北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题
1．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50
B ．40
C ．35
D ．30
2．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ） A ．15种
B ．90种
C ．120种
D ．180种
3．4(12)x -的展开式中2x 的系数为（ ） A ．6
B ．24
C ．32
D ．48
4．下列四个组合数公式:对,n k N ∈，约定0
001C ==！,有
（1）(0)!
k k n n
P C k n k =≤≤
（2）(0)k n k
n n C C k n -=≤≤ （3）
11(1)k k n n k C C k n n
--=≤≤ （4）1
11(1)k
k
k n n n C C C k n ---=+≤≤ 其中正确公式的个数是（ ） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（ ）
A ．12
B ．16
C ．24
D ．36
6．若(2)n x -的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，则展开式的各项系数的绝对值．．．之和为( ) A ．111
B ．102
C ．103
D ．113
7．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（ ） A ．40
B ．50
C ．60
D ．70
8．在12
202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中, 2x 项的系数为( )
A ．10
B ．25
C ．35
D ．66
9．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一人站在自己原来的位置上的概率为（ ） A ．
34
B ．
14
C ．
18
D ．38
10．如图,,,A B C D 四个海上小岛，现在各岛间共建三座桥将四个小岛连通，则不同的方法有（ ）
A ．8
B ．12
C ．16
D ．20
11．2
10
1()x x
+的展开式中含5x 项的系数为（ ） A ．160 B ．210 C ．120 D ．252
12．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组
内的概率为( )
A ．192181020
C C C
B ．1921810
20
2C C C C ．1921910
20
2C C C D ．192191020
C C C
二、填空题
13．从编号为1，2，3，4，…，10的10个大小、形状都相同的小球中任取5个球．如果某两个球的编号相邻，那么称这两个球为一组“好球”，则任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有_______种．（用数字作答）
14．若将五本不同的书全部分给三个同学，每人至少一本，则有________种不同的分法.
15．若6
2b ax ⎛ ⎝⎭
的展开式中常数项为150，则22a b +的最小值为______． 16．()6
2
1x x +-的展开式中，含10
x
项的系数是________
17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.
18．由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成无重复数字的四位数中比3042大的数有________个.
19．若多项式()()()1011
2110110112111x x a a x a x a x +=+++
++++，则10a =______.
20．已知2⎛+ ⎝
n
x x 的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数等于________.
三、解答题
21．某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留
念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答) （1）若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？
（2）若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？
（3）实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去，则共有多少种不同的安排方法？
22．某工厂生产的10件产品中，有8件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别.从这10件产品中任意抽检2件，计算： （1）抽出的2件产品恰好都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的2件产品至多有1件不合格品的抽法有多少种？
（3）如果抽检的2件产品都是不合格品，那么这批产品将被退货，求这批产品被退货的概率.
23．已知21n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式的二项式系数的和比()732a b +展开式的二项式系数的和大128.
（1）求n 的值.
（2）求21n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项
24．设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入5个盒子中.
（1）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
25．7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？
()1其中甲不站排头，乙不站排尾； ()2其中甲、乙、丙3人两两不相邻； ()3其中甲、乙中间有且只有1人； ()4其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．
26．已知n 为给定的正整数，t 为给定的实数，设(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n . （1）当n =8时.
①若t =1，求a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8的值； ②若t =
2
3
，求数列{a n }中的最大值； （2）若t=23，当13x =时，求()0
n
k
k k n k a x =-∑的值.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得． 【详解】
先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为
322
66
222
()50C C A A +⨯=．
故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,
,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组
数为312
112
k
k
m
m m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为
312
112k
k
m m m m n n m n m m m
i i
C C C C A
---．
2．B
解析：B 【分析】
根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，再将3组分配的3个服务小组即可. 【详解】
解：根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3
组，每组人数为2，2，1人，共有221
531
2
215C C C A =种，再将三组分配到3个服务小组，共有221
3
53132
2
90C C C A A ⋅=种， 故选：B. 【点睛】
本题考查排列组合的部分平均分组分配问题，解题的关键是将5名同学以“2，2，1”形式参
加三个服务小组，其中2，2是部分平均分组问题，需除以22
A ，故有221
531
2
2
15C C C A =种，再
分配进而解决，是中档题.
3．B
解析：B 【分析】
利用二项展开式的通项可得14(2),0,1,2,3,4r r
r T C x r +=-=，令2r 可求得结果.
