广东省揭阳市2019-2020学年高三下学期线上教学摸底测试数学(理)试题(带答案解析)

广东省揭阳市2019-2020学年高三下学期线上教学摸底测试
数学（理)试题
第I 卷（选择题)
一、单选题
1．已知集合A 为自然数集N ，集合{}
2|3,B x x x N =>∈，则（ ）
A ．{1}A
B ⋂=
B ．{}0,1A B ⋃=
C ．A B B ⋃=
D ．A B A ⋃= 2．已知复数z 满足(1)(1)32i z i -+=+，则z =（ ）
A ．52i -
B ．
52i + C ．152i -- D ．152i -+ 3．已知平面向量()a 1,2=r , ()b 2,m r =-, 且a //b v r , 则b =v ( )
A B C ．D ．4．已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a = A ．3- B ．5- C ．3 D ．5
5．已知正数a 、b 满足23a b +=
ab 的最大值为（ ） A ．19 B ．14
C ．13
D ．12 6．已知函数12
()log f x =(1)x x +，则下列判断： ①()f x 的定义域为(0,)+∞；
②()f x 的值域为[)1,-+∞；
③()f x 是奇函数；
④()f x 在（0,1）上单调递增.其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④ 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos +cos b B a C c A =，则B 的大小为（ ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．6
π
8．要得到2()2cos g x x =()x R ∈的图象，只需把2()(sin cos )f x x x =+()x R ∈的图象（ ）
A ．向左平移4π个单位
B ．向右平移4
π个单位 C ．向左平移2π个单位 D ．向右平移2
π个单位 9．我国古代数学名著《九章算术》有“勾股容圆” 曰：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”. “勾股容圆”相当于给出了一个直角三角形的两条直角边长（勾8股15），求其内切圆直径的问题.若在“勾股容圆”问题中，从直角三角形内随机取一点，则此点取自其内切圆的概率是（ ）
A ．10
π B ．320π C ．5π D ．4π 10．已知(
,)42x ππ∈，sin a x =，cos b x =，则（ ） A ．a b a a > B ．a a a b <
C ．log 1a b <
D ．b a a b > 11．已知抛物线2:12M x y =和椭圆2222:1x y N a b
+=（0a b >>），直线l 与抛物线M
相切，其倾斜角为4
π，l 过椭圆N 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点，AF BF =<，则椭圆N 的离心率为（ ）
A ．12
B
C ．3
D ．2
12．已知△ABC 中，∠B =90º，DC ⊥平面ABC ，AB =4，BC =5，CD =3，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为（ ）
A ．503π
B ．25π
C ．50π
D ．3
13．已知偶函数()f x 满足2()2x f x x -=+(0)x ≤，则()f x 在(0,)+∞上（ ） A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先递增后递减 D ．先递减后递增 14．已知数列{}n a 满足22log log 3n a n =+，则24620a a a a ++++L 值为（ ） A ．113(24)⨯- B ．123(24)⨯- C ．11445- D ．1144- 15．抛出4粒骰子（每粒骰子的六个面分别有1~6共六个不同的点数），恰有3粒向上
的点数不小于5的概率为（ ）
A ．281
B ．481
C ．881
D ．427
16．在三角形OAB 中，M 、N 分别是边OA 、OB 的中点，点R 在线段MN 上（不
含端点），且OR xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则代数式ln x ey +的最大值为（ ）
A ．22e -
B ．21e -
C ．12e -
D ．22
e - 第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先求得集合B ，再根据集合的交并运算求得结果.
【详解】
因为{}
2|3,B x x x N =>∈{}2,3,4,=L ， 故可得,A B B A B A ⋂=⋃=.
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交运算和并运算，属基础题.
2．C
【解析】
【分析】
根据复数的运算求得复数z ，再求其共轭复数即可.
【详解】
因为(1)(1)32i z i -+=+，故可得()()()()
32132151111122i i i z i i i i +++=-=-=-+--+. 故可得z =1522i -
-. 故选：C.
【点睛】
本题考查复数的四则运算以及共轭复数的求解，属基础题.
3．D
【解析】
【分析】
根据向量//a b r r ，列出方程求得m 的值，得到向量b r
的坐标，再由模的计算公式，即可求解．
【详解】 由题意，向量//a b r r ，则122m
=-，解得4m =-，即(2,4)b =--r ，
所以b ==v D ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的运算及向量的模的计算问题，其中熟记向量共线的条件和向量的 模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．C
【解析】
【分析】
根据等差数列前n 项和的性质得到4S =()232a a +，9S =59a ，
5235205,2592
a a a a d =+==-，联立两式可得到公差，进而得到结果. 【详解】
等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S ==()232a a +，920S ==59a ,
5235205,2592a a a a d =+==-,联立两式得到7,18
d =75+2 3.a a d == 故答案为C.
【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和的性质的应用，和基本量的计算，数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等． 5．B
【解析】
【分析】
根据基本不等式，即可容易求得结果.
【详解】
因为正数a 、b 满足23a b +=
， 故可得()()()2111123236644
ab a b a b =⨯⨯≤⨯+=，
当且仅当23,23a b a b =+=a b ==. 故选：B.
本题考查利用基本不等式求乘积的最大值，属基础题.
6．C
【解析】
【分析】
根据对数型复合函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性即可容易判断.
【详解】 因为
12()log f x =(1)x x
+， 则其定义域为10x x
+>且0x ≠，解得0x >，故①正确； 因为12x x +≥，故()1f x ≤-，则②错误； 因为其定义域不关于原点对称，故不是奇函数，则③错误；
当()0,1x ∈，1y x x
=+单调递减，又12log y x =也单调递减， 故()f x 单调递增，故④正确.
故选：C .
