★4.曲线运动-2节

一、运动合成
竖直与水平方向：匀速直线运动+匀速直线运动——
匀速直线运动+匀变速直线运动——
匀变速直线运动+匀变速直线运动——
1．关于运动的性质，以下说法中正确的是（）
（A）曲线运动一定是变速运动（B）变速运动一定是曲线运动
（C）曲线运动一定是匀加速运动（D）加速度和速度数值均不变的运动是直线运动
2.雨滴由静止开始下落,遇到水平方向吹来的风,下述说法中正确的是 ( )
A.风速越大,雨滴下落时间越长
B.风速越大,雨滴着地时速度越大
C.雨滴下落时间与风速无关
D.雨滴着地速度与风速无关
3.如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A,小车下装有吊着物体B的吊钩,在小
车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时,吊钩将物体B向上吊起,A、B之
间的距离以d =H - 2t2（SI）（SI表示国际单位制,式中H为吊臂离地面的高度）规律变化,
则物体做 ( )
A.速度大小不变的曲线运动
B.速度大小增加的曲线运动
C.加速度大小方向均不变的曲线运动
D.加速度大小方向均变化的曲线运动
4．一个物体在相互垂直的恒力F1和F2作用下，由静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去F2，则物体以后的运动情况是( )
A．物体做匀变速曲线运动 B．物体做变加速曲线运动
C．物体沿F1的方向做匀加速直线运动 D．物体做直线运动
5．某人骑车向东行驶，车速为4m/s时，感到风从正南吹来，车速为6m/s时，感到风从东南吹来，
则风速为__________m/s.
6．如图所示装置，在绳的C端以速率υ匀速收绳从而拉动低处物体M水平前进，当绳BC段与水平
恰成α角时，物体M的速度为_________。

v
α
cos
1+
7．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是( )
图X5－4
A．绳子的拉力大于A的重力
B．绳子的拉力等于A的重力
C．绳子的拉力小于A的重力
D．绳子的拉力先大于A的重力，后变为小于A的重力
二、过河问题
1．一个人相对于水以恒定的速度渡河，当他游到河中间时，水流速度突然变大，则他游到对岸的时间与预定的时间相比
（A ）不变 （B ）减小 （C ）增加 （D ）无法确定
2.船在静水中的航速为v 1，水流的速度为v 2。

为使船行驶到河正对岸的码头，则v 1相对v 2的方向为（）
3．船在静水中的速度为υ，流水的速度为u ，河宽为L 。

（1）为使渡河时间最短，应向什么方向划船？此时渡河所经历的时间和所通过的路程各为多大？ （2）为使渡河通过的路程最短，应向什么方向划船？比时渡河所经历的时间和所通过的路程各为多大？
分析：为使渡河时间最短，只须使垂直于河岸的分速度尽可能大；为使漏河路程最短，只须使船的合速度与河岸夹角尽可能接近900
角。

三、平抛运动
对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”，运动规律可表示为
⎪⎩
⎪⎨⎧==2021,
gt y t x υ；
⎩⎨
⎧==.
,
0gt y x υυυ 1.如图所示,在同一竖直面内,小球a 、b 从高度不同的两点,分别以初速度v a 和v b 沿水平方向抛出,经过时间t a 和t b 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点.若不计空气阻力,下列关系式正确的是 ( )
A.t a >t b ,v a <v b
B.t a >t b ,v a >v b
C.t a <t b ,v a <v b
D.t a <t b ,v a >v b
2．一个斜面，在斜面底端紧接着一段水平面（足够长），在斜面上O 点先后以υ0和2υ0的速度水平抛出A 、B 两小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能为（ ） A ．1 ：2 B ．1 ：3 C ．1 ：4 D ．1 ：5
3．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。