【详解】
因为4(12)x -的第1r +项展开式14(2),0,1,2,3,4r
r
r T C x r +=-=， 令2r
，则含2x 项系数为2
24
(2)24C -=， 故选：B ． 【点睛】
该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式通项的应用，项的系数，属于简单题目.
4．A
解析：A 【分析】
分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】
A ．()0!
k k
k n n n
k k P P C k n P k ==≤≤，等式成立；
B ．()()!0!!!
k k n n
P n C k n k n k k =
=≤≤-⨯，()()()()()()!!0!!!
!!n k n k n n
P n n C
k n n k k n k n n k n k --===≤≤-⨯---⨯-， 所以(0)k
n k
n n C C k n -=≤≤成立；
C ．()()()()1!!
(1)!!!!1!k k n n n P k k k n C k n n n k n n k k n k k -=⋅
=⋅=≤≤-⨯-⨯-， ()()()()11
1
1
(1!1!!1)!1k n k n n P k n k k C
k n -----==-≤-≤⨯-，所以11(1)k k n n k C C k n n --=≤≤成立；
D ．()()()()()()1
11
1
1
11!1!!1!1!!!1!
k
k k k n n n n n n P P k k n k k C
n k k C
--------=+=+=---⨯-⨯-+ ()()()()1!(1!!!)!!
k n n n n k k C n k k n k k n k ⎡⎤-⎡⎤=-+==⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯⎢≤⎥≤⎣⎦，所以1
11(1)k k k n n n C C C k n ---=+≤≤成立.
故选A. 【点睛】
本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使
用：()()()!!,!!
!!!n m m
m
n n n
n P P n n P C n m n m m n m m =
===---⨯. 5．D
解析：D 【分析】
直接利用乘法原理计算得到答案. 【详解】
第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法， 故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D. 【点睛】
本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.
6．C
解析：C 【分析】
根据二项展开式中只有第6项的二项式系数最大知10n =，再令1x =-即可求得可得展开式的各项系数的绝对值之和. 【详解】
根据题意知(2)n x -的展开式共有11项，10n ∴=，
100100191
991010
1010101022(2)2C x C x C x x x C =-+
-+-，
令1x =-可得展开式的各项系数的绝对值之和为103. 故选：C 【点睛】
本题考查二项展开式各项的系数和，属于中档题.
7．D
解析：D 【分析】
根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解. 【详解】
根据题意，可分为2种情况，
①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有1
2
4540C C =种不同的取法； ②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有2
14530C C =种不同的取法， 由分类计数原理，可得不同的取法共有403070+=种. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
8．D
解析：D 【分析】
分析12
202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式的本质就是考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，每个括号内各取2020
11,,
x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，利用组合知识即可得解.
【详解】
12
202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 每个括号内各取2020
11,,
x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，
要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛
⎫
++ ⎪⎝⎭
中，两个括号取x ，10个括号取1， 所以其系数为2
1266C =. 故选：D 【点睛】
此题考查求多项式的展开式指定项的系数，关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题，将问题转化为计数原理组合问题.
9．D
解析：D 【分析】
分两步分析：①先从5个人中选1人，其位置不变，有1
55C =种，②对于剩下的四个人，因为每个人都不能站在自己原来的位置上，有9种，恰有一人站在自己原来的位置上包含的基本事件数为45，再求出事件总数，按照古典概型概率公式即可求解. 【详解】
5个人站成一排的基本事件的总数为5
5A ， 5个人按原来站的位置重新站成一排， 恰有一人站在自己原来的位置， 先从5个人中选1人，其位置不变， 有1
55C =种，对于剩下的四个人， 因为每个人都不能站在自己原来的位置上， 因此第一个人有3种站法， 被站位置的那个人也有3种站法， 最后两人只有1种站法，
故不同的调换方法有53345⨯⨯=， 所以所求事件的概率为453
1208
=. 故选：D. 【点睛】
本题考查古典概型的概率，利用分步乘法原理和排列是解题的关键，属于中档题.
10．C
解析：C 【分析】
先明确四个小岛连通的方法数，再从中选3个，然后减去首尾相接的即可. 【详解】
岛的连接分式共有2
4
6C =种，从种中任意选出3个作为一种方案，有3
620C =种，20种包含3岛首尾相接的情况有4种，不符合题意， 所以一共有20-4=16种 故选：C 【点睛】
本题主要考查分类计数原理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
11．D
解析：D 【分析】
由二项式定理及其二项展开式通项得：210203110101()
()r
r
r r r
r T C x C x x
--+==，令2035r -=，解得r 的值，进而求得其系数.