【点睛】
本题考查对数型复合函数的性质，属基础题.
7．B
【解析】
【分析】
根据三角形中的射影公式，即可容易求得结果.
【详解】
因为2cos cos +cos b B a C c A =，即2bcosB b =， 解得12cosB =
，又因为()0,B π∈，故可得3
B π=. 故选：B.
【点睛】
本题考查三角形中的射影公式，本质是利用正弦定理将边化角，属基础题.
8．A
【解析】
先利用降幂扩角公式把()(),f x g x 化简，再利用函数平移进行处理即可.
【详解】
因为2()(sin cos )f x x x =+21sin x =+；()22cos 21sin 212g x x cos x x π⎛
⎫==+=++ ⎪⎝⎭
， 故只需将()f x 向左平移
4
π个单位即可得到()g x . 故选：A.
【点睛】 本题考查利用降幂扩角公式进行三角化简，以及函数图像平移问题，属综合基础题. 9．B
【解析】
【分析】
根据题意，先计算内切圆半径和面积，再根据几何概型的概率计算公式，即可求得结果.
【详解】
根据题意，可得直角三角形的三边长分别为8,15,17，
设其内切圆半径为r ，根据等面积法可得
()118158151722
r ⨯⨯=++⨯， 解得3r =，故内切圆面积为29r ππ=，三角形面积为1815602
⨯⨯=， 直角三角形内随机取一点，则此点取自其内切圆的概率936020P ππ==. 故选：B .
【点睛】
本题考查几何概型的概率计算，属基础题.
10．D
【解析】
【分析】
在给定区间内sinx cosx >，根据指对幂函数的单调性，即可容易判断.
【详解】 因为(,)42
x ππ∈，故可得10a b >>>
根据指数函数x y a =是减函数，故可得a b a a <；
根据幂函数a y x =是增函数，故可得a a a b >；
根据log a y x =是单调减函数，且()0,1b ∈，故可得log log 1a a b a >=；
由上述判断可知，b a a a a b >>，则b a a b >.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用指对幂函数的单调性，比较大小，属综合中档题.
11．B
【解析】
【分析】
根据题意，利用导数的几何意义求出l 的方程，以及点A 坐标，则可得到,a b 方程，求得,,a b c ，则离心率得解.
【详解】
根据题意，作图如下：
因为212x y =，故可得211,126y x y x =
='， 根据直线斜率为tan 14π
=，解得切点为()6,3，
故直线l 的方程为36y x -=-，整理得3y x =-
故可得椭圆的右焦点坐标为()3,0F .
过A 点作x 轴的垂直，垂足为H ，
则在AHF n 中，由45AF AFH =∠=︒，容易得1FH AH ==，
则可得()4,1A ，又A 点在椭圆上， 故可得221611a b
+=，结合222,3a b c c =+=，
解得3a c ==，故离心率为
2
c a ==. 故选：B.
【点睛】 本题考查椭圆离心率的求解，利用导数几何意义求切线方程，涉及抛物线方程，属综合困难题.
12．C
【解析】
【分析】
根据题意，将满足题意的几何体在长方体中截取，根据其外接球与长方体外接球相同，即可容易求得.
【详解】
根据题意，在长方体中截取满足题意的几何体，如下所示：
如图所示，该长方体长宽高分别为4,5,3，且棱锥的几何特点均满足题意要求，
故三棱锥D ABC -与长方体有相同外接球.
故可得外接球半径22
r ==. 则其表面积2450S r ππ==.
【点睛】
本题考查几何体外接球的求解，属中档题；本题的难点在于从长方体中截取满足题意的几何体.
13．A
【解析】
【分析】
先判断函数在0x ≤的单调性，再根据函数奇偶性即可求得()0,+∞上的单调性.
【详解】
当0x ≤时，2,2x y x y -==都是单调减函数，故可得()f x 也是单调减函数；
又因为()f x 是偶函数，故可得()f x 在区间()0,+∞上单调递增.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数性质的综合应用，涉及指数函数的单调性，属基础题.
14．D
【解析】
【分析】
根据对数运算，求得n a ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求得结果.
【详解】
因为22log log 3n a n =+，故可得2log 32
32n n n a +==⨯， 故可得{}2n a 是首项为12，公比为4的等比数列，
则24620a a a a ++++L 为数列{}2n a 的前10项和，
则()1010121414S -==-1144-.
故选：D.
【点睛】
本题考查对数的运算，以及等比数列求和，属综合中档题.
【解析】
【分析】
先求出抛掷一粒骰子点数不小于5的概率，再根据二项分布的概率计算公式即可求得.
【详解】
抛掷一粒骰子点数不小于5的概率为2163
=， 故可得抛掷4粒骰子，恰有3粒点数不小于5的概率为3
341283381
C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.
【点睛】
本题考查二项分布的概率计算，属基础题.
16．D
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理，求得,x y 之间的关系式，构造函数，利用导数求其最大值即可.
【详解】
根据题意，作图如下：
设MR MN λ=u u u r u u u u r ，()0,1λ∈，故可得1122222OR OA AB OA OB λλλ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故可得122x λ=-，2y λ=，则12x y +=，且1,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12y x =-， 构造函数()1122h x lnx e x lnx ex e ⎛⎫=+-=-+
⎪⎝⎭， 则()1ex h x x ='-，令()0h x '=，解得1x e
=，
故()h x 在区间10,?e ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递增，在区间11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减， 故可得()122
max e h x h e ⎛⎫==
- ⎪⎝⎭. 故选：D.
【点睛】 本题考查平面向量的基本定理，以及利用导数求函数的最值，属综合困难题；本题的关键在于寻找到,x y 之间的等量关系，且要注意参数的范围.。