小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ） A ．1
tan θ
B ．
12tan θ
C ．tan θ
D ．2tan θ
h
θ
B
乙
2
υA 2
P 1P x
甲
υ1c
υ
0θ
a υ
b
a
d
4．一斜面固定在水平地面上，现将一小球从斜面上P 点以某一初速度水平抛出，它在空中的飞行的水平位移是X 1，若将初速度大小变为原来的2倍 ，空中的飞行的水平位移是 X 2，不计空气阻力，假设小球落下后不反弹，则x 1和x 2的大小关系可能正确的是（ ） A ．X 1=2X 2 B ．X 1=3X 2 C ．X 1=4X 2 D ．X 1=5X 2
5．甲、乙两球位于同一竖直直线上的不同位置，甲比乙高h ，如图9—10所示，将甲、乙两球分别以υ1、υ2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ ） （A ）同时抛出，且υ1＜υ 2 （B ）甲迟抛出，且υ1＞υ 2 （C ）甲早抛出，且υ1＞υ 2 （D ）甲早抛出，且υ1＜υ 2
图9—10 图9—11 图9—12 图9—13
6．A 、B 两质点以相同的水平速度υ0抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1，B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，不计阻力，如图9—11所示，比较P 1、P 2在x 轴上的远近关系是（ ） （A ）P 1较远 （B ）P 2较远
（C ）P 1、P 2等远 （D ）A 、B 两项都有可能
7．如图9—12所示，从倾角为θ的斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为υ1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为a 1，当抛出速度为υ 2 时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为a 2，则（ ）
（A ）当υ1＞υ 2 时，a 1＞ a 2 （B ）当υ1＞υ 2 时，a 1＜a 2
（C ）无论υ1、υ 2 大小如何，均有a 1=a 2 （D ）a 1、a 2的关系与斜面倾角θ有关
8．斜面上有a 、b 、
c 、
d 四个点，ab=bc=cd ，从a 点正上方O 点以速度υ水平抛出一个小球，它落在斜面上的b 点；若小球从O 点以速度2υ水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（如图9—13所示） （A ）b 与c 之间某一点 （B ）c 点 （C ） c 与d 之间某一点 （D ）d 点
9．在倾角为θ的斜面上，以初速度υ0水平抛出一个小球，则小球与斜面相距最远时的速度大小为（ ）
（A ）υ0cos θ （B ）
θ
υcos 0
（C ）υ
θ
2
tan 41+ （D ）
θ
υsin 0
10．如图9—20所示，A 、B 两点在同一竖直面内，A 点比B 点高h ，两点间的水平距离为s.现在从A 、B 两点同时相向抛出两个小球，不计空气阻力，则（ ） （A ）若只调整h ，两球根本不可能在空中相遇 （B ）若只调整s ，两球有可能在空中相遇 （C ）若只调整h ，两球有可能在空中相遇
（D ）若只调整两球抛出的速度大小，两球有可能在空中相遇
对于匀速圆周运动这类“变变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解其力和加速度”，运动规律可表示为
F 向
=
r
m 2
υ=mr ω2
=m υω
a 向
=r
2υ=r ω2
=υω
1.质点在一平面内沿曲线由P 运动到Q,如果用v 、a 、F 分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力,下列图象可能正确的是 ( )
2.游客乘坐过山车,在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20 m/s 2
,g 取10 m/s 2