【详解】
()
102203110101r
r
r
r r
r T C x
C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
， 当=5r 时，5
5
5
610252T C x x ==. 故选：D. 【点睛】
本题考查了二项式定理及其二项式展开式的通项，属于基础题.
12．A
解析：A 【分析】
由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】
由题意知本题是一个古典概型，
试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有10
20
C种结果，
而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19
218
C C中结果，
根据古典概型的概率公式得
19
218
10
20 =
C C
P
C
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.
二、填空题
13．120【分析】假定5个球排成一排5个小球之间有6个空位取空位的情况来达到使小球的编号连续的目的有两种情况：（1）有3个号码是连续；（2）分别有2组号码连续但这2组号码与另一个球的号码不相邻分别求组合
解析：120
【分析】
假定5个球排成一排，5个小球之间有6个空位，取空位的情况来达到使小球的编号连续的目的，有两种情况：（1）有3个号码是连续；（2）分别有2组号码连续，但这2组号码与另一个球的号码不相邻，分别求组合数，可得答案.
【详解】
将5个小球排成一排，在5个小球中间有6个空位，5个小球的编号恰好有两组“好球”，分两种情况：
（1）这5个球中有3个球的号码是连续的，另两个小球的号码的是间断的，3个小球的号
码与另2个球的号码也不是连续的，有21
6460
C C=，
（2）这5个球中有2组球的号码分别连接，但这两组球的号码与另一个球的号码是不连续
的，有12
6560
C C=，
故任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有60+60120
=种取法，
故答案为：120.
【点睛】
本题考查组合知识，对于相邻问题和相间问题，常采用分析空位的方法，属于中档题. 14．150【分析】先将五本书分成三堆有和种不同的分法再把三堆分给三个同学即得解【详解】由题意先将五本书分成三堆有和种不同的分法故有种分堆方式再分给三个同学有种不同方法故答案为：150【点睛】本题考查了排
解析：150
【分析】
先将五本书分成三堆，有1,1,3和2,2,1种不同的分法，再把三堆分给三个同学即得解
【详解】
由题意，先将五本书分成三堆，有1,1,3和2,2,1种不同的分法
故有
113221
543531
22
22
C C C C C C
A A
+种分堆方式
再分给三个同学，有
113221
3
543531
3
22
22
()150
C C C C C C
A
A A
+=种不同方法
故答案为：150
【点睛】
本题考查了排列组合综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
15．【分析】由题意在二项式定理的通项公式中令x的幂指数等于零求得r的值可得展开式的常数项再根据展开式的常数项为150求得ab的值再利用基本不等式求得a2+b2的最小值【详解】的展开式中通项公式为Tr+1
解析：
【分析】
由题意在二项式定理的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为150，求得ab的值，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．
【详解】
6
2
ax
⎛
+
⎝⎭
的展开式中通项公式为T r+1=(
)
6
26123
66
r r
r
r r r r r
C ax x C a x
----
=
令12﹣3r＝0，求得r＝4，
则展开式的常数项为T5=42222
6
=15
C a b a b
根据展开式中的常数项为150，得15a2b2＝150，∴a2b2＝10
，ab
∴=
∴a2+b2
≥2ab=当且仅当|a|＝b＝14
10时，取等号．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的通项公式、基本不等式的应用，确定常数项是关键，属于基础题．
16．9【分析】将看成整体利用二项式定理展开讨论和两种情况计算得到答案【详解】展开式通项为当时的展开式的通项为取得到项的系数为；当时的展开式的通项为取得到项的系数为综上所述：项的系数是故答案为：【点睛】本
解析：9
【分析】
将2
x x
-看成整体，利用二项式定理展开，讨论6
r=和=5
r两种情况，计算得到答案.【详解】
(
)()()
6
6
2
2
11x x x x =+-+-，展开式通项为()2
16r
r
r T C x x +=-，
当6r =时，()6
2x x -的展开式的通项为()()6261661a
a
a a a a
a T C x
x C x -++=⋅-=⋅-， 取4a =得到10x 项的系数为()4
64
66115C C ⋅⋅-=；
当=5r 时，()
5
2
x x -的展开式的通项为()
()52
51551b
b
b b
b b
b T C x x C x -++=⋅-=⋅-，
取5b =得到10x 项的系数为()5
55
6516C C ⋅⋅-=-.
综上所述：10x 项的系数是1569-=. 故答案为：9. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，分两步计算是解题的关键.
17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到
解析：315 【分析】
根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】
第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3
735C =种不同取法； 第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，
共()
11
3219C C +=种不同放法；
因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】
本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.
