒-=⎪⎩ 令1z =
,则02(2,2,1)x y n =⇒=, …………6分
又因为MQ
//平面PCB ,
所以0
(2)02
MQ n t ⋅=-
-⋅=，得3t =， 从
而
得(0,0,3)
Q ，故
CQ =………………………………………………………8分
（2）设平面MCN 的一个法向量为(,,)n x y z =， 又2
(,1,2),(2,0,2)2
CM CN =-
-=
-,
则有：(,,)(1,2)020(,,)(2)020n CM x y z x y z n CN x y z z ⎧⊥⇒⋅-=⇒-+=⎪⎨
⎪⊥⇒⋅=⇒
+=⎩
令1z =，则1(2,1,1)x y n ==⇒=，又(0,0,4)AP =为平面ABCD 的一个法向量,
所以41
cos ,242
n AP n AP n AP
⋅<>==
=⨯⋅,故平面MCN 与底面ABCD 所成锐二面角的
大小为3
π。

18.解:（1）设袋中黑球的个数为x (个），记“从袋中任意摸出一个
球，得到黑球”为事件A ，则2()155
x P A ==∴6x =． 设袋中白球的个数为y （个),记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球"为事件B
，则2
15215
4
()17
y C P B C -=-
=
， ∴2291200y y -+=， ∴5y =或24y =（舍）． ∴红球的个数为15654--=（个）．
∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是：
ξ的数学期望11442560122110535105
E ξ=
⨯+⨯+⨯=． …………9分
（2）设袋中有黑球z 个,则2
(5,10,15,5z n n ==…）
．设“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个黑球”为事件C , 则2
3521661()125251
n n
C P C C
n =-=
+⨯
-, 当5n =时，()P C 最大,最大值为7
10．…16分
19。

解：（1）12004525
=A C
（种）
(2）11915
5
=-A
（种）
（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法:1种
第二类,四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种 第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法:10种 第四类,二个球的编号与盒子编号相同的放法：2022
5
=C 种
∴ 满足条件的放法数为：1+10+20=31（种) 20．解:（1）取1=x ，有201221625
(1),4256
n n a a a a +++
+=+=解得2=n , (2)
分
此
时
16
1)41(33
43=⋅=C a ．
…………………
……4分
（2）n n
n
n C a 4
2
=，下面证明：1
214
2
+<
n C n n n ,
当
1
=n 时，左=
2
1,右=3
1，左
<
右,命题成
立； …………………………………6分
假设当k n =时，命题成立，有1
214
2
+<
k C k k k ，
则1+=k n 时，!
!)!
2(41)1()22)(12(41)!1()!1()!22(4142
11122k k k k k k k k k C k k k k k ⋅⋅+++⋅=+++⋅=++++ 221212323211211)12(241++⋅++⋅+=+⋅++⋅<
k k k k k k k k 3
21)22()12)(32(3212
+<+++⋅+=k k k k k ，命题也成立.
由上知，1
214
2
+<
n C n n
n （n ∈*
N )，即1
21+<
n a
n
(n ∈*
N ）． (10)
分
（3）由题意知：k
a 是0
1
2
2,,,
,n a a a a 中的最大项．24k n
k k
C a =，1
2114
k n k k C a ---=．
所以121
12(2)!
421!(2)!
(2)!444(1)!(21)!
k
k k n
k k k n
n a C n k k n k n a C k k n k ----+-=⋅==⋅
--+(12,)k n k ∈*N ≤≤，10分
令21
14n k k
-+≥，得215n k +≤，设小于或等于215n +的最大整数为M ,则
当1k M ≤≤时,1k k
a
a -≤，故011M M a
a a a -<<⋅⋅⋅<≤（21
5
n M +=
时取等号）； 当2M k n <≤时，21
14n k k
-+<，1
k k a a ->，故12M M n a a a +>>⋅⋅⋅>．…………14分
所以当215n M +=时，满足条件的正整数k 有2个，即k M =或1k M =-; 当215n M +>时，满足条件的正整数k 只有1个,即
k M
=．……………………16分。