,那么在此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的 ( )
A.1倍
B.2 倍
C.3倍
D.4倍
3.图示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r 1,从转动的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动,转速为n,转动过程中皮带不打滑,下列说法正确的是 ( )
A.从动轮做顺时针转动
B.从动轮做逆时针转动
C.从动轮的转速为
n r r 21 D.从动轮的转速为n r r
1
2 4.如图所示,甲、乙、丙三个轮子依靠磨擦传动,相互之间不打滑,其半径分别为r 1、r 2、r 3.若甲轮 的角速度为ω1,则丙轮的角速度为( )
A.
3
1
1r r ω B.
1
33r r ω C.
2
13r r ω D.
2
11r r ω
5． 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不
同半径的小圆弧来代替．如图1－8甲所示，曲线上A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径ρ叫做A 点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v 0抛出，如图1－8乙所示．则在其轨迹最高点P 处的曲率半径是(
)
图1－8
A.v 20 g
B.v 20 sin 2αg
C.v 20 cos 2αg
D.v 20 cos 2
αg sin α
⎪⎩
⎪⎨⎧=======.,02
2υωωυm mr r m ma F F ma F 向
向法切切
1．如图9—4所示，两根细线把两个相同的小球悬于同一点，并使两球在同一水平面内做匀速圆周运动，其中小球1的转动半径较大，则两小球转动的角速度大小关系为
ω1__________
ω
2，两根线中拉力大小关系为T 1_________T 2，（填“＞”“＜”或“=”)
图9—4 图9—5
2．铁路在弯道处的内轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯的时速度小于
θ
tan Rg ，则（ ）
（A ）内轨对内侧车轮轮缘有挤压 （B ）外轨对外侧车轮轮缘有挤压 （C ）这时铁轨对火车的支持力等于
θ
cos mg
（D ）这时铁轨对火车的支持力大于
θ
cos mg
3.在铁路的拐弯处,路面要造得外高内低,以减小车轮对铁轨的冲击,某段铁路拐弯半径为R,路面与水平面的夹角为θ,要使列车通过时轮缘与铁轨的作用力为零,列车的车速v 应为 ( ) A.
θ
cos Rg B.
θ
sin Rg C.
θ
tan Rg D.
θ
cot Rg
4．如图9—17所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A 和B ，紧贴内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ） （A ）球A 的线速度必定大于球B 的线速度 （B ）球A 的角速度必定小于球B 的角速度 （C ）球A 的运动周期必定小于球B 的运动周期 （D ）球A 对筒壁的压力必定大于球B 的对筒壁的压力
5.如图所示,木块P 放在水平圆盘上随圆盘一起转动,关于物体所受摩擦力F f 的叙述正确是( )
A.F f 的方向总是指向圆心
B.圆盘匀速转动F f =0
C.在转速一定的条件下, F f 的大小跟物体到轴0的距离成正比
D.在物体与轴0的距离一定的条件下,圆盘匀速运动时, F f 的大小跟圆盘转动的角速度成正比 6．如图所示,一个匀速转动的半径为r 的水平的圆盘上放着两个小木块M 和N,木块M 放在圆盘的边缘处,木块N 放在离圆心
r 3
1
的地方,它们都随圆盘一起运动,比较两木块的线速度和角速度,下列说法正确的是 （ ） A.两木块的线速相等
B.两木块的角速度相等
C.M 的线速度是N 的线速度的两倍
D.M 的角速度是N 的角速度的两倍
1
2
O mg
T
θ
l
7．如图所示，一辆正以速度υ0急驶的汽车，突
然发现正前方有一条离汽车较近长深沟。

为了避免事故， 汽车司机最好采用刹车还是转弯？为什么？（设最大静摩 擦力等于滑动摩擦力）
2.9rad/s ≤ω≤6.5rad/s
8.如图所示,一根长0.1 m 的细线,一端系着一个质量为0.18 kg
的小球,拉住线的另一端,使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动,使小球的 转速很缓慢的增加,当小球的转速增加到开始时转速的3倍时,细线断开,线断 开前的瞬间线受到的拉力比开始时大40 N,求: (1)线断开前的瞬间,线受到的拉力大小; (2)线断开的瞬间,小球运动的线速度;
(3)如果小球离开桌面时,速度方向与桌边线的夹角为60°,桌面高出地面0.8 m,求:小球飞出后的落地
点距桌边线的水平距离.
(1)45 N (2)5 m/s (3)
m
3
9.如图所示,表面粗糙的圆盘以恒定角速度ω匀速运动,质量为m 的物体与转轴间系有一轻质弹簧,已知弹簧的原长大于圆盘半径,弹簧的劲度系数为k,物体在距转轴R 处恰好能随圆盘一起转动而无相对滑动,现将物体沿半径方向移动一小段距离.
(1)若m 沿半径向内移动后,物体仍能与圆盘一起运动,且保持相对静止,k 、m 、ω需要满足什么条件? (2)若m 沿半径向外移动后,物体仍能与圆盘一起转动,且保持相对静止,k 、m 、ω需要满足什么条件？
(1)物体向圆心移动,则k ≤m ω2
,
(2)物体向远离圆心方向移动,则k ≥m ω2
<竖直面的圆周运动>
例.如图所示,光滑圆管的AB 部分平直,BC 部分是处于竖直
平面内半径为R 的半圆,圆管截面半径r R ,有一质量为m,半径比r 略小的光滑 小球,以水平初速度v 0射入圆管.
(1)若要小球能从C 端出来,初速度v 0应为多大?
(2)在小球从C 端出来的瞬间,试探讨小球对管壁的压力有哪几种情况,初速度v 0各应满足什么条件?
答案 (1) v 0 >
gR 4 (2)小球从C 端出来的瞬间,可以有三种情况:
①刚好对管壁无压力,此时v 0=
gR 5 ②对下管壁有压力,相应的入射速度为gR gR 540<<v
③对上管壁有压力,相应的入射速度为v 0 >
gR 5.
1．一个小球在竖直放置的光滑圆环的内槽里作圆周运动，则关于小球加速度方向正确的是（ ） （A ）一定指向圆心 （B ）一定不指向圆心 （C ）只在最高点和最低点时指向圆心 （D ）不能确定是否指向圆心
2.如图所示,轻杆的一端有一个小球,另一端有光滑的固定轴O,现给球一初速度,使球和杆一起绕O 轴在竖
直面内转动,不计空气阻力,用F 表示球到达最高点时杆对小球的作用力,则F ( ) A.一定是拉力
B.一定是推力
C.一定等于零
D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零
3．如图所示，可视为质点的、质量为m 的小球，在半径为R 的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（）
A ．小球能够通过最高点时的最小速度为0
B ．小球能够通过最高点时的最小速度为gR
C ．如果小球在最高点时的速度大小为2gR ，则此时小球对管 道的外壁有作用力
D ．如果小球在最低点时的速度大小为
gR 5，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力
4.长为L 的轻杆,一端固定一个小球,另一端固定在光滑的水平轴上,使小球在竖直面内做圆周运动,关于最
高点的速度v,下列说法中正确的是 ( ) A.v 的极小值为
gL
B.v 由零逐渐增大,向心力也增大
C.当v 由gL 逐渐增大时,杆对小球的弹力逐渐增大
D.当v 由
gL 逐渐减小时,杆对小球的弹力逐渐增大
5．如图9—18所示，一物体从曲面上的P 点自由滑下，通过一粗糙的固定不动的传送带后，落到地面上的Q 点，若皮带随皮带轮以恒定的速率转动，物体落地点的位置正确的是（ ） （A ）皮带轮逆时针转动时，它一定仍落在Q 点 （B ）皮带轮顺时针转动时，它一定落在Q 的右边 （C ）皮带轮逆时针转动时，它有可能落在Q 的左边 （D ）皮带轮顺时针转动时，它有可能仍落在Q 点
6．在质量为M 的电动机飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为R ，如图9—19所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ ）
（A ）
g mR m M + （B ）g mR
m
M + （C ）
g mR
m
M - （D ）
mR
Mg
S 7．小明撑一雨伞站在水平地面上，伞面边缘点所围圆形的半径为R ，现将雨伞绕竖直伞杆以角速ω
匀速旋转，伞边缘上的水滴落到地面，落点形成一半径为r 的圆形，当地重力加速度的大小为g ，根据以上数据可推知伞边缘距地面的高度应为( )
A .g r 2
－R 2
2ω2R 2 B .g r 2
－R 2
2ω2r 2 C .g r－R 2
2ω2R 2 D .gr 2
2ω2R 2
8．两个内壁光滑、半径不同的半球形碗放在不同高度的水平面上，使两碗口处于同一水平面，如图X 6－9
所示．现将质量相同的两个小球分别从两个碗的边缘处由静止释放(小球半径远小于碗的半径)，两个小球通过碗的最低点时( )
图X 6－9
A ．两小球速度大小不等，对碗底的压力相等
B ．两小球速度大小不等，对碗底的压力不等
C ．两小球速度大小相等，对碗底的压力相等
D ．两小球速度大小相等，对碗底的压力不等
9.如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l 的细线，细线的一端固定在O
点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O 点到斜面底边的距离S oc =L ，则小球通过最高点A 时的速度表达式v A ＝ ；小球通过最低点B 时，细线对小球拉力表达式
T B = ；若小球运动到A 点或B 点时剪断细线，小球滑落到斜
面底边时到C 点的距离相等，则l 和L 应满足的关系式是 ．
答案：
sin A =gl θ
v ；
6sin B T =mg θ；15L .l =．
10．如图9—27所示，小球A 用不可伸长的轻绳悬于O 点， 在O 点的正下方有一固定的钉子B ，OB=d ，初始时小球A 与O 同水平面无初速释放，绳长为l ，为使球能绕B 点做圆 周运动，试求d 的取值范围？
图9—`27
0.6l ≤d ＜l。