18．【分析】首先计算出当千位为4或5时的情况再求出当千位为3时的情况最后根据分类加法计算原理计算可得【详解】解：①当千位为4时其他位从剩下的数字选3个排列即可有（种）②当千位为5时其他位从剩下的数字选3 解析：172
【分析】
首先计算出当千位为4或5时的情况，再求出当千位为3时的情况，最后根据分类加法计算原理计算可得． 【详解】
解：①当千位为4时，其他位从剩下的数字选3个排列即可，有3
560A =（种），
②当千位为5时，其他位从剩下的数字选3个排列即可，有3
560A =（种），
③当千位为3时，百位在1、2、4、5中任选一个均满足，有12
4448C A =（种），
④当千位为3且百位为0时，若十位为5，则有3种，若十位为4，则只有1种； 根据分类加法计算原理可得一个有60604831172++++=（种） 故答案为：172 【点睛】
本题考查排列数、组合数的求法，考查排列数、组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
19．【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为令解得则得解【详解】由展开式的通项为令解得则故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：22-
【分析】
由二项式定理及其展开式通项公式得111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为
111112(1)(1)r r r r T C x -+=+-，令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-，得解．
【详解】
由111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为11111
2(1)(1)r
r r r T C x -+=+-， 令1110r -=，解得1r =，
则1
1011
2(1)22a C =⨯-=-， 故答案为：22-． 【点睛】
本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
20．【分析】根据二项式系数和可求得根据二项展开式通项公式可求得的值代入可求得结果【详解】展开式二项式系数和为解得：展开式通项公式为：令解得：展开式中常数为故答案为：【点睛】本题考查二项展开式中指定项的求 解析：80
【分析】
根据二项式系数和可求得n ，根据二项展开式通项公式可求得r 的值，代入可求得结果. 【详解】
22n
x x ⎛+ ⎝
展开式二项式系数和为32，232n
∴=，解得：5n =，
5
22n
x x
⎛⎛∴+= ⎝⎝展开式通项公式为：5
1010221552r
r r r r r r T C x C x
--+=⋅=. 令
51002
r -=，解得：4r =，∴展开式中常数为44
5216580C =⨯=. 故答案为：80.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项的求解问题，关键是熟练掌握二项式系数和的性质和二项展开式通项公式的形式.
三、解答题
21．(1) 48 (2) 240 (3) 36
【分析】
(1)先排教授，再排学生由分步乘法计数原理可得答案.
（2）将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列，再将两名教授进行排列，由分步乘法计数原理可得答案.
（3）把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组, 再将三组分别分配到三所中学任教可得答案.【详解】
(1 )先排2名教授,有2
22
A=(种)不同的排法,
再排4名实习学生,有4
424
A=(种)不同的排法,
故由分步乘法计数原理可得，共有22448
⨯= (种)不同的排法
(2) 将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有5
5120
A= (种)不同的排法
又2名教授,有2
22
A=(种)不同的排法,所以共有2120240
⨯= (种)不同的排法
(3 )把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组,有
21
42
2
2
C C
A
种分组方法.
再将三组分别分配到三所中学任教故共有
21
3
42
3
2
2
36
C C
A
A
⨯= (种)不同的排法.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
22．（1）28种；（2）44种；（3）1 45
【分析】
（1）根据题意，利用组合数的公式，即可求得抽出的2件都是合格品的抽法种数；
（2）由（1）得抽出的2件产品都是合格品的抽法，再求得恰好1件合格品1件不合格品的抽法种数，利用分类计数原理，即可求解.
（3）求得基本事件的总数，得出其中抽检的2件产品都是不合格品的事件数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，某工厂生产的10件产品中，有8件合格品、2件不合格品，
所以抽出的2件都是合格品的抽法，共有20
8287
12821
C C ⨯=
⨯=⨯种. （2）由（1）得抽出的2件产品都是合格品的抽法，共有20
8287
2821
C C ⨯=
=⨯种； 恰好1件合格品1件不合格品的抽法，共有11
828216C C =⨯=种， 所以抽到的2件产品中至多有1件不合格品的抽法，共有281644+=种.
（3）从10件产品中任意抽取2件产品的抽法，共有2
10109
4521
C ⨯=
=⨯种， 其中抽检的2件产品都是不合格品的事件数有2
21C =种， 得抽检的2件产品都是不合格品的概率145
P =， 即这批产品被退货的概率为145
. 【点睛】
本题主要考查了分类计数原理、排列组合的应用，以及古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，合理分类，结合分类计数原理和古典概型的概率计算公式准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
23．（1）8；（2）系数最大项，4570T x =，系数最小项656T x =-和7
456T x =-
【分析】
（1）21n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式的二项式系数和为2n ，()732a b +展开式的二项式系数和为72，根
据条件可得到关于n 的等式求解出n 的值；
（2）根据二项式系数的性质求得当r 为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项. 【详解】
（1）由条件可知：722128n -=，所以822n =，所以8n =；
（2）因为21n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的通项为：()163181r r r
r T C x -+=⋅-⋅，
由二项式系数的性质可知：当4r =时，21n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式的系数最大，
所以系数最大的项为444
5870T C x x =⋅=， 当3r =或5时，21n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式的系数最小，
所以系数最小的项为3774856T C x x =-⋅=-和5
6856T C x x =-⋅=-. 【点睛】
本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数k
n C ，若n 为偶数时，中间一
项2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项1122,n n n
n
C C
-+同时取得最大值.
24．（1）119种（2）31种 【分析】
(1)利用间接法可得满足题意的方法数.
(2)由分类加法计数原理结合分步乘法计数原理可得满足题意的方法数. 【详解】
（1）利用间接法可知满足题意的投放方法为：5
51119A -=种.
（2）分为三类：
第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种；
第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有3
5C 种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有3
5110C ⨯=种； 第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有2
5C 种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种，所以投放方法有3
5220C ⨯=种. 根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有1102031++=种. 【点睛】
本题主要考查间接法的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
25．(1) 3720种; (2)1?440种 (3)1?200种 (4) 840种 【分析】
（1）分别计算甲站在排尾和甲不站在排尾排列数，求和即可；
（2）将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，在5个空位种任选3个，利用插空法计算即可；
（3）先将甲、乙全排列，在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，利用捆绑法计算即可；
（4）在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，再将这三人按顺序安排剩下三个位置即可. 【详解】
() 1根据题意，分2种情况讨论：
①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有66A 种排法， ②、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有15A 种排法，
乙不能在排尾，也有5个位置可选，有1
5A 种排法， 剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有5
5A 种排法， 则此时有115
555A A A 种排法；
故甲不站排头，乙不站排尾的排法有6
1
1
5
6555A A A A 3720+=种;
()2根据题意，分2步进行分析，
①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有44A 种情况，
排好后，有5个空位，
②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有35A 种情况，
则共有4
3
45A A 1440=种排法;
()3根据题意，
①、先将甲、乙全排列，有22A 种情况，
②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有15A 种选法， ③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有55A 种排法，
则甲、乙中间有且只有1人共有2
1
5
255A A A 1200=种排法;
()4根据题意，分2步进行分析：
①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有47A 种排法，
②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，
则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有4
7A 840=种． 【点睛】
本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，其次要注意分类、分步计数原理的熟练运用． 26．（1）①128，②44827；（2）23
n
【分析】
（1）①设f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8，a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）] ÷2即可得解；
②8823r
r n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，通过不等式组891
888718822332233r r
r r r r
r r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩即可得解； （2）处理
()()00
2133n k
k
n n
k
k
k n
k k n k a x n k C -==⎛⎫
⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑0021213333n k
k n k
k
n
n
k k n n k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
∑∑1
110
021*******n k
k
n k
k n
n k k n n k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
∑∑，利用二项式定理逆用即可得解.
【详解】
（1）设f （x ）=(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 当n =8时.
①若t =1，f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）]÷2=128 ②若t =
23，(2
3
＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 所以8823r
r n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设第r 项最大，则891888718822332233r
r
r r r r
r r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫
≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩， ()()1
23921381
r r r r ⎧≥⎪-⎪
⎨
⎪≥⎪-+⎩解得222755r ≤≤，所以=5r 数列{a n }中的最大值3
5582448327a C ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
（2）若t=23，当13x =时，求()0
n
k
k k n k a x =-∑的值.
(
2
3
＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 当2n ≥时，
()()00
2133n k
k
n
n
k
k k n k k n k a x n k C -==⎛⎫
⎛⎫-=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 0
021213333n k
k n k
k
n
n
k k n
n k k nC kC --==⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
∑∑ 1
110
021*******n k
k n k
k n
n k k n n k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑
1
21333n n n -⎛⎫=-+ ⎪
⎝⎭
23
n =， 当n =1时也满足，所以()0
n
k k k n k a x =-∑23
n =
. 【点睛】
此题考查二项式定理的应用，根据展开式求解系数关系，涉及组合数计算公式，二项式定
理的逆用，综合性